Конспект лекций по устойчивости движения (1063614), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнение (2.16) -альный вид записи двух уравнений Ляпунова(2.14),специсоответствующих матрице А, не имеющей корней характеристического уравне(2.16)имеет единственное решение Р = Р •ТОбозначим черезvтакое положительное число, для которогоинтервал (О, у) не содержит действительные части корней характеристического уравнения матрицы А. Тогда характеристическоеуравнение матрицы А -v 1 имеет вид det( (А - v 1) - лI) = det( А+ v)I), т.
е. при переходе от матрицы А к матрице А -»Т корни характеристического уравнения матрицы А смещаются на комплексной плоскости влево на У. Поэтому у матрицы А- v1естьхотя бы один корень характеристического уравнения с положительной действительной частью и нет корней с нулевой действительнойÔÍ-12-(лÌÃÒÓния с нулевой действительной частью. Поэтому уравнениеÔÍ-12ÌÃÒÓО)А2ÌÃÒÓÌÃÒÓ=ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓQl и Q2 И вычислив матрицу Q = TTdiag(Ql, Q2)T, реv I)T Р + Р(А - v1) == Q. Это уравнение вида (2.16) соответствует матрице А - v 1. Составив функцию v(x) = х Т Рх, найдем ее производную в силушим относительноматрицы Р уравнение (А -автономной системыÔÍ-1238ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Зафиксировав симметрические положительно определенныематрицыÌÃÒÓÌÃÒÓчастью.ÌÃÒÓ+ хТР(Ах + a(x)llxll) =ÌÃÒÓÔÍ-12+ РА)х + 2х Pa(x)llxll == хТ«А - vI)T Р + Р(А - vI)x + 2Ух Рх + 2х Ра(х) Ilxll == XTQX + 2vv(x) + 2х Pa(x)l/xll.ТхТ(А РТТТТТак какlimx-tОа( х) = О, дЛЯ любого е>О существует такое() >О,что при всех х, Ilxll < б, вьтолнено неравенство 11 а(х) 11 < е.
Тогда в множестве {х:< (), v(x) > О} справедлива оценкаIIxllv(x) ~ Amin(Q)llxI1при е2-211Pllellxl1 2< Лmiп (Q ) / (2 1 I Р I I )~ (Лmiп(Q)и- 211Plle)lIx11 2эта производная положительна. ПоэтомуÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓустойчиво ....При исследованиивопроса об устойчивостилюбого положенияравновесия х* автономной системы хтеоремыI2.13(х) с использованиемпоступают так: в точке х" находят матрицу Якоби~~~---а;;- х=х* И исследуют знаки деиствительных частеи корнеи еехарактеристического уравнения. Если эта матрица гурвицева, т. е.действительные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны, то положение равновесия х* асимптотическиустойчиво.
Если действительная часть хотя бы одного корня харакÌÃÒÓÌÃÒÓдj(х)= jÔÍ-12ÔÍ-12условия теоремы Четаева выполнены и положение равновесия нех* неустойчиво. эти два случая называют некритическими. Имсвойственно то, что характеры устойчивости автономной системыи системы первого приближения в указанном смысле совпадают.В остальных случаях, а именно когда действительные частиимеется хотя бы один корень с нулевой действительной частью,для исследования характера устойчивости положения равновесиях* автономной системы использовать теоремуэти слуПростейшие примеры критического случая дают одномерныеуравнения±= -х т , m = 2,3. Они имеют единственное положение равновесия х = О.
Матрицы Якоби (_mx m - 1 ) в положении равновесия совпадают с матрицей (О), и их характеристическиеуравнения л = о имеют единственный корень, равный нулю. Нулевое положение равновесия уравнения ± = -х 2 неустойчиво соглас39ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-122.13 нельзя.чаи называют критическими.ÌÃÒÓÌÃÒÓвсех корней характеристического уравнения неположительны иÔÍ-12ÔÍ-12теристического уравнения положительна, то положение равновесияÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓно теореме Четаева (для функции V (х) = х 2 > О ее производнаяV(х) = - 2х 3 > О при х < О). В то же время нулевое положение равновесия уравнения ::1; = _х 3 асимптотически устойчиво согласно теореме 2.2 (для функции V(x) = х 2 > О ее производнаяV(x)= -2х 4Пример-ЬХ2, а>< О В окрестности точки х =О).2.7.Система второго порядка е- = Х2,::1;2 = -а sin Х1 ->О, описывающая колебания маятника в вертикальО, Ьной плоскости с учетом сил сопротивления, имеет положения равновесия в точках Х1 =1tk, Х2 =О,k=О,±l, ±2, ...ИсследуемихÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓби в точке (1tk, О) равна (-a(~l)k ~ь).
Характеристическоеуравнение этой матрицы л2+ьл+( -l)k a = О при четных значенияхk имеет положительные коэффициенты, и поэтому действительныечасти его корней отрицательны, а при нечетных значениях k егоÔÍ-12ÔÍ-12устойчивость с помощью линейного приближения. Матрица Яко-ложения равновесия (21tm, О), т -целые числа, асимптотически2.9.Доказательство теоремы2.62.6будет использовано следующееобщее свойство систем обыкновенныхдифференциальныхуравнений.Теорема 2.14 (теорема о непрерывной зависимости от начальных условий).
Пустьx(t), t(2.1) с начальным условием x(to)Е[to, tl] -решение системы= хо, содержащееся в D при всехx(t), t~О} ограничено в={х Е JRn: Х=И поэтому согласно принциJRn,пу Больцано- Вейерштрасса любая последовательность x(k) == x(t(k», t(k) -+ +00 при k -+ +00, содержит сходящуюся подпоследовательность X(k n ) = x(t(knСледовательно, множество».ÔÍ-12=ÌÃÒÓ[to, tl], Тогда для любого Е > О существует такое О > О, что при- хо 11 < о решение у( t) задачи Коши с начальным условиемy(to) = Уо определено при всех t Е [to, tl] и вьшолнено неравенство lIy(t) - x(t) 11 < Е.
