Конспект лекций по устойчивости движения (1063614), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Действительно,соответствующее решениеV(x)x<o(t)ным условием Х*(О) = х* принадлежит множествуÔÍ-12Е О, аX(tk)ÔÍ-12ÔÍ-12тельностьлюбое компактное множество замкнуто, х' Е Q и, следовательно,ÌÃÒÓÌÃÒÓтельно, для любой точки х' Е хФ(t) существует такая последова25ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓО является полоопределенной в областиравновесия.~ Покажем, что решение x(t) задачи Коши с начальным услохо Е И ВЫХОдИт из множестваВ и производнаяU.У(х) положительна, и поэтому, пока x(t) Е И, tнеравенство>При любом достаточно малом Ес множеством {х:11 х 11~ Е,сечение Uо с множеством {х:=О. Следовательно, величих Е ио } положительна.
Если x('t) Е UОпри т Е [O,t], то V(x(t)) - V(x(O)) = J~V(x('t))d't ~ yt, Т.е.V (х( t)) ~ V (хо) + yt. Из этого неравенства следует, что решение неможет все время находиться в Uо , поскольку на компакте Uо функV (х) ограничена. Но решение не может выйти из Uо через теV(x) = V(xo),x(t), t > О, не выходиV(x(t)) > V(xo) > О. Следоватак как, пока точкала из И, выполняется неравенствотельно, решение выходит из Uо через точку границы {х:е-окресгности положения равновесия (рис.(2.1)= Е}положение равновесия неустойчиво. ~_ _ _ _ _ _ x=x(t)ÔÍ-12ÔÍ-12Ilxllи поэтому согласÌÃÒÓÌÃÒÓно определению2.8),ÔÍ-12цияточки, гдеÌÃÒÓ= min{V(x)1О множество И совпадаетV (х) > О}, и поэтому его переV(x) ~ V(xo) > О} являетсякомпактом и не содержит точку хна у> О, выполненоV(x(t)) > V(xo).Рис.
2.826ÌÃÒÓÔÍ-12=D, и существуеттакая непрерывнодифференцируемаяфункция V: D --t R,что: 1) V(O) = О; 2) сколь угодно близко к положению равновесиясуществует точка хо, в которой V(xo) > О; 3) производная У(х) всилу системы (2.1) положительна в множестве И = {х Е й . 11 х 11 ~~ Е, V(x) > О}, Е > О. Тоща х = 0 - неустойчивоеположение(2.1),ÔÍ-12ÌÃÒÓ(теорема Четаева).
Пусть х2.8ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓТеоремажением равновесия системывием х(О) =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСущественная особенность условия теоремы Четаева состоитв том, что не требуется положительная определенность функцииV(x).Важно лишь то, что в сколь угодно малой окрестности нулевого положенияравновесиявыполненоусловие: в области полоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПример2.6.2.8для доказательства нерядка Хl = x~ - зхrХ2, Х2 = x~ - зхrх~.
Других положений равновесия эта система не имеет. Для функции V (х) = Х2 - ху /2 находим,что V(O) = О, V(x) = x~ - 3xfx~ - xl(x~ - зхrХ2) = x~ - 3хух§ ++ 3X~X2 - = (Х2 - xr)з.xiПоскольку У(х) > о при Х2 > xi/2, а V(x) > о при Х2 > xf(рис. 2.9), в замкнутой окрестности {х = (хl, Х2) : ху +Х§ ::; 1/16}нулевого положения равновесия производная V (х) положительна втех точках, гдеV (х) >о. Согласно теореме Четаева, нулевое положение равновесия неустойчиво.ÌÃÒÓÌÃÒÓПрименим теоремуустойчивости нулевого положения равновесия системы второго поÔÍ-12ÔÍ-12стемы (2.1) тоже положительна.ÌÃÒÓÌÃÒÓжительности функции V(x) производнаяэтой функции в силу си1Рис.2.9Частным случаем теоремы Четаева является следующее утверÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-124"Теоремах=2.9(теорема Ляпунова о неусгойчивости).
