Конспект лекций по устойчивости движения, страница 4

Прио. Поскольку.V(x(t')) - V(x(O)) = fo V(x(t))dt::; -y't', для всех х(О) Е a~справедлива оценка времени переходиого процесса t::; t' ::;того, что величинуможно выбрать сколь угодно близко к l, в инженерных расчетах::; (V(x(O)) -13'13')/1' ::; (13 - 13')/1'. С учетомдля начального состояния х(О) из области притяжения полагают,2.4.= (13 - l)jy', где 13 = V(x(O)),-У(х).maxl::;V(x)::;PТеоремы БарбаmинаÌÃÒÓ1 = miПllхll=а V(x), у' = -ÔÍ-12т'что время переходного процесса tÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓКраеевекош-из теорем приведена с доказательством, а две другие лишь сформу­лированы, так как они, как и первая теорема, являются частнымислучаями теоремы Ла-Салля, которая будет рассмотрена в следую­щем разделе.ÔÍ-12ÔÍ-12Е.А.

Барбашину и Н.Н. Красовскому принадлежат три важныетеоремы об асимптотической устойчивости. В этом разделе перваяОпределение 2.2. Предположим, что система (2.1) определенаnво всем R , где ее правая часть локально липшицева. Если поло­жение равновесия системы(2.1)асимптотически устойчиво и егообласть притяжения совпадает со всемRn,то положениеравно­ÌÃÒÓÌÃÒÓПредварительно введем важное понятие.бально асимптотическиустойчивым.=-Красовского).О является положением равновесия системы(2.1),20опре-ÌÃÒÓТеорема 2.3 (первая теорема БарбашинаПусть хÔÍ-12ÔÍ-12весия называют асимптотическиустойчивым в целом, или гло­ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12деленной в lRn , и существует непрерывно дифференцируемая, поло­жительно определенная и бесконечно большая приV: .IRn -+ lR,цияIlxll -+ 00 функ­производная которой в силу системыцательно определена.

Тогда х=О-(2.1)отри­асимптотически устойчивое вÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ~ Зафиксировав в качестве областиDнекоторую окрестностьнулевого положения равновесия, получим, что в этой окрестностивьmолнены условия теоремы2.2, согласно которой нулевое положе­ние равновесия асимптотически устойчиво. Поэтому остается дока­ÌÃÒÓПусть х(О) Е }Rn, х(О) =J- о и ~ =V(x(O». Поскольку функция-+ 00, существует такое r > О,что при Ilxl\ > r выполнено неравенство V(x) > ~. Следовательно,V/3 = {х : V(x) ~ f3} с {х : Ilxll ~ Т} = Вт, и, полагая QI3 = Vj),V(x)бесконечно большая прибудем иметь вложение0/3положение равновесия хV(x(t» < V(x(O»=IIxllС Вт.

Множество013=VI3(содержитО), ограничено и замкнуто. При t~ ~, и поэтому траекторияx(t)>Оне выходит изкомпакта 11/3. По теореме о неограниченном продолжении решениеx(t)определено при всех t ~ О. Повторяя доказательство теоремыЛяпунова об асимптотической устойчивости, по:кажем, что для это­возрастает на [О, +00) и ограниченаснизу нулем. Значит, существу­ет limt -++ oo V(x(t»=с ~ О. Предположим, что С> О. Тогда суще­IIxllствует такое d > О, что н; = {х:s; d} с {х: V(x) < с}.Траектория x(t), t ~ О лежит вне B d , поскольку V(x(t», не возра­ÔÍ-12го решения выполнено равенство 1iШt-++оо V(x(t» = О.

Действи­тельно, так как решение х( t) не выходит из .Q/3, функция V (х( t» неÌÃÒÓÔÍ-12IR n .ÔÍ-12ÔÍ-12зать, что его область притяжения совпадает со всемÌÃÒÓÌÃÒÓцелом положение равновесия.IR nt-++ooэто равенство возможно лишь при х( t)Вернемся к примеру(2.4).-+ О.~Производная функции Ляпунова рав­на нулю только в точках множества {х = (хl, Х2):Х2=О}.

Вы-21ÌÃÒÓзаметить, что вÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12B d меньше с. Величина у = - maxd~llxll:;T У(х) положительна, ипоэтому V(x(t» - V(x(O» = f~ V(x(t»dt ~ -yt -+ -00 приt -+ +00. Следовательно,V(x(t» -+ -00, что противоречитогра­ниченности снизу нулем функции V (х( t». Полученное противо­речие доказывает, что с = О, т. е. что Нш V(x(t» = О. ОсталосьÌÃÒÓÌÃÒÓстая, стремится к с, а значения функции V (х) в точках множестваÌÃÒÓsinxl(t) =О, т. е.Xl(t) ==тck,k=в окрестности {х = (хl, Х2): -тс=О и найдем, чтоО ± 1, ±2, ....

