Конспект лекций по устойчивости движения, страница 3

е.V(x(t»). Полученное противоречие доказы­что lim V(x(t» = О. Осталось заметить, чтоt.-....++ooВ ВТ это равенство возможно лишь приФункцию-7 О. ~удовлетворяющую условиюV(x),положительно определенной (вжеx(t)D)и пишут(2.3), называютV(x) > О. ЕслиV(O) = о и V(x) ~ о в D \ о, то V(x) называют положи­тельно полуопредепенной, или неотрицательно определенной(вD), и пишут V(x)~ о. Функцию V(x) называютотрицательноопределенной(в D) и пишут V(x)<о (отрицательно полуопре­О), если функция(соответственноположительнополуопределенная(вD».Используя эту терминологию, теоремы Ляпунова можно сфор­мулировать так: нулевое положение равновесия устойчиво, если вруемая положительно определенная функция с отрицательно полу­определенной производной в силу системы, и оно асимптотическиустойчиво, если у этой функции ПРОИЗВОдНая в силу системы отри­цательно определена.Непрерывно дифференцируемую функциюи(2.4),V (х),удовлетворя­называют функцией Ляпунова, а ееп]Ляпунова и MOryт покидать ее, но только попадая в множество-поверхностями Ляпуно­ва, или поверхностями уровня функции Ляпунова.Условия теорем Ляпунова допускают следующую геометриче­скую интерпретацию.

Неравенство (2.4) с учетом равенства V (х) == grad V (х) . f (х) означает, что траектории системы (2.1) могутнаходиться на поверхности уровня {х:V (х) = п] функции{х:V (х) <о}, При выполнении условия(2.5) траектории систе­мы только пересекают поверхности уровня {х: У(х) = п] ФУНК­цИИ Ляпунова, попадая в множества {х: V (х) < п} (рис. 2.3), т. е.ÌÃÒÓповерхности уровня {х:ÔÍ-12V (х)=ÔÍ-12(2.3)ÌÃÒÓющую условиямÌÃÒÓÌÃÒÓнекоторой его окрестности существует непрерывно дифференци­ÔÍ-12ÔÍ-12деленной, или неположительно определенной (вV(x) :::;D), и пишут-V(x) положительноопределенная(в D)ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓсогласно теореме2.2,к положению равновесия.Теоремы Ляпунова позволяют доказать устойчивость положе­ний равновесия, не интегрируя систему дифференциальных урав­нений, хотя для этого надо найти функцию Ляпунова.

Часто функ-ÔÍ-1215ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12траектории «спускаются» по поверхностям Ляпунова, стремясь,ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Рис.ÌÃÒÓÌÃÒÓgradV(x)2.3нения состояния системы от положения равновесия,функцию энергии системы (ДЛЯ механических систем) и функции,связанные с правыми частями системы дифференциальных урав­нений.Примерxg(x) >2.2. Одномерное уравнение я;О при О<<а, где=-g(x), g(O)=О,непрерывная функцияg(x) -в интервале (-а, а), имеет единственное положение равновесия вf; g(x)dx, Ixl < а.

В области Ixl < а эта функ­ция непрерывно дифференцируема, положительно определена, а еепроизводная в силу системы V(x) = _g2(x)V (х) -<О. Следовательно,функция Ляпунова для рассматриваемого уравнения, а егонулевое положение равновесия асимптотически устойчиво соглас­но теореме ЛяпуноваÌÃÒÓ2.3.:1;2 =об асимптотической устойчивости.Система уравнений второго порядка Хl-аsiПХl, а>=Х2,О, описывает колебания маятника ввертикальной плоскости (рис. 2.4) без учета сил сопроти­вления. Ее положения равновесия находим, решая систе­му уравнений Х21tk, Х2 =О, а sin ХlО,k =О,=О.

в результате име­±l, ±2, ...Для исследо­вания на устойчивостьнулевого положения равновесия вкачестве функцииЛяпуноваподходит «функцияэнергии»=a(1-СОSХl)+х~/2.Вобласти \хl\<21tэтафунк-16ÌÃÒÓРис.2.4 V(x)ÔÍ-12ем Хl ==ÌÃÒÓПример2.2ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12\хlточке х = О. в качестве «кандидатуры» на роль Функции Ляпуноварассмотрим V(x) =ÔÍ-12используютÌÃÒÓÌÃÒÓдратичных форм (особенно для линейных систем), оценок откло­ÔÍ-12ÔÍ-12ции Ляпунова подбирают среди положительно определенных ква­ÌÃÒÓÔÍ-12производная в силу системы V (х) = а sin хl Х2 + Х2 ( -а sin хl) == О.Следовательно, согпасно теореме Ляпунова 2.1, нулевое положениеравновесия устойчиво.ÌÃÒÓ2.2.Отметим, что неудачный выбор кандидатурыдля функции Ляпунова в теоремах Ляпунова вовсе не означает по­лучение отрицательного результата, поскольку утверждения этихтеорем носят достаточный характер.Пример2.4.Система уравнений второго порядкаХ2 = -аsiПХl - ЬХ2, а> О, Ь >Xl=Х2,О, описывает колебания маятниканальных скорости движения.

