Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Кроме того, вместо формулы (П1.35) можно пользоваться следующей формулой обращения (т.е. нахождения оригинала по изображению): /(т) = Нш ( ~(-1)" /и!] (и/т)( )/(~)(и/т) ~, (П1.45) где /(и/т) — изображение функции /(т), в которой р = и/т. 1 (в) Например, пусть /(р) = —. Найти /(т).
Так как / р+1 (в/т) (-1)ви.' , то в соответствии с формулой (Ш.45) ( р + 1 ) в + 1 т.е. дифференпирование оригинала функпии соответствует ум- ножению изображения на р с последующим вычитанием посто- янной /(О). в-шв и1 т (и/т+ 1)в+1 11ш + = 1/е = е т. (П1.46) (1 + т/и)в+1 Формула (П1 45) дает возможность определить оригинал лишь при помоши операдий дяфферепцяроваиия и перехода к пределу. Пля ряда частных случаев имеются и другие формулы обрашепия.
Пля яллюстрапии примеяеиия преобразований Лапласа рассмотрим перобразоваиие одиомеряого дифференциального уравпеяия теплопроводиости дТ/дт ж ад Т(х, т)|дхз: 3 | — с Ят йт ж р Т(х, р) — Т(х, 0), (П1.4Т) дт о где Т(х, р) — изображеяие оригинала Т(х, т); Т(х, 0) — яачельиое распределение температуры. Тогда | дзТ а — е я~й= дх о / Т(х т) е Рт ~1т — а, (П1.48) ='д зl о Таким образом, уравнение (П1.1) в частных производных преобразуется в обыкновенное дяффереяпиальиое уравнение отяосительпо язображеяия: ,1зТ а — — р Т(х, р) + Т(х, 0) = О. ~1хз (П1.49) Рассмотрим простейший случай, когда начальное распределение температуры одинаково для всех точек тела и равно нулю, т.е.
Т(х, 0) = О. Тогда уравнение (П1.49) примет вид Решение этого уравнения будет следуюшим: Т(х р) А~ ех~/Р/а + Вз с х~/Р~а = Асвх~| — + Взйх~|-, (1П.51) 1|а а 1 1 где А~ = — (А+ В) и В~ = -(А — В) — велячияы, постояииые 2 2 отиосительяо х, яо ие зависяшие от р. Эти постояияые определяют из граничных условий, после чего при помощи таблицы изображеиий находят оригинал Т(х, т).
П1.2. Температурное поле полуограннченного тела Полуограиичениым можно считать тело, размеры которого велики по сравнению с той его областью, температурное поле которой яас интересует, При этом в течеиие определеяпого промежутка времеяи влияние граничных условий сказывается весьма слабо яа температурном поле участков, яаходяшихся вдали от граиипы. В этих частях тела температурное поле определяется лишь начальными условиями. Примером рассматриваемой задачи может быть задача по определению температурного поля длинного стержня, боковел поверхность которого имеет идеальную изоляцию.
Олин конец стержня подвергается какому-либо тепловому воздействию, влияиие которого яесушествеяяо, так как считается, что оя бескояечяо удалеп. В указанной постановке температуриое поле является одномердым, а дифференциальное уравнение теплопроводдоств имеет вид дТ дзТ д =а — (х>0; т>0) (П1.52) дт дхз при начальном условии Т(х, 0) = 1(х) и граничных условиях 1, П или 1П рода. В качестве примера рассмотрим задачу об охлаждении стержяя с простейшими граничными условиями 1 рода (П1.50) а-Т вЂ” — -Т(х, р) = О, ~Ьз а Т(0, т) = сопзз = О. 8 Т(х' т) ст = ег1с( — ).
(Ш.66) Приведем решения, полученные при задании граничных условий П и П1 рода. Для граничных условий П рода на копне стержня задан тепловой поток вст. Если вст = сопвФ и начальное распределение температур постоянно, то условия однозначности имеют вид Т(х, 0) = Тв = сопев; Т(со, т) = Тв', дТ(О, «) дТ(оо, т) Л * +й =О; "=О. Решением задачи будет выражение х т~,~)-т,-м/ ь( — ")ю =+в(2лт), (П1.67) где!его(а) = (1/~Я е х — аеас(а) определяют нз таблиц. 1(ля граничных условий 1П рода условна однозначности рассмотрим в следующем анде: Т(х, О) = Тв = сопев; Т(оо, т) = Тв', дТ(0~ т) дТ(ос~ т) Л вЂ” '+ а (Тп — Т(0, т)] = 0; = О, дх х где Тх — температура окружающей среды; козффициент тепло- отдачи а считается постоянным.
Решение имеет вид — ехр~ — х+ Ы а«1 егГс~ — х+ -~ат). (П1.68) Ш.З. Нестапнонарные пропессы теплопроводностн' в неограниченной пластине Рассмотрим задачу, когда тело стремится к тепловому равновесию. Пусть пластина толщиной 2в имеет неограниченные размеры в направлении осей Оу н Ов. Фйзнческне условия определяют значения козффициента теплоцроводностн материала пластины (Л = сопвФ), теплоемкостн (с = сопев), плотности р; внутренние тепловые источники отсутствуют. Пластину, температура которой в начальный момент времени была равна $в, опускают в поток жидкости, имеющей постоянную температуру 1п, отличную от Фв. Г'раничные условия определены постоянными н одинаховыми значениями коэффициента теплоотдачн а на обеих поверхностях пластины.
