Конспект лекций по устойчивости движения

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.П. КрищенкоУСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯКонспект лекцийÌÃÒÓÔÍ-12Под редакцией с.А. АгафоноваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12МоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2007ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12АВТОНОМНЫХ СИСТЕМÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12YДI(51ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓББК22.lК821Рецензенты: Е.А. Власова, А. С. ФурсовУстойчивость движениялекций/автономных систем:Под ред. С.А.

Агафонова.им. н.э. Баумана,2007. - 44ISBN 978-5-7038-2987-5-М.:КонспектИзд-во МГТУс.: ил.Учебное пособие содержит классические результаты тео­ÌÃÒÓÌÃÒÓКрищенко А.П.К821дифференциальных уравнений, связанные как с методом функ­ций Ляпунова, так и с использованием линейного прибли­жения. Подробно изложены основные теоретические сведе­ния, рассмотрены примеры. Представленный материал СООТ­ветствует программе курса «Устойчивость движения».для студентов 3-го курса факультета «ФундаментальныеÔÍ-12ÔÍ-12рии устойчивости положений равновесия автономных системтика».Ил.10.

Библиогр. 7 назв.УДК5122.1МГТУ им. н.э. Баумана,2007ÌÃÒÓÔÍ-12©ISBN 978-5-7038-2987-5ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ББКÌÃÒÓÌÃÒÓнауки», обучающихся по специальности «Прикладная матема­ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ПРЕДИСЛОВИЕрединеXIX-ХУIII вв. В се­в. в науке и технике стали разрабатываться проблемыустойчивости движения. Их исследование рядом ученых предопре­делило появление в1892 г. знаменитой работы А.М.

Ляпунова «Об­щая задача об устойчивости движения».ÔÍ-12ÔÍ-12Проблемы устойчивости впервые возникли в механике в связис изучением положений равновесия еще в ХУНдля студентов, обучающихся по специальности «Прикладная мате­матика». Оно содержит основные результаты по устойчивости по­ложений равновесия автономных систем дифференциальных урав­ÌÃÒÓÌÃÒÓПредлагаемое пособие содержит краткий конспект первой по­ловины курса лекций «Устойчивость движения» и предназначенодвижения неавтономных систем (см.: Крищенко А.П. Устойчивостьдвижения неавтономных систем. М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баума­на,2007).Почти все рассматриваемые в пособии результаты снабженыÔÍ-12ÔÍ-12нений, полученные А.М. Ляпуновым и развитые в работах другихученых. Вторая половина курса лекций посвящена устойчивостиступно студентам технических университетов. Необходимость изу­чения приведенных доказательств вызвана тем, что заложенные вних идеи важны для понимания последующих курсов по теорииуправления.

Этим также объясняются как выбранная форма фор­так ипредложенныеварианты ихдоказательств.ÔÍ-12ÔÍ-12мулировок некоторых теорем,ÌÃÒÓÌÃÒÓподробными доказательствами, при этом изложение материала до­3ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-121.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯТеорема существования и единственностиРассмотрим задачу Коши± = f(x, t),x(to) =nхо Е IRt~ to(1.1)ÔÍ-12ÔÍ-121.1.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12далее понимается непрерывная наТеорема 1.1 (теорема Коши). Пусть функциянепрерывна по= {х:"Х-f(x, t)кусочно­и при любых х, у из е-окрестности Оеtхоll<=е} точки хо и любом t Е [to, tl] удовлетво­ряет неравенствуIlf(x, t) - f(y, t)11где L -~Lllx - yll,постоянная. Torдa существует б>(12)О, для которого решениезадачи Коши (1.1) существует и единственно при t Е[to, to + б]. #в формулировке этой теоремы в качестве нормы можно исполь­зовать любую, например евклидову, норму вJRn:ÌÃÒÓÌÃÒÓ[to, tl]{to,tl] функция х: [to, tl] -+ IRn, у которой на [to, tl] определенапроизводная x(t), причем x(to) = хо, x(t) = f(x(t), t) Vt Е [to, tl)'ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ее решением на отрезкеÌÃÒÓÌÃÒÓдля системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Подчто далее будет подразумеваться.4ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-121.2.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Условия ЛипшицаВторое условие в формулировке теоремы1.1является основ­ным. Оно и аналогичные ему условия занимают центральное местодифференциальных уравнений. Эти условия содержат неравенства(1.2), которые называют неравенствами Липшица (L - по­стоянная Липшица], а функции, удовлетворяющие этим услови­видаям,липшицевыми функциями.

Уточним эту терминологию, по­-скольку далее она часто будет использоваться.2)учитывается толькочае будем считать, что функцияfзависит только от х, т. е.ff(x).=Функцию f(x), х Е ~n называют:-локально липшицевой в областиточки хо ЕDDсJR. n ,если для любойсуществуют окрестность О и такая постояннаяL, чтодля любых х, у Е О выполнено неравенствоIIf(x) - f(y)11~Lllx - yll;(1.3)липшицевой на множестве Е с ~n, если существует по­L,при которой неравенство (1.3) выполнено для любыхх,у Е Е;глобально липшицевой, если она липшицева наIR n .Принципиальное различие понятий «локально липшицева вобласти функция» и «липшицева на множестве функция» состоитÔÍ-12стоянная-ÌÃÒÓÌÃÒÓусловие Липшица наклады­часть ее аргументов.

При формулировке определений в первом слу­-ÔÍ-121)вается с учетом всех аргументов функции;ÔÍ-12ÔÍ-12Следует различать два случая:ÌÃÒÓÌÃÒÓи в других теоремах об общих свойствах решений обыкновенныхÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓВ локальном случае постоянная Липшица может зависеть отточки области, и поэтому требуется выполнение неравенства(1.3)для каждой точки хо области лишь в некоторой ее окрестности.

