Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 3

Если боковые поверхности неограниченной плоской стенки юотермические, то изменением температуры в пей по осям у и х lдг дг можно пренебречь ~ — = — = О и дифференциальное уравпе- ~,ду дх / пие теплопроводпостп (П.1) записать в виде (П.2) — Л вЂ” +йг = О. условие П1рода преобразуется в граничное условие 1рода при о -~ оо, т.е. при очень интенсивной теплоотдаче. Тогда пз уравнения (1.27) следует, что $ст = ~е. Грапичпые условия могут существенно усложниться процессами радиационного теплообмепа, процессами массобмепа с фазовыми переходами и т.п. Лпфферепцпальпое уравнение (1.17) совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводпости, Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численным или эксперпмептальиым методом, В последнем случае используются методы физического подобия и аналогий.

18 Фсг;ятям — тЛ вЂ” +йт = О. (П.З) пргЯЯаз (П.б) (Л1 Ф О). Рвс. 11.1. Неограввчевваа плоское ставка (а) и неограниченный в ый вилвилр (6) Тело цилиндрической формы (рнс. П.1, б), протяженность которого по осн я велика, называется веоерапвчевпььв цвлвпдром, который может быть сплошным (Я1 = О) н полым Как для сплошного, так н для полого пеограннченных цнлнндров в том случае, когда поверхности являются пзотермнчедг д1 слнмн, имеем — = — = 0 (т~ ж х~ + у~),к днфференцнельное дя дж уравненне теплопроводностн принимает внд В случае нзотермич ности внутренней н наружной поверхностей для полово и сплошподг ао шаров (рнс. П.2) имеем — = ду д1 дф ж — = 0 (тз=хз+уз+зз). Следовательно, днфференцкальное уравненне теплопроводностн в этом случае залншется так: 1(l, (й — — ~т Л вЂ” ~ + 4т = О. (П,4) Рис.

П.З. Ползай шар тз йт ~, йт) Нетрудно заметить, что днфференпнальные уравнення теплопроводностн (П.2) — (П.4) можно объеднннть в одно: где ~ — обобщенная координата. Прн ~ = х (и = 0) днфференпнальное уравнение теплопроводности (П.б) переходкт в днфференпнальное уравнение теплопроводностн (П.2), прн ~ = т (и = 1) — в уравнение (П.З), а прн (' = т (и = 2) — в уравненне (П.4). Неограниченная плоская свзевха.

Рассмотрим однородную н нзотропную стенку толщиной б с постоянным козффнцпентом теплопроводностн Л н прп отсутствии внутренних тепловых нсточннков (д~ = 0) (см. рнс. П.1, а). (П.б) $=$ст1 пРн х=О; при х=б. После ннтегрнрованкя получим — Л(1) — = О, (П.12) $ = Сзх+ С2. (П.7) д ю Л(1) й. (П.13) С1 = - — т-~.. 2 -Ю б Сз = тст1~ 2 ю тст — ' стт х. 1 б (П.8) с граничными условиями (П.15) тсг1 д=О прн х=О.

ст = 1 — Х. (П.9) (П.16) Л д = — (зст, — 2 ). (П.10) Днфференпнальное уравнение теплопроводностн (П.2) для рассматриваемого случал имеет внд Рассмотрим граничное условие 1 рода, когда задалнымн являются температуры поверхностей пластины, т.е. Таким образом, температура стенки нзменяется по толщнне пластины по лннейному закону. Постоянные С1 н Сз определим нз граннчных усковнй: Тогда нз уравнения (П.7) получаем ВВЕДЯ бЕЗРаЗМЕРНУЮ тЕМПЕРюатУРУ Ст = (2 — Гстт)/(зст, — 2 ) н безразмерную координату Х = х/б, вмеем Плотность теплового потока через стенку определяем нз зайт кона Фурье 9 = -Л вЂ”: дх' Отношение Л/б (в ваттах на квадратный метр-кельвин) называется тиеплоеоб проеодимостиъю стиении, а обратиая величина б/Л (квадратный метр-кельвкн на ватт) — тиеплоезтм или тиермичесиим сопротииелеиием спзеиии, Общее количество теплоты Ят, которое передается через поверхность Г стенки за промежуток времени г, равно Л Ят = 9 „Гт = — (Фст1 — 1стз) У'т.

(П.11) Для случал, когда теплопроводность Л является переменной величиной, зависящей от температуры, дкфференпнальное уравнение теплопроводностн становится нелинейным." Введем новую переменную д, называемую переменной Кирхгофа, тст1 Тогда уравнение (П.12) относительно переменной д будет линей— =О езд (П.14) дхз тсез д = Л($) дг = дст1 при х = б; Решая уравнение (П.14) и переходя к температуре 2, получаем тст Плотность теплового потока Л яст б (1стд 1стз )' (П.17) л, б л, о = — (1 -1,); 3 (11.18) Лв Ч б (1ств гств+д )1 в откуда Рис.

П.з. Распределение температуры в неограни- ченной плоской стенке нри Л = У(1) (П.20) д в 1=1 — + — + "+— 1 2 в Л, Л, ' ' Лв дстз 1 где Л = Л(1) Й вЂ” среднеинтегрвльная теплопровод1стд — 1стт у декад ность пластины. в Из уравнения (11 16) следует, что при переменной теплопроводсст1 ФХ ности Л распределение темпера— >а туры по толщине пластины не подчиняется линейному закджу. «'~<о При этом, если НЛ/й ( О, то поле температуры имеет выпуклость вниз, а если ЫЛ/Й > О, то Хотя вверх (рис. П.З).