Ее положениями равновесия являются2.3.для исследования нулевого по­ложения равновесия в качестве «кандидатуры» на роль функцииЛяпунова рассмотрим «функцию энергии»= a(l -сов зи )+x~/2 из примера 2.3, которая непрерывно дифференцируемаи положительно определена в окрестностиIXll <2п нулево­го положения равновесия. Найдем производную этой функции Всилу рассматриваемой системы уравнений V (Х) = а sin Хl Х2 ++ Х2( -аsiПХl - ЬХ2) = -ЬX~ ::; О. Так как У(х) - неполо­ÌÃÒÓ+V(x)ÔÍ-12в вертикальной плоскости с учетом сил сопротивления, пропорцио­те же точки, что и в примереÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЦИЯ непрерывно дифференцируема, положительно определена, а ееЗамечаниеÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ2.1,нулевое положение равновесия устойчиво.В действительности же это положение равновесия асимптотическиустойчиво.2.3.Области притяжения и время переходного процессаЕсли положение равновесия системы(2.1)асимптотическиустойчиво, то важной его характеристикой является область при­тяжения, или область асимптотической устойчивости.

Поопределению, эта область есть множество тех начальных состоя­ÌÃÒÓÌÃÒÓтеореме ЛяпуноваÔÍ-12ÔÍ-12жительно определенная функция переменных Хl, Х2, то, согласночи Коши определено при всехt~ О и стремится к асимптотическиустойчивому положению равновесия приt -?+00.Точное нахождение области притяжения часто невозможно, нодля приложений обычно достаточно знать оценку области притяже-ÔÍ-12ÔÍ-12ний х(О), для каждого из которых решение соответствующей зада­17ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ния-ÔÍ-12такое множество, которое содержит положение равновесиявместе с некоторой его окрестностью, а само содержится в областипритяжения.

Из доказательства теоремы Ляпунова об асимптотиче­ской устойчивости (см. теорему2.2)следует, что замкнутое множе­ствоV(3={x: V(x)~~}(2.6)является оценкой области притяжения, если оно ограничено и со­держится в множестве, где У(х) < о. С ростом ~ эти оценки, покрайней мере, не ухудшаются, и это позволяет строить оценки обла­сти притяжения положения равновесия системы(2.1)с помощьюÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ференцируемой, положительно определенной в R2 функции явля­ется V(Xl' Х2)мы2.2,= xr/(l + xr) + X~, у которой множества V(3 огра­< 1 (рис. 2.5). Согласно доказательству теоре­оценивать область притяжения с помощью этой функциипри ~V(3< 1.Рис.

2.5Использование функциймиV(3V(x)с неограниченнымимножества­дЛЯ оценок «больших» множеств притяжения проблематич­но. При построении таких оценок используют функции Ляпуноваопределенные при всех х и удовлетворяющие дополнитель­ности множествV(3.V(x)=+00,приводящему к ограничен­Функции, для которых выполнено это условие,называют бесконечно большими приIIxll -+ 00.18ÔÍ-12V (х),ному условию liШllхll-+ооÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12можно лишь множествамиÌÃÒÓничены лишь при ~сто при малых положительных значениях ~, с ростом ~ может длянекоторых функций нарушаться.

Примером такой непрерывно диф­ÔÍ-12Замкнутость множества V(3 следует из непрерывности ФункцииV (х ), а вот ограниченность множества V(3, даже если она имеет ме­ÌÃÒÓфункции Ляпунова.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓДля описания свойств области притяжения положения равнове­сия в приложениях часто используют понятие времени переходногопроцесса. Временем переходнога процесса из точки х( О) областипритяжения нулевого положения равновесия называют такой мо­мент времени 't, при которомрешение x(t),t~ О, соответствующейзадачи Коши попадает в достаточно малую заданную замкнутуюа-окрестность В а ={х:новесия и не покидает ее приIlxllt>~ а} нулевого положения рав­'t.Время переходного процесса можно оценить для некоторыхÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓваV (х), для которой выполнены условия теоремы Ляпунова обасимптотической устойчивости (см.

теорему 2.2). Пусть х(О) Е D(см. формулировку теоремы 2.2), ~ = V(x(O)) и существует такаязамкнутая т-окрестность ВТ с центром в точке х = О и радиусом т,ВТ={х:IIxll~ т}, которая содержится в областиD и содержитV(x) > ~. Тогда при t ~ О в соответ­ствии с доказательством теоремы Ляпунова об устойчивости (см.2.1) имеем x(t) Е .Q~ = ВТ n V~ (рис. 2.6).Рис.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12теоремуÌÃÒÓÌÃÒÓточку х(О), причем minllxll=TÔÍ-12ÔÍ-12точек из области притяжения, если известна функция Ляпуно­2.619ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓОбозначим 1 = minllxll=a V(x), выберем 13' Е (О, l) и рассмо­трим O~, = Во n V~" V~, = {х: V(x)::; J3'}.

Поскольку о доста­точно мало, будем предполагать, что о < т, а l < 13.Пусть t' - момент времени первого попадания решения x(t)задачи Коши в множество O~,. Поскольку x(t) Е O~, где V(x)< О,выполнено неравенство V(x(t)) ::; V(x( t')) = 13', т. е.x(t) Е O~, с Во. Поэтому t' не меньше времени переходиогопро­при t2:: t'цесса.,Обозначим через Q~~, замыкание множества O~13 < 13оно непусто, а.l' = - maxxEil lJll, V(x) >\ Qp'.