В связи с тем, что линейные размеры поверхности пластн- ны велики по сравнению с ее толщиной, изменение температуры будет происходить только в направлении, перпендикулярном поверхности пластины, т.е. температурное поле будет одномерным. Кроме того, из-за симметрии граничных условий относительно средней плоскости температурное иоле в любой момент времени будет также симметричным относительно втой плоскости. Лля рассматриваемой задачи начало координат удобно расположить в центре пластины, как по- Рхс.
1П.4. Схема красчету казано на рис. П1.4, направив ось хе«рева плоской овес«хны Ох по нормали к осн пластины. Пля удобства последующих вычислений отсчет температуры будем вести от температуры окружающей среды: дб дзо — =а — 1, дт дх ' (П1.59) 1Т' ФЯ вЂ” — = — = сопвС. е Т Ф (Ш.67) так как (Ш.ОО) 6=де =Т„-Те при т=О; д-40 при т-+со; (П1.61) граничные условия: Т(т) = С1 с"~Х; Ф(х) = Сз 41п(хх)+ Сз соз(хх), (1П,68) (П1.69) (П1.62) (П1.70) (П1.71) Ф(х) = Сз сов(йх). У(х) — = х Т(т) дт(т) дзж(х) дт дхз (П1.65) или, разделив переменные, л С е-4з т соз(йх) (П1.72) 1Т! УЯ аТ К~ (1П.бб) где С = С1 Сз.
6 = Тж — Т. Тогда диффереппиальпое уравнение теплопроводпо- сти (П1.1) будет иметь вид дз дб дзз дзд дт = д ' дхз = дх ' Условия однозначности будут следующими: начальные условия для -Ю < х < +5: дд А — = -аб при х =+5 дх 1 дд А — =ай при х=-й. дх 1 дд — =0 при х=О. дх Решаем поставленную задачу методом разделения перемен-' пых, представляя искомую функцию д в виде произведхпия двух фупкппй: Ф(х) и Т(т), каждая из которых зависит лишь от одного аргумептез д = У(х) Т(т). (П1.64) Подставив выражение (П1.64) в (П1.59), получим Так как левал часть уравнения (П1.66) пе зависит от координаты х, а правая — от времени т, то общее зпачепие к правой, и левой частей пе должно зависеть ни от х, пи от т: Из условия (П1.61) следует, что при нагревании пластины дб(дт < 0 (следовательпо, и дТ/дт < 0), поэтому константа в уравнении (П1.67) должна быть отрицательной.
(В случае охлаждения пластины при Тж < Т вывод относительно знака копстапты будет тот же.) Обозначив копстапту через -йЗ и решив уравнения (П1.67), получим где С1, Сз и Сз — постоянные интегрирования, которые, как и зпачепие постоянной х, паходят из начальных и граничных условий. Используя условие симметрии (1П.63) (дх/дх)~ е = О,име- ем Пиффереппируя уравнение (П1.69) и учитывая (П1.70), находим Сз = О; следовательно, Выражение для поля избыточной температуры имеет вид вв тх/ дд~ а = — д~ д*1,=+в Л 1, +в' (П1.73) (Ш.75) хЛ/а = сааб(х6), или (П1.76) й6Л/а6 = сааб(й6). (П1.77) в/В1 = свб(в).
дв = ~ С; сов(в;х/6), (Ш.80) ВО Используя граничное условие (П1.62) в виде получаем пря подстановке в него уравнения (Ш.72) и производ- ной дд/дх при х = 6 -йС с в» г в?п(И) = — — С е "" г сов(И). (П? 74) Л Сократив обе частя этого равенства на Сс в~ ~, приходим к трансцендентному уравнению для определеняя постоянной х: Обозначим й6 = в и а6/Л = В1, тогда Уравнение (П1.77) называется харакгверисвзически,н уравнением; его можно решить графическим способом, находя точки пересечения прямой у1 = в/В1 с котангенсоидами уг = свб(в) (рис.1П.5, а). Как видно на рисунке, уравнение (П1.77) имеет бесчисленное множество реп(ений в;; эти значения называются собсвваевными числами задачи.
Значения собственных чисел зависят от порядкового номера 1 и числа В1. Характер этой зависимости приведен на рис. П?.5, б. При В1 -+ оо прямая у1 = в/В! совпадает с осью абсписс я корни уравнения (П1.77) имеют следующие значения: в1 = х/2, вг = Зх/2, вз = 5х/2,..., в; = (21 — 1) х/2. При В1 -+ О прямая уг совпадает с осью ординат и собственные числа становятся равными: в1 = О, вг = х, вз = 2х,..., в; = (( — 1) х, где ( = 1, 2, 3. Рис. П1.В.
Схема графического решения уравнение (Ш.тв) (е) и графики лая определения собственных чисел ьч (В) Таким образом, исходя из уравнения (П1.72) каждое значение собственного числа в; приводит к частным решениям: д1 = С1 сов(вгх/6)ехр(-авггт/6 ); дг = Сг сов(вгх/6)ехр(-авгг/6 ); (Ш 78) д; = С; сов(в1х/6) ехр(-ав(т/6г). Общее решение дифференциального уравнения (1П.59) определяем как сумму частных решений: д= ~) С, сов(в;х/6)ехр(-ав3т/6г). (П?.78) 1=1 Функция д удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