ПустьО является положением равновесия системы(2.1),а областьDсодержит точку х = о. Предположим, что существует непрерывноÔÍ-12ÔÍ-12ждение.27ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ2.7.Рассмотрим частный случай автономных системквадратная матрица порядка-Еслишение хжеdet А=detA =n=1=- о, то уравнение Ахс элементами из=.IR.о имеет единственное рео, являющееся нулевым положением равновесия. Еслио, то решения уравнения Ах=ранг матрицы А. В любом случае хлинейной системы=О-О образуют в>нейное подпространство размерности n - rО, где rJR.nли= RgA-положение равновесия(2.7), и оказывается, что характер его устойчивости полностью определяется спектром матрицы А, т. е. множествомкорней характеристического уравнения этой матрицы.Теорема2.10(теорема об устойчивости линейных систем).О линейной системы(2.7)устойчивоk = 1, n,характеристического уравнения матрицы А системы неqkс Rел'k=Овыполнено условие== n - qk.(2.8)О асимптотически устойчиво в целом тогда и только тоща, когда действительные части всех корнейхарактеристического уравнения матрицы системы отрицательны.В остальных случаях, т.
е. когда есть корень характеристическоÌÃÒÓПоложение равновесия хл'kI)ÔÍ-12тогда и только тогда, когда действительные части всех корней л'k,положительны и для любого корня л'k кратностиÌÃÒÓго уравнения матрицы системы с положительной действительнойностиqk> 1, для которого не выполнено условие (2.8), положениеравновесия х=О неустойчиво.28ÔÍ-12частью или есть корень л'k с нулевой действительной частью кратÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12линейные(2.7)Rg(A -ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ-автономные системы:ÔÍ-12ÔÍ-12Линейные системыÌÃÒÓÌÃÒÓD функция V: D -+ R, удовлетворяющаяусловиям V(O) = О, V(x) > О в D \ о и V(x) > о в D \ о. Тогдах = О - неустойчивое положение равновесия. #Положение равновесия х =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12дифференцируемая вгде АÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12~ Доказательство теоремы основано на том, что при заданном начальном состоянии х(о) соответствующее решение системы (2.7) можно представить в виде x(t)= eAtx(O) идля матрицы А существует такая невырожденная матрица Р, что матрицар-l АР=J=...
, J r ) имеет жорданову нормальнуюжордановых клеток Jk. Каждая жордановаdiag( J 1 ,форму, состоящую изrклетка Jk имеет размерность тk и соответствует корню Лk характеристического уравнения матрицы А. Тогдаx(t) = eAtx(O) = Pe Jt P-1x(0) =rmkL L ts-lеЛktQksХ(О),(2.9)ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓгде Qks -некоторые квадратные матрицы порядкаn.В простейшем случае, когда характеристическое уравнение матрицы А имеет n действительных попарно различных корней ЛЬформула(2.9)записывается в видеÔÍ-12ÔÍ-12k=ls=lЭта же формула получается, если выбрать вJRn базис el, ... ,е n из(Aek = ЛkСk), разложить начальное условие по этому базису х(О) = Сlеl + ...
+ cnе n и записать соответствующее решение задачи Коши в виде х( t) = L~=l СkеkеЛkt.собственныхвекторовматрицыАÌÃÒÓÌÃÒÓx(t) = eAtx(O) = Ре Л р- 1 х (0) = Pdiag( е Л1 t , ••. ,el..пt ) p- 1x(0).случае, а в общем случае из формулыДействительно, если есть корень характеристического уравне>о,то при сколь угодно малом положительном с решением является=cRe(eleAkt), где еl -комплексный, вообще говоря, собственный вектор (Ае! = лl еl), При t-+ +00 норма этого решенияпринимает сколь угодно большие значения, и поэтому положениеравновесия неустойчиво.