Вслучае же липшицевой на множестве функции постоянная Липши­ÌÃÒÓÌÃÒÓв следующем.(1.3) должно выполняться для любых точек этого множества.Замечание 1.1. Можно доказать, что функция, локально лип­шицева в области, является пипшицевой, функцией на любом ком­пакте, содержащемся в этой области.ÔÍ-125ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ца должна существовать сразу для всего множества, инеравенствоÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12При формулировке определений в случае, когда условие Лип­шица накладывается с учетом лишь части аргументов функции, бу­дем считать, что функцияfзависит только от х иt,т.

е.f = f(x, t).В этом случае используется та же терминология (только что введен­ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12из рассматриваемого промежутка, а постоянная«равномерно поt»,t.Подчеркивая это, иногда добавляют словахотя часто этого не делают, но подразумевают,если в левой части неравенства Липшица у функции присутствуетаргументt.R n , называют:- локально липшиневой по хна D х [to, tl] с IR. n х IR., если длялюбой точки хо из области D существуют окрестность О и такаяпостоянная L, что для любых х, у Е О и любого t Е [to, tl] выпол­Функциюf(x, t),х Енено неравенствов~Lllx -(1.4)ylI;- локально липшицевой ПО х на D х [to, +00), D - областьJR. , если она локально липшицева по х на D х (а, Ь] для любогоn[to,oo];липшицевой ПО х на множестве Е хсуществует такая постояннаяt Е[to, tl]-L,[to, tl]IR.nсхIR.,есличто для любых х, у Е Е и любоговьшолнено неравенство (1.4);глобально липшицевой ПО х на множествеRnх[to, tl],еслиона липшицева по х на этом множестве.ÔÍ-12-ÌÃÒÓIIf(x, t) - f(y, t)11отрезка [а, Ь] СÔÍ-12tЛипшица не зависит отÔÍ-12ÌÃÒÓполнено при всехÌÃÒÓÌÃÒÓная) при условии, что соответствующее неравенство Липшица вы­локально липшицевыми в этой области.

Это же верно и для функ­ций, липшицевых по части своих аргументов.Неравенство Липшица для скалярной функцииf (х)одногоÌÃÒÓÌÃÒÓНесложно заметить, что функции, липшицевы на некоторойобласти или глобально липшицевы в некоторой области, являютсяинтерпретацию. Для ее описания запишем неравенство Липшицав видеIf(x) - f(y)1~""---'----'--'-'- ~Ix-ylL,ÔÍ-12ÔÍ-12независимого переменного х допускает простую геометрическую6ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12построим секущую графика функцииzj(X))щей (рис.1.1). Тогда неравенство Липшица эквивалентно тому, чтоL. Следовательно, если график функции имеет в некото­f(y)),и пусть О.

-проходящуючерезf(x),=точки (х,I tg 0:1 :::;и (у,ÌÃÒÓÔÍ-12угол наклона этой секу­ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓрой точке вертикальную касательную, то в окрестности этой точкиZ~Z=f(X)f(y) - -- -------- -- -- -функции. По этой причине в окрест-f(x)ÌÃÒÓфункция не является липшицевой,Iности точки з: = О функции z = х 1 / 3иzsgnx=не являются липшице-I--я ------ ~::IIхуРис.з:1.1В то же время справедливы сле-дующие два утверждения, являющиеся соответственно необходи­мым и достаточным условиями локальной липшицевости скаляр­ной функции.скалярная функция локально липшицева в области, тоона непрерывна в любой точке этой области.2.Если скалярная функция непрерывно дифференцируема вобласти, то она локально липшицева в этой области.Можно сказать, что множество локально липшицевых функцийÌÃÒÓÌÃÒÓ1.

ЕслиÔÍ-12выми.ÔÍ-12ÌÃÒÓЭТО же относится и к точкам разрываи дифференцируемых функций.В общем случае справедливы следующие три угверждения.ÌÃÒÓна множествеWх[to, t1]с постоянной ЛипшицаL, т. е. для любыхW и любого t Е [to, t1] выполнено неравенствоIlf(x, t) - f(y, t)11 :::; Lllx - yll·2. Пусть Функция f(x, t): D х [to, t1J -t JRm, D - областьв JRn, И ее матрица Якоби f~(x, t) непрерывны в D х [to, t1J. Тогдафункция f(x, t) локально липшицева по х на множестве D х [to, t1],ÔÍ-12ÔÍ-12х, у ЕÌÃÒÓ1. Пусть функция j(x, t): D Х [to, t1] -t JRm, D - область вn,JR И ее матрица Якоби f~(x, t) непрерывны в D Х [to, t1). Если длявыпуклого множества W С D существует такая постоянная L, чтоIIf~(x, t)11 :::; L в W х [to, t1], то функция j(X, t) -липшицева по хÔÍ-12ÔÍ-12занимает промежуточное место между множествами непрерывных7ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12R.n Х [to, tl] --+ JRm И ее матри­ца Якоби f~(x, t) непрерывны в JRn Х [to, tl], Тогда ФУНКЦИЯ f(x, t)глобально липшицева по х на множестве JRn Х [to, tlJ тоща и толькотогда, когда ее матрица Якоби f~(x, t) ограниченана IRn Х [to, tl],3.

Пусть функция f(x, t):1.3.Продолжение решенийСледующий пример показывает, что решения задачи Коши да­же для очень простых дифференциальных уравнений не обязатель­но определены при сколь угодно больших значениях независимогоÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПример 1.1. Найдем решение задачи Коши с = -х 2 ,-1.