Следовательно,<Хl<п} нулевого положенияО в множестве нулей производной функции Ляпу­нова нет других решений, кроме Х= о. в этой окрестности функция= О) монотонно убывает.Ляпунова вдоль любого решения (кроме хОказывается, что тогда нулевое решение асимптотически устойчи­во. Это следует из приведенного ниже утверждения.2.4(вторая теорема БарбашинаКрасовского).-D,(2.1), опре­и существуеттакая непрерывно дифферен­D --+ JR, чтоD: V(x) = О} не содержитцируемая положительно определенная функция V:V(x) ::; О в D, а множество Sцелых траекторий, кроме х== {х ЕО.

Тогда Х=Оасимптотически-Справедлив также глобальный вариант теоремыТеоремаПусть х=2.5(третья теорема Барбашина-2.4.Красовского).О является положением равновесия системы(2.1), опре­ÔÍ-12ÌÃÒÓ--+00функция V(x), что V(x) ::; О в JRn, а множество S = {Х Е JRn :V(x) = О} несодержитцелыхтраеКТОРИЙ,кромех = о. Тогдах = Оасимптотически устойчивое в целом положение равновесия.Пример-h1(Хl) -ложение равновесия в точке Х(Хl, Х2)=(О, О).

Функция= fo hl(~)d~ + x~/2 при Х Е D = {Х = (Хl,Х2): IXil < а,= 1, 2} положительно определена и непрерывно дифференцируе­V(x)i=X1ма, а V(x)=h 1(Хl)Х2+ Х2( -h 1(хl) -Множество S = {Х Е D: У(х) = О}h 2(X2))==-Х2h2(Х2) ::; О.{Х Е D: Х2 = О} нулейÔÍ-12ÔÍ-122.5. Рассмотрим двумерную систему Хl = Х2, Х2h 2(X2), где функции h 1,2(X) - локально липши­цевы и удовлетворяют условиям h~(O) = о,Xihi(Xi) > О приО < IXil < а, i = 1,2.

Эта система имеет единственное по­I/xllÌÃÒÓ-положительно определенная и бесконечно большая приÔÍ-12деленной в JRn, И существует такая непрерывно дифференцируемая,ÌÃÒÓустойчивое положение равновесия.ÔÍ-12Пусть х = О является положением равновесия системыделенной в областиÌÃÒÓÌÃÒÓ==Для этого положим во втором уравнении Х2 (t)ТеоремаÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ясним, содержит ли это множество какие-либо решения системы.равновесия хÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ22ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12производной содержит только нулевое положение равновесия, таккак приX2(t) ==О из второго уравнения имеемсогласно второй теореме БарбашинаXl(t) ==О.

Поэтому,Красовского, нулевое поло­-жение равновесия асимптотически устойчиво.Отметим, что если аJo+ hl(~)d~,OOJo-OO= +00и несобственные интегралыhl(~)d~ расходятся, то функция V(x) будет00, и поэтому из проведенногоS следует, что, согласно уже третьей теоремебесконечно большой при IIх!1 ~анализа множестваБарбашинаКрасовского, нулевое положение равновесия асим­-ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема Ла-СалляВведем сначала определения некоторых предельных множестврешений системы(2.1).Определениекой решениятельность2.3.Точку р ЕJR.n называют{t n } , t n~+00приn~lim х( t n )n-++оо=р.Определение2.4.x(t) системы наобозначают XOO(t).Множество М СJR.nназывают: а) инвари­антным множеством относительно системы(2.1), если Vx(O) ЕMVt Е JR.n : x(t) Е М; б) положительно инвариантныммножеством относительно системы (2.1), если Vx(O) Е М Vt 2::~ о : x(t) Е М.

Объдинение всех положительно инвариантныхЕмножеством.Примером положительно инвариантного множества относи­тельно системы(2.1)является множество П[3, построенное придоказательстве теоремы2.1.ÌÃÒÓмножеств называют наибольшимположительноинвариантнымНесложно заметить, что множество,Расстояние между точкой р ЕÔÍ-12обычно определяют как р(р, М)JR.n и множеством М С JR.n= inf XE l\II lIp - xll и говорят,23ÔÍ-12состоящее из всех точек траектории системы, является инвариант­ным относительно этой системы.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12чтоÔÍ-12ÌÃÒÓ+00,Множество всех (О-предельных точек траекториизывают вз-предельныммножествомиÔÍ-12ÔÍ-12вз-пределъной точ­системы (2.1), если существует такая последова­x(t)ÌÃÒÓÌÃÒÓ2.5.ÔÍ-12ÔÍ-12птотически устойчиво в целом.ÌÃÒÓчтотраекторияx(t)1imt-++oo p(x(t), М)ÌÃÒÓÔÍ-12приближается кмножеству М,если= о.Асимптотически устойчивое положение равновесия являетсяш-предельным множеством любой траектории системы, начинаю­щейся из достаточно малой окрестности этого положения равнове­сия, и можно сказать, что любые две такие траектории сближаются.На рис.2.7показана траекториякоторой окружность-x(t)двумерной системы, дляю-предельное множество.

Эта траекто­рия приближается к указанной окружности, хотя предела х (t) приt -++00 не существует.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓx=x(t)