Следовательно, для устойчивости положения равновесия х =О необходимо, чтобы для всех корней выполнялось условие RеЛk<ÌÃÒÓÌÃÒÓследует утверждениения с положительной действительной частью, например RСЛlx(t)о.Если все корни характеристического уравнения имеют неположительные действительные части, причем корни с нулевой действительной частью имеют кратность один, то lIeAtl1 будет ограничена при t ~ о, и поэтому нулевое положение равновесия в этомÔÍ-12ÔÍ-12(2.9), итеоремы.ÔÍ-12ÔÍ-12Из приведенных представлений решения задачи Коши в частном29ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12случае устойчиво. Это же будет верно и в случае наличия корнейл'k кратности qk> 1 с нулевой действительной частью, но при выполнении для них условия= 1 длятk(2.8),которое эквивалентно равенствусоответствующего слагаемого внении условия(2.8)(2.9).При невыполнулевое положение равновесия неустойчиво,поскольку сколь УГОдНо близко к нему существует такое начальное условие, что норма соответствующего решения задачи Кошипринимает сколь угодно большие значения из-за множителя t s - 1 сs>1.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ--+ +00условии (поэтому нулевое положение равновесия асимптотическиустойчиво в целом).
~Квадратную матрицу с действительными элементами называютгурвицевой, или устойчивой матрицей, если все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Поскольку линейная система(2.7)асимптотически устойчиваÌÃÒÓÌÃÒÓ(поэтому нулевое положение равновесия устойчиво) и при tвсе слагаемые в решении стремятся к нулю при любом начальномÔÍ-12ÔÍ-12Если же все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, то 11 e A t " ограничена при t ~ ОÌÃÒÓхарактеристического уравнения матрицы Апроверять выполнение условия отрицательности действительныхчастей всех его корней. Это условие есть, и состоит оно в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется квадратная матрица А порядкаn.В i-й строке матрицы Аa2i-2, ... ,a2i-n с учетом того, что аоk>а2,= 1, ak =(2.10)О приka2i-l,<О иn.
Поэтому на ее диагонали оказываются коэффициенты аl,... , а nхарактеристического уравнения:ÔÍ-12стоят коэффициенты характеристического уравненияÌÃÒÓÔÍ-12гурвицева, важно иметь условие, позволяющее по коэффициентамÔÍ-12ÔÍ-12(в том числе в целом) тогда и только тогда, когда матрица системы30ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12А=1ООООаза2al1ООа5а4аза2al1ОООООЗатем вычисляют главные диагональные определители матрицы А:ÔÍ-12ÌÃÒÓ1Оаза2аlа5а4аз,имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно выполнения неравенств (условий РаусаГурвuца) Лk>О придля уравнения второй степени л2 + аlЛ + а2уса - Гурвица эквивалентны неравенствам аl >уравнения третьей степени лз + а 1 л2 + а2 л + аз>О, аз>О, ala2>= О условия РаО, а2=О->О, а длянеравеназ.Исследуем на асимптотическую устойчивость нулевое положение равновесия системы(2.7)с помощью метода функций Ляпунова.
для этого рассмотрим положительно определенную квадратичную форму V(x) = хТРх, Р"ную в силу системы (2.7) V(x)РАхматрицаQ=хТ(АТ Р+РА)хР>±ТРх=о и найдем ее производ+ х Т Рз: =(Ах)ТРх+-хТQх, где симметрическаяопределяется равенством(2.11 )Qположительно определена, то,левое положение равновесия системы(2.7)асимптотическиустойчиво. Однако нахождение такой квадратичной формы V (х) даже вÔÍ-12Если окажется, что матрицасогласно теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости, нуÌÃÒÓ+хТ==ÔÍ-12ствам а2-#k = 1,n.ÌÃÒÓÔÍ-12al(теорема Гурвица).
для того чтобы все корни2.11(2.1О)=ÔÍ-12ТеоремауравненияÌÃÒÓаnÌÃÒÓalДЗÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-1231ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12случае асимптотически устойчивого положения равновесия представляет собой непростую задачу.Можно поступить иначе. Выберем сначала положительно определенную симметрическую матрицуQи рассмотрим(2.11)какуравнение относительно матрицы Р. Это уравнение называют уравнением Ляпунова. Если оно имеет в качестве решения положительно определенную симметрическую матрицу Р, то с помощьюсоответствующей функцииV(x) =х Т Рх можно убедиться в асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия.То, что так можно исследовать на асимптотическую устойчиÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓрема.Теорема2.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
