Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 2

Примем, что механическал работа равна нулю, т.е. Х = О. Количество теплоты 4)ст может быть вычислейо по формуле т в Яу определено по соотношению ЯУ = От <Пай', (1.11) У О где От — удельная мощность внутренних источников (стоков) теплоты, Вт/мз. Изменение внутренней энергии тела ЬУ = / ) стр — дУЙт.

дт (1.12) У О С учетом уравнений (1.10)... (1.12) уравненке (1.9) принимает вид т т т Я О | д4 Щ дт + йт <6/ йт = стР— МУ йт. (1.13) дт О У О Первый член левой части уравнения (1.13) в соответствки с формулой (1.4) можно расшифровать так: т т сЦ Йт = — Л вЂ” соз(х, 1)+ Я О Ю О + Л вЂ” соз(у, Ю) + Л вЂ” сов(з,!) сй г1т. (1.14) дг д$ др дя Применив к формуле (1.14) преобразование Гаусса — Остроградского, находим T ~Цй = 8 Π— Л вЂ” + — Л вЂ” + — Л вЂ” 4У й (1.15) О стр — = з — Л; — ) +от. д. Ед.; ~ 'В;/ ° в~1 (1.19) к при Л = сопв1 14 Подставив далее выражение (1.15) в (1.13), имеем — — л — — — л —— 1~ О ~Л вЂ” ~ -у„ПГат=о. (1.18) д т д1~ в.~ в./ Если все характеристики в уравнении (1.18) — непрерывные фуикпии координат и времени, а обьем т" - произвольный, то интеграл равен нулю при равенстве нулю подынтегрального выра жения.

Следовательно, сур — = — Л вЂ” + — Л вЂ” + — Л вЂ” + ут (1,17) Пифференцнальное уравнение (1.17) называется дифференциальным уравнением Фурье-КирааоЯа и устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. При постоянной теплопроводностя уравнение (1.17) упрощаетсю а /В г Взв Взв~ — =а — + — + — +— дт ~,дхв дуя двз) стр' где а = Л/стр — изохорическвл температуропроводность, м /с.

3 Изохорическая температуропроводность, входящая в уравнение (1.18), является теплофизнческим параметром. Она характеризует способность вещества выравнивать температуру. Последнее означает, что тела, имеющие большую температуропроводность, нагреваются (охлаждаются) быстрее по сравнению с телами, имеющими меньшую температуропроводность. Температуропроводность изменяется от 1, 4 10 т мв/с для масел до О, 2 ° 10 З мз/с для серебра.

Уравнение (1.18) есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа..Пля анизотропных тел, у которых теплопроводность за- висит от направления, уравнение Фурье-Кирхгофа принимает вид Если значения Л; и ст в анизотропном теле не зависят от температуры, то уравнение (1.19) путем преобразования х; = ж х ',. /а можно привести к виду (1.18).

Цилиндрические (а) и сферические (Ь) координаты ,Пифференцнальное уравнение теплопроводности (1.17) имеет следующий вид: а) в цилиндрической системе координат (рис. 1.7, а) а д/а1 Ла 1д/дгЪ стр — = — Л вЂ” + — — + -х — Л вЂ” + д„(1.20) вт вт~ вт4 ° в. ° вр~ вх4 а /д'~ 1 а 1 Взг д'1 1 — =о — + — — + — — + — +чт' (1.21) дт ~,дтз т дт тздрдх вяз~ б) в сферической системе координат (рис.

1.7, 6) а в/а~ йла 1 в/ а1 стр — = — Л вЂ” + — — + — Л вЂ” + дт дт 1, дт/ т дт тз в(взФ дР 1, д~р/ 1 д / . а1 + —. — ~Л в)пф — ~ + ут (1.22) тз в(пФ дФ ~ дФ~ и при Л = сонэк д1 ~д21 2 д? 1 д21 — =а — + — — + . — + д~ ~дг2 г дг гз э?п2 ф доз + —. — ~э?в ф — А + —. (1.23) д ~. д?Ч т2 в?пф д1Р ~, д?УЯ сэр' гст = У(хст~ Уст~ хст~ т)~ где 1,т — температура на поверхности тела; хст, уст, хст — координаты точки ца поверхности тела, В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменкетсЯ по вРемени, $ст —— 7(хст, Уст, хст)„а если она постоянна по поверхности, то 1,т = сопэ1.