Плотность теплового потока в этом случае определяется той же формулой, что и при Л = сопя1, только в уравнение (П.10) надо подставить среднеи нтегральную Ф' теплопроводность Х. Рассмотрим теплопроводность плоской стенки, состояшей кз слоев, имеющих между собой совершенный тепловой контакт. При стапионарном режиме плотность теплового потока через все слои пластины одинакова (рис.11.4). При заданных температурах на внешних поверхностях пластины можно составить систему уравнений Рис.

11лд Составнаа нлоскаа стенка /б1 б2 бв д гстд 1ст = Ч ~ + + '''+ (д 1-+1 ~Л1 Л, " Л„(' (11.19) а=в б Величина ~~1 — ', равная сумме термических сопротивлений Л ° =1 всех п слоев, называется полным птсрмичесиим сопротпиелеиием птсплопрое одиоспди многослойной стенки. Внутри каждого кз слоев температура стенки кзменяется по линейному закону, а, температуры па грапппах сопрнкосковепкя определяются формулами 61 1стз = 1ст — Я вЂ”; Л,' /б1 бз'1 з = 1ст, — й ~ — + — „), (П.21) 1ю1 Передача теплоты от одного теплоносителя к другому через рвзделяюшую пх однослойную плн многослойную твердую стенку называется теплопередачей (рис.

П.о). В этом случае заданнымп являются теплопроводность Л, температуры теплоносителей 1н, п Фи н козффкпкепты теплоотдачк а1 и аз. Пля неограниченной плос- кой стенки можно записать (П.24) 1 1 1сгз = сиз + Ф вЂ”. (П.25) а1' з аэ' Лля случая многослойной стенки (П.26) Величина, обратнал коэффициенту теплопередачк, называется полным пзермичесиим соироизиелением теплоиередачи 1 1 б 1 В = — = — +-+ —.

й а1 Л аз' Такпм образом, полное термическое сопротивление теплопередачн складывается кз сведующих термнческкх содротквленкй: — термическом сопротивления теплоотдачп от горячей жндкости к стенке: Л1 ю 1/а~,' — термического сопротивления теплопроводпостп стенки: Яст = б/Л; - термического сопротивления теплоотдачп от поверхности стенки к холодной жкдкостя: ВЗ = 1/аэ. Температуры поверхностей стенкн опредаяяют пз уравнепкй (П.22), т.е. д=а1($и, — гст1)' Л ц=-(1, — 1, ); я = аэ (гсГЗ АЗ).

Рис. П.В. Передача теплоты через плоскую степку (П.22) Имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными о, 1сг, н 1сг ..Пля плотности теплового потока получаем т = л(гп1 сиз)~ (П.23) 1 где Й= — козффкпнент теплопередачк, 1/а1 + б/Л+ 1/ат Следовательно, й— 1 б; 1 — +,'1, '— '+— а, . Л; а, 1=1 о =й(1, — 1,).

(П.27) (П.2й) Тепловой поток Я (в ваттах) через поверхность твердой стенкн равен д=йр=ыик (П.29) Решение ищется при граничных условиях 1 рода: Г = гст, при г = г11 1 = $ст, при г = гз. ГП.321 Интегрируя уравнение (П.31) с учетом граничных условий (П.32), получаем во"вввв1 вгв ввввв Рис.

П.Е. Графическое определение температуры в составной стенке Температуру на границе любых двух слоев 1 н 1+ 1 вычисляют по формуле /1 б1~ (П.30) 1=1 Иногда для опре1юления температур на поверхностях слоев многослойной стенки удобно воспользоваться графическим способом, сущность которого ясна нз рис. П.б. Неограиичеииый килккдр. Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в пилиндрической стенке прн заданных ее параметрах 4 = 2г1, Из = 2гз, Фст, Мсг и Л (е» = 0) (рис. П.7) и определим тепловой поток и распределение температуры по толп1ине стенки цилиндра. В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности принимает внд (П.31) через цилиндрическую по- яг Я = -Л вЂ” г".

Йт (П.34) 2кЛ1 (Фстр — зстз) 1в (4з!41) (П.35) где Р = 2кт1 Тепловои поток можно отнести к единице длины трубы ' Ф= = Я/1) либо к единице внутренней (й1 = — ) или внешней 2тг 1 1 поверхности (фз = — 11. Причем 2 1~~ Таким образом, температура по радиусу трубы изменяется по логарифмическому закону (см, рнс. П.7). Количество теплоты, проходящее верхность Г в единицу времени, С учетом выражения (П ЗЗ) имеем Рис 11 т Расирелелеиие техиературы в иеограии чехией цжкиилричес кой стенке (П.З8) (П.37) где (П.41) (П.З8) с где -г ) г)) = г)1 г1) 1пИ2/г1)) ' гл(йс, -Ф,) 2 тд21 гг21пи2/гг)) Д т(2, — 2, ) 82=1= — 1п(в2/<11) 2Л решив которые относительно г)г, получим тс = иИ'(2«т гкз)г 1 1 2 1 а) 4 2Л 4 азт12 Тепловой поток, отнесенный к единипе длины трубы, измеряется в ваттах на метр и называется линейной плотностью теплового потока.