Конспект лекций по устойчивости движения, страница 6

Для того чтобы матрица А была гурвицева, необ­ходимо и достаточно, чтобы ДЛЯ любой положительно определен­ной симметрической матрицыQуравнение Ляпунова(2.11)име­ÔÍ-12ÔÍ-12вость нулевое положение равновесия, утверждает следующая тео­симметрическую матрицу Р.~ Достаточность условия теоремы фактически уже доказана спомощью теоремвсекорниее характеристического-гурвице­уравнения имеют отрица­трица Р=но формулеOOIo+и: еАЧQеАtdt, поскольку ее вычисление, согпас­(2.9),сводится к вычислению сходящихся интеграловtkеЛltdt, RеЛl< о.

Эта матрица Р - симметрическая, чтоследует из ее определения. Благодаря симметричности матрицы=Iо+ОО(еАЧQеАt)Тdt=Jo+ OO еАЧQТеАtdt=ÔÍ-12ÔÍ-12х Т Рх.тельные действительные части. Благодаря этому определена ма­Q: Р?Р.для доказательства положительной определенности матрицы Ррассмотрим квадратичную формутельно определенная симметрическая матрица, и поэтому ут Qy-ÔÍ-12и запишем подынтегральную функцию в виде (eAtx )TQeAtx= yTQy, где у = eAtx. Согласно условию теоремы Q - положи­ÌÃÒÓÌÃÒÓ=Докажем необходимость. Поскольку матрица Ава,ÔÍ-122.2, 2.10 и функции V(x)ÌÃÒÓÌÃÒÓло в качестве единственного решения положительно определенную32ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12положительно определенная квадратичная форма переменных у.Поскольку матрица e At не вырождена при всех значениях t, равен­ство у нулю возможно лишь при х = О. При х =1 о выполненонеравенство у =1- о.

Поэтому при х =1- о подынтегральная Функ­промежутку [о,>t,как и интеграл от нее поО.ÔÍ-12(2.11), убеждаемся, что она является его решением:Теперь докажем, что Р -=-Q.(2.11).единственное решение уравнения Ля­Пусть есть другое решение Р', т. е. АТ Р'Тогда АТ(Р-Р')+ (Р -+ Р'А=Р')А = О, и умножая это равен­ство слева на е АЧ и справа на e A t , получаем2: о, и+00-В заключение этого раздела отметим, что решение уравне­ния Ляпунова(2.11)ÔÍ-12Следовательно, еАЧ(р - P')e A t = с = const для всех tпоэтому при t = О получаем, что с = Р - Р', а при t --+0= Р - Р'; так как e At , е АЧ --+ О при t --+ +00.•ÌÃÒÓÌÃÒÓРхÔÍ-12ÔÍ-12ТПодставляя введенную матрицу Р в левую часть уравнения Ля­пуновапуноваотносительно матрицы Р сводится к реше­нию системы линейных алгебраических уравнений.

Его прибли­женное значение может быть получено интегрированием задачиКоши для матричного обыкновенного дифференциального урав­нения R(t)= -ATR - RA - Q, R(O) = 1 с учетом того, чтоlim R(t) = Р при lim R(t) = О.(2.11)и теоремы2.12состоит втом, что они обосновывают следующий метод построения функ­ций Ляпунова для линейных систем(2.7): 1) выбирают любую по­Q; 2) решаютложительно определенную симметрическую матрицуÔÍ-12t--++oot--++ooЗначение уравнения ЛяпуноваÌÃÒÓÌÃÒÓ+(0), т. е. хÌÃÒÓÌÃÒÓция положительна при всех значенияхÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ33ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12уравнение Ляпунова (2.11) относительно матрицы Р.

Если решениеР существует и оно оказалось положительно определенной симме­трической матрицей, то только в этом случае нулевое положениеравновесия асимптотически устойчиво в целом, матрица Авицева, а= х Рх является функцией Ляпунова системы.V(x)2.8.гур­-ТУСТОЙЧИВОСТЬ по первому приближениюУсловия асимптотической устойчивости и неустойчивости ли­нейных систем оказываются полезными и при исследовании устой­ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓнепрерыв­равновесия. Тогда в этой окрестностих = Ахгде А = 8 f (x )8хIх=о,limх----)-о+ a(x)lIxll,(2.12)а(х) = О; 11.1\- стандартная евклидо-ва норма в JRn.