1.4. 'Условия однозначности Полученное в 1.3 дифференциэльное уравнение (1.17) описывает множество явлений теплопроводностн. Чтобы из бесчисленного количества этих явлений выделить одно и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические и граничные условия.

Геомепзрические условия определяют форму н размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия задаются теплофизнческими парэ; метрами тела Л, ск и распределением внутренних источников теплоты. Временные (начальные) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени. Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Граничные условия 1 рода. В этом случае задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени: (1.24) Граничные условия П рода. В этом случае заданной является плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени, т.е. тст = У(хст> уст~ яст т) (1.25) В частном случае, например при нагревании металлических из- явлий в высокотемпературных печах, уст = сопэФ. Граничное условие 1? рода записывается в виде (1.26) Граничные условия Шрода.

В этом случае задаются температура среды 18 и условия теплообмена этой среды с поверхностью тела. Процессы теплообмена между средой и телом являются исключительно сложными и зависят от многих факторов. Подробно они будут рассмотрены во втором разделе учебника, Пля описания интенсивности теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой используется гипотеза Ньютона-Рихмана, согласно которой у, = а(1, — 18), (1.27) д1! -Л вЂ” ! = а (1~ — 1о). ди~ (1.28) .

где а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2-К). Как следует из формулы (1.27), коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемого (или воспринимаемого) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной 1 К. С учетом уравнений (1.3) и (1.27) граничное условие 1П рода записывается в виде 18 Когда коэффициент теплоотдачп имеет большие зпачепия (например, при кипении жидкости па поверхности тела), граничные условия 1П рода переходят в граничные условия 1рода, так как в этом случае температура поверхности тела становится практически равной температуре жидкости.

Граничные условия 1 г'рода формулкруются па основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхпость соприкосновения тел, т.е. Л,— =Аз — ' (1.29) дг~ дг~ Л,— ~ =Ля — ~ = „(1„,— 1,). да~„, ди~,т, Коэффициент контактного теплообмена зависит от множества факторов и его определение является сложной задачей. Из сопоставления формул (1,26), (1.28) и (1.29) следует, что они различаются правыми частями уравнений. Исключепие составляет граничное условие 1рода, которое задается температурой поверхности тела.

Однако можно показать, что граничное При совершенном тепловом контакте оба тела иа поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, т.е. изотермы пепрерывпо переходят ю одного тела в другое, а градиенты температур в этих точках удовлетворяют условию (1.29). В реальных конструкциях тепловой контакт между соприкасающимися деталями обычно нельзя считать идеальным, так как действительпая поверхность контакта составляет только малую часть всей поверхпости, даже если эти поверхности гладкие. и сжимающая сила велика. Если коэффициенты теплопроводпостк находящихся в контакте тел сушествеппо выше, чем теплопроводпость среды, за полняющей полости, то основная часть теплоты будет передаваться через точки контакта. Различие температур соприкасающихся поверхностей пропорционально контактному термическому сопротивлению или обратно пропорционально контактной тепловой проводимости, которэл количественно характерюуется коэффициентом ая.

В этом случае условие (1.29) принимает вид Г л а в а 11. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОЛНОСТЬ ПЛ. Теплопроводпость тел простой формы При стапиопарпом режиме температурное поле пе зависит от времени д1/дг = О и дифференциальное уравнение теплопроводности (1.17) принимает впд — Л вЂ” + — Л вЂ” + — Л вЂ” +д, = О. (П.1) Рассмотрим несколько случаев, когда температура будет зависеть только от одной координаты. Неоераккчеккал илоскал пивкка (рис. П.1, а) представляет собой тело, ограниченное с двух сторон параллельными поверхностями, протяжеппость которых в направлении у и х велика.