Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 6
Текст из файла (страница 6)
где Гстз — температура наружной поверхности трубы. Используя первое граничное условие, можно записать Из второго граничного условия, так как 9 тз Ют~ »7т тз д„т~ 3 2 Сз = Гж+ — + — — — — — — 1птз. 2а, 4Л 2а то 2Л Уравнение температурного поля будет иметь вид + — з 1+ — 21п — — — . (П.90) Плотность теплового потока на поверхности й~ жО; ~~" ~г=г й! -Л вЂ” ~ = а(1ст, — Ф,„), ~г гмг1 В рассматриваемом случае константы интегрирования будут следующими: С1 = йгф2Л; Сз = $ж+ — + — — . — 1пг|. 2а 4Л 2а ~~ 2Л Уравнение температурного поля имеет вид Ф=Ф + — — — 1+ + — 3 2 1п — + — — — . (П.93) Температура внутренней стенки зст1 = Зж+ Плотность теплового потока ф= — — — 1 (П.95) 3. Цилиндркческая стенка, теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы, наружная поверхность теплоизолирована.
Граничные условия имеют вид П.4. Температурное поле полуограннченной пластины На рис.П.17 представлена полуогранкченная пластина с однородными свойствами, не зависяшнми от температуры. Толшина пластины б, температурное поле — стационарно. е ,Пля двумерной стапяонарной задачи без внутренних источников теплоты температурное поле описывается уравнением Рис. П.17.
Полуогревн- чеииая пластина дз1 дз1 + — = О. (П.96) дх2 дуя В качестве граничных условий принимаем — при х=О н х=б, 0<у<со; г = Дх) при у = 0; — при у -+ оо. Введя избыточную температуру д ж $ — 11, из уравнения (П.96) получаем дзд дзй — + — = О. дх2 дуя (П.97) 4. Цилиндрическая стенка, теплота отводится конвективным теплообменом с обеих сторон трубы. Пля указанных условий очевидно, что имеется изотермическал поверхность с радиусом ге, находяпгаяся между т1 и гз, где градиент температуры равен нулю.
Юля части трубы, расположенной между г1 и ге, справедлквы выражения (П.93) и (П.95), а для части трубы между радиусами ге и гз — выражения (П.90) к (П.92). Совокупность указанных выражений при условии замены т1 на ге в (П.90) и (П.92) и гз на ге в (П.93) н (П.95) дает возможность определить неизвестный радиус ге, а затем величины г и д. 1 и = ио с4сб (П.11З) Исключив нз уравнений (П,111) и (П.113) неизвестную температуру гст„получаем окончательное выражение для распределения температуры по толщине поркстой пластины: чз В, ч о 1 — 1 гстз гиа = е ( У).
(П.114) В ВГ ВВ йб ВВ х/В На рис. П.19 показаны результаты расчета температуры стенки по формуле (П.114) для различных значений параметра Ссо. Рис. 11.19. Распределение температуры в пористой стенке 67 Постоянные СЗ и С4 находим нз граничных условий: ги = 1 пРи х = -оо; (11и Й Л вЂ” и = Лс(1 — Р) — прн х = О. Их Их ВРЕУ ~У ~С~=3, СИ= 1 УР пение (П.112) принимает вид Г л а в а Г1. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОЛНОСТИ Ш.1. Основные методы решения уравнения теплопроводностн при нестапионарном режиме Лифференцнальное уравнение теплопроводности прн отсутствии внутренних источников теплоты и постоянных теплофизнческих параметрах имеет вид дТ /дгТ дгТ дгТ вЂ” = а ~ — + — + — ~ = н1Угт.
(П1.1) д — (Д г дуг д г~)— Уравнение (П1.1) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решения такого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка, для которого решением является выражение С1Т1 + СгТг, где С1 и Сг — произвольные постоянные; Т1, Тг — частные решения уравнения. Уравнение (Ш.1), являясь уравнением в частных производных, имеет бесчисленное множество решений. Лифференциальное уравнение теплопроводности относится к разряду так называемых дифференциальных уравнений математической физики, для решения которых разработаны как классические методы решения, так и приближенные.
К классическим методам относятся, например, метод разделения переменных н метод источников. По своей стройности н разработанности равноценным классическим методом является метод интегрального преобразования. В настоящее время широко используются приближенные методы, позволяющие получить кнженерное решение практически для любой задачи. К приближенным методам относятся метод конечных разностей (метод сеток) н метод аналогий (злектроаналогия и гидроаналогия). Мегпод разделения переменных, разработанный Фурье, в применении к задачам теплопроводности состоит в том, что находится совокупность частных решений уравнения (П1.1), которые затем, как уже упоминалось, суммируются: Т = С1Т1 +СзТз+... ж ~~~ С;Т;.
(П1.2) > 1 Правомерность применения принципа суперпозиции (наложения) для бесконечного ряда, так же как и возможность его почлеппого дифференцирования и интегрирования, доказывается в литературе по математической физике. Существенным является ограниченность функции Т (Т < М) для всех значений координат и времени т > О. Решение уравнения (П1.1) представляют в виде произведя.
пия двух функций, одна из которых Т(т) зависит толыю от времени, а другая в>(х, у, в) — только от координат, т.е. Т = С Т(т) >х(х> у, «), (П1.3) где С вЂ” произвольная постоянная. Взяв производные функции Т по времени и координатам п подставив их в уравиепие (П1.1), получим Т'(т) Ф(г, у, х) = а Т(т) 0>З>х(х, у, х). (Ш.4) Произведя разделение переменных, зависящих только от времеви п только от координат, приведем уравнение (П1.4) к ви- (1/а)Т>(т)/Т(т) = Л> Ч~й>(г, у, г)/Ф(г, у, в) = Л. !П1.8) (П1.7) Каждое из этих уравнений является линейным диффереппяальпым уравнением. Решением уравнения (П1.6) является Т(т) = Сев".
(Ш.8) Т'(т)/Т(т) = а>>язв(х, у, г)/Ф(г, у, х). (Ш.б) Так как левал часть уравпепия (П1.5) пе зависит от координат, а правая — от времени (причем равенство справедливо при любых значениях времени и координат), то правая и левая части представляют собой постоянную величину Л: Вид функции Т(т) указывает, что для процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина Л должна быть меньше нуля (Л < 0), в противном случае де удовлетворялось бы условие ограиичеипости функции Т = Т(т) я>(х, у, г) < М, Таким образом, можпо обозначить Л=-хз, (Ш.О) где х — любое вещественное число. В связи с этим уравнение (П1.7) примет вид ЯзЯ(г, у, в) + йзФ(х, у, х) ж О.
(П1.10) Решение уравнения (Ш.10), называемого ураемемхем По- мелл, определяется геометрической формой тела, а постоянные иптегрировапия — граничными условиями (температурой, тепловым потоком пли условиями теплообмепа па поверхности тела). В простейших случаях, когда у> — функция лишь одной координаты (папример, х), уравпеппе (П1.10) является обыкновенным дифферепциальпым уравнением второго порядка> решение которого можно представить как сумму двух частных решений: У>(х) = С1 А(йх) + Сз В(йх), (П1.11) гяв С1 и Сз — постоянные, а А(йх) и В(йг) — липейпо кезависамые интегралы уравнения (П1.10), т.е.
такие, отношение которых А(йх)/В(йх) ф сопвФ. Подставив выражения (П1.8) и (П1.11) в (П1.3) и объединив постоянные, получим Т = е в~ т [Р А(йх) + Е В(йг~Я, (П1.12) где Р и Š— постоянные. Это выражение, удовлетворяя уравпепию (1П.1), тем це медее пе пригодно для расчета температурного поля, так как пз пего нельзя определить постоянные Р п Е. Например, если по условию для начального момента времени (т = 0) температура постоянна (Т = Те = сопев), то из уравнения (П1.12) этого пе следует, так как в этом случае оказывается, что постоянная равиа переменной: Тв = Р А(йх) + Е В(йх), чего быть пе должно. и т.д. Общее решение имеет вид в=1 (1П.15) (П1.16) в=1 Т(х) = С(й) е' *дй.
(П1.18) 61 вв Поэтому для получения общего решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего начальным условиям, берется сумма частных решений, в каждом из которых постоянные Р и Е имеют свое определенное значение. Осуществляя соответствующий подбор значений Р и Е, можно как угодно близко подойти к зэ данному пачальыому распределепию температуры. Таким образом„частные решения записываются так: Т = Р А(й х)е ~~1~+ Е В(й х)е в~1' Тз = Рз А(йзх) е ~~э~ + Ез В(йзх) е в~э~ Т = ~ РвА(йвх)е ~~"~+ ~~) ЕвВ(йвх)е в~"г. (Ш.14) Необходимым условием решения задачи является возможность разложения фуыкции Те(х), описывающеи пачальвое распределение температуры в ряд по собственным функциям: То(х) = ~ Рв А(йвх) + ~ Ев В(йвх) Применение метода разделения переменных показано ниже па примере пестациопарпого температурного поля плоской пластины, цилиндра, шара.
Метод исшочяыхов является одним из классических методов, особенно удобным цри решении задач теплопроводпости для неограниченной или полуоткрытой области. Примером такой задачи может служить рассмотрение ыестапиоыарпого температурного поля в почве при изменении выешпих условий. Физическая сущность метода источников заключается в том, что пропесс распростраыепия теплоты в теле теплопроводыостью представляется как совокупность процессов выравнивания температуры от множества элемеытарпых источников теплоты, распределенных как в пространстве, так и во времени.
Рассмотрим задачу по определению пестапиопарпого одно. мерного температурного поля для неограниченной области при заданных начальных условиях. В качестве физической модели такой задачи может служить стержеыь бесконечной длины с постоянной по длине площадью поперечного сечения Е = 1 мз, боковая поверхность которого теплоизолироваыа. В стержне задано начальное распределение температур.
Зля этой задачи справедливо уравнение (Ш.1), т.е. ВТ/дт = = адзТ(дхз при -оо < х < +оо, Начальное распределение температуры в стержне при г = 0 имеет вид Т(х, 0) = Те(х). Как было показано выше, метод разделения переменных позволяет получить из уравнения (П1.1) два обыкновенных линейных дыффереппиальыых уравнения: Т'+ай~Т= 0; Фа+ й~Ф = О. Частные решения этих уравыепий имеют вид Т=С е в" ~ и У=С е~~~ а частное решение уравнения (Ш.1) таково: Т(й) = Т(т)Ф(х) = С(й) е вй ~~'~*. Фуыкпия Т(й) удовлетворяет условию ограниченности. Так как й — любое веществепыое число (-оо < й < +оо), в уравнении (П1.16) будем брать знак плюс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