Линейную систему х=Ах, где А=8fa(x) I 'хх=оназывают системой первого (линейного) приближения, или линеаризацией автономной системы(2.1),в окрестности нулевогоположения равновесия.Оказывается, что асимптотическая устойчивость нулевого по­ложения равновесия системы первого приближения достаточна дляасимптотической устойчивости нулевого положения равновесияÔÍ-12ÔÍ-12(2.1)ÌÃÒÓÌÃÒÓБудем предполагать, что правая часть системыно дифференцируема в некоторой окрестности нулевого положенияÔÍ-12ÔÍ-12чивocти положений равновесия нелинейных автономных систем.нова для системы первого приближения, то она же будет функциейЛяпунова и для автономной системы(2.1).Если же нулевое положение равновесия системы первого при­ближения неустойчиво и это связано с наличием у матрицы этойсистемы корней характеристического уравнения с положительнойдействительной частью, то нулевое положение равновесия исход­ной автономной системы тоже неустойчиво.

Это следует из приве­34ÌÃÒÓденного ниже утверждения и его доказательства.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12тельно определенная квадратичная форма является функцией Ляпу­ÌÃÒÓÌÃÒÓИСХОдНой автономной системы, причем если некоторая положи­ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема2.13ÌÃÒÓ(теорема Ляпунова об асимптотической ус­тойчивости по первому приближению).

Пусть правая часть ав­х Е 1RП , непрерывно дифференци­тономной системы х = / (х),руема в некоторой окрестности нулевого положения равновесия иА=д/а(Х) Iхх=о.Тогда нулевое положение равновесия асимптоти-чески устойчиво, если все корни характеристического уравненияматрицы А имеют отрицательные действительные части, и неустой­ЧИБо, если у матрицы А есть корень характеристического уравненияс положительной действительной частью.дифференцируема, в некоторой окрестности нулевого положенияравновесия эту систему можно записать в виде(2.12),что и будетиспользовано в доказательстве теоремы.1.Докажем утверждение об асимптотической устойчивости,2.2.Для этого зафиксируем положи­теореме2.12(2.11)Qи решим урав­относительно матрицы Р, которая согласносуществует и является положительно определеннойсимметрической матрицей, так как матрица А-гурвицева.

По­ÌÃÒÓтельно определенную симметрическую матрицунение ЛяпуноваÔÍ-12~ Поскольку правая часть автономной системы непрерывновоспользовавшись теоремойÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓV(x)v= (/(х»ТРх+хТPf(x) == (Ах + a(x)lIxll)T Рх + х= хТ(АТР + РА)х + 2xTPa(x)lIxllТ+ a(x)l/xll) =-хТQх + 2xР(Ах=TPa(x)\lxll.для первого слагаемогосправедливаоценка - хт Qxх 11 х 112, где Лmiп (Q) -жительно определенной симметрической матрицыпри всех х,=О, для любого ЕIlxl/ <>Q,а так как> О, чтоЕ. ПоэтомуО существует такое ОО, вьшолнено неравенствоlIa(x)11 <ÔÍ-12lirnx.-+o а(х)::; - Лmiп ( Q) хнаименьшее собственное значение поло­ÌÃÒÓÔÍ-12V(x) = х Т Рх является функцией Ляпунова автоном­ной системы.

Найдем провзводную (х) в силу этой системы:равновесияÔÍ-12ÔÍ-12кажем, что в достаточно малой окрестности нулевого положения35ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12< -Amiп(Q)IIХI1 2 + 21Ia(x)II·IIPII· IIxl1 2 <~ - (Amin(Q) - 2€IIPII) IIxl1 2и при выборе€<О,5Amin(Q)/IIPIIВ соответствующей 3-0крест­ности нулевого положения равновесия производнаяV (х)отрица­тельно определена.

Следовательно, выполнены все условия теоре­мы2.2,согласно которой нулевое положение равновесия автоном­ной системы асимптотически устойчиво.2.Доказательство утверждения теоремы о неустойчивости ра­ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓВ первом из них будем считать, что матрица А не имеет кор­стью. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т,чтоTAT- 1 = diag( -А 1 , А 2 ) ,где матрицы А 1 , А 2 -(2.13)гурвицевы. Такую матрицу Т можно най­ти, например, с помощью преобразования матрицы А к ее жорда­новому виду с включением жордановых клеток, соответствующихкорням характеристического уравнения с положительной (отрица­ÌÃÒÓÌÃÒÓ2.1.ней характеристического уравнения с нулевой действительной ча­ÔÍ-12ÔÍ-12зобьем на два случая.и поэтомуlim J3k(z) = О,k = 1,2.Z~OСледовательно,для любого евсехz,IIz'l <>О существует такое3, выполнены неравенства 11 J3k(Z) Н<3>е, kо, что при=1,2.Несложнозаметить,что для доказательстванеустойчивостину­статочно доказать неустойчивость положения равновесияz =Опреобразованной автономной системы.