#t Е"УоДоказательство теоремы 2. б. Множество ХÔÍ-12неустойчивы,ÔÍ-12ÔÍ-12в доказательстве теоремыÌÃÒÓ« 2т+ 1) п, О) -устойчивы, а положения равновесияÌÃÒÓÌÃÒÓ:корни действительны и имеют разные знаки. Следовательно, по40ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓxbl(t)ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12непусто. Кроме этого из ограниченности множества Х следует, что множество его предельных точек [Х] тоже ограничено,так как еслиII[X]IIs ь.IIXIIsь = SUPxEXIlxHпри некотором Ь Е R, то иÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Действительно, фиксируем любое е>где У1.
Е хЮ(t). Тогда 3N1 Vn > N 1 :как Уl, Е хЮ(t) для каждого Z, то Уl, =О и пусть У =Ilyn - yll <Нтз-++ооx(tl,J),11тУнtl,J-71.-++00fJ2. Такгде-+ +00 при J -+ +00. Поэтому для каждого целого n > О среди t nJ ,J = 1,2, ... , существует такое t n > tln, что Ilx(t n ) - Ynll < 1/n.Последовательность{t n } при n -+ +00 стремится к +00, причем3N2 Vn > N 2 > 2/€ : Ilx(t n) - Ynll < 1/n < €/2. Тогда приn > шах{ N 1 , N 2 } имеемжествоliшn-++ооxbl(t)x(tn ) ,и поэтому У Е хЮ(t).
Следовательно, мнозамкнуто. Поскольку множествоxbl(t) ограниченоиÌÃÒÓт. е. У =ÔÍ-12ÌÃÒÓная точка множества, состоящего из предельных точек некоторого множества, тоже является предельной точкой этого множества.ÌÃÒÓÌÃÒÓЗамкнутость множества хЮ(t) следует из того, что предельПусть х= <p(t,p), t ~ О, = р.
Для Уусловием <р(О,р)Это= liшl,-++ООположительно инвариантно.решение задачи Коши с начальнымxbl(t) покажем, что <p(t, У) Е xbl(t).<p(t, У) = <p(t, liШ1.-++00 x(tl,» =<p(t, x(tl,» =liшl,-++ОО <p(t, <p(t1.' х(О») = liшl,-++ОО <p(t+следует+ tl"x(t)изЕравенствх(О», из которых второе справедливо согпасно теореме2.14 онепрерывной зависимости от начальных условий.Докажем, что траекторияx(t) приближаетсяк xbl(t). Предположим противное. Тогда существуют е>О И такая последователь{tl,}, t1. -+ +00 при 1, -+ +00, что p(x(tl,), xbl(t») > е.
Послеx(t.,,) ограничена, поэтому из нее можно выделитьсходящуюся подпоследовательность х( tl,l ), х( tl,l) -7 х' при t1. -+'-+ +00. Но в этой ситуации х' Е xbl(t), хотя из сделанного предположения следует, что р(х', xbl(t» ~ е.ностьÌÃÒÓÌÃÒÓДокажем, что множествоÔÍ-12ÔÍ-12замкнуто, оно компактно.ÔÍ-12ÔÍ-12довательность41ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫБарбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука.Гл. ред.
физ.-мат. лит.,2.ния. М.: Физматгиз,3.1967.224 с.Красовский Н.Н Некоторые задачи теории устойчивости движе1959.Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное иадаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.:Наука,4.2000. 549 с.Румянцев В.В., Озиранер А.С Устойчивость и стабилизацияфиз.-мат; лит.,1987.256 с.Справочник по теории автоматического управленияА.А. Красовского. М.: Наука,6.Четаев нг./Под ред.1987. 712 с.Устойчивость движения.М.:Наука.Гл.ред.НаН,2002.ÌÃÒÓ750р.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12физ.-мат.
лит.,ÔÍ-121965.208 с.7. Khalil НК. Nonlinear systems. 3d ed. N.J.: PrenticeÌÃÒÓдвижения по отношению к части переменных. М.: Наука. Гл. ред.5.ÔÍ-12ÔÍ-121.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПредисловие...... .. .........
... .... ..... ... ...... .. .. .. .. .......1. Предварительные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Теорема существования и единственности. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Условия Липшица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .1.3. Продолжение решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4582.7. Линейные системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8. Устойчивость по первому приближению. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .2.9. Доказательство теоремы 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список рекомендуемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28344042.... .... .. ............. .............. ......... ..... .. .......
... .. .......Теоремы Ляпунова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Области притяжения и время переходного процесс а . . . . . . . . .Теоремы Барбашина - Красовского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Определения устойчивости.Теорема Ла-СалляÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Теорема ЧетаеваÔÍ-12... ... .... ..... .. .... . ....... ... ...........9912172023252.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.ÌÃÒÓÌÃÒÓАвтономные системы.34ÔÍ-12ÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ2.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓУчебное изданиеАлександр Петрович КрищенкоУСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ Автопомпых СИСТЕМРВ. Царева2,75.10.07.2007.
Формат 60х84/16. Бумага офсетная.2,56. Уч.-изд. л. 2,25. Тираж 300 экз, Изд. K~ 38.Заказ 523Уел. печ. л.Издательство МГТУ им. н.3. Баумана105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5ÌÃÒÓПодписано в печатьПеч. л.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12КоррекгорКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногÌÃÒÓÌÃÒÓРедактор Е.К КошелеваÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