Для этого зафиксируем по­ложительно определенные симметрические матрицыQl, Q236тогоÔÍ-12левого положения равновесия исходной автономной системы до­ÌÃÒÓÌÃÒÓстему можно записатъ в виде з, =ÌÃÒÓÔÍ-12(Zl, Z2)T = Z = Тх автономную си­-A 1Z1 + J31(z)lIzll, z2 = A 2 z 2 ++ J32(z)llzll, где J3(z) = (J31(z), J31(z))T = T(a(t- 1 z) l l т- 1 z l l ) / l l z lI ,помощью замены переменныхÔÍ-12ÔÍ-12тельной) действительной частью, в блок -А 1 (в блок А 2 ) .

Тогда сÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12же размера, что и rypвицевы матрицы А 1 , А 2 соответственно, и ре­шим уравнения Ляпунова(2.14)ют и являются положительномы и функцииV(z)=Zl P1Z1-Z2'P2Z2 выполнены условия теоре­{z: IlzII < а, V(z) >мыЧетаева (см. теорему 2.8). Множество И =о} содержит точки, сколь угодно близкие к положению равнове­сияz=V(z)О, и в точках этого множества=-Zl(АI Рl- 2z2'P2132(z)llzlI ~+ P1A1)Zl + 2z1P1131(z)lIzlI- z2'(A2P2 + P2A 2)Z2Z'[QI Zl +z2'Q2Z2 -21IP111·11 ~1 (z)II·lI zlll·llzll-- 2€(IIP111·!lzlll+I/P211·lIz211)llzll ~ (1- 2V2€p)llzI12,где 1 = min{Amin(Ql)' Лmin(Q2)};Р = max{IIP1 11 , IIP211} и учтено,чтодляz = (Zl, Z2)Твьmолненысоотношения Ilzl112+lIz2112 = IIz1/ 2 ,s ~II z 11· Поэтому при € < l/ (2у'2р) производнаяV (z)z =О. Следовательно, выполнены условия теоремы Четаева и по­ложение равновесия неустойчиво.2.2.Теперь рассмотрим второй случай, когда матрица А име­ÔÍ-1211 zlll + 11 z211положительно определена в cS-окрестности положения равновесияÌÃÒÓ2- 21IP211·1I132(z)II·lIz211·llzl! ~ Лmin(Ql)IIZlI12 + Amin(Q2)llz211ÔÍ-12ÔÍ-12существу­матрицами.

Покажем, что для преобразованной автономной систе­>ÌÃÒÓ2.12определенными симметрическимиÌÃÒÓÌÃÒÓотносительно матриц РЬ которые согласно теоремеÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓчастью наряду с хотя бы одним корнем с положительной действи­тельной частью. Оказывается, что этот случай можно свести к пре­дыдущему, когда корней с нулевой действительной частью не было.Прежде всего отметим, что в предыдущем случае была постро­V(z) = Zl P1 Z 1-Z2'P2Z2 = zTdiag(P1 , -P2)z, кото­z, в видеv(x) = V(Tx) = x TT Tdiag(P1 , -Р2)Тх =х Т Рх, где(2.15)ÔÍ-12ÔÍ-12ена функциярую можно записать в исходных переменных х, Тх =ÌÃÒÓÌÃÒÓет корни характеристического уравнения с нулевой действительной37ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Записав уравнения Ляпунова-Аl(ОО)Т (РlА2(2.14) с помощью блочных матрицО)- Р2О-( РО1О)- Р2(-ОА 1ÔÍ-12(Ql=О)ОQ2 '(2.13) и (2.15) получаем (ТАТ- 1 )т(тт)-l PT- 1_с учетом_ (tt)-lрт-1(ТАт- 1 )=diag(Ql,Q2),или(2.16)гдеQ=ТТ diag(Ql,Q2)T, QT = Q >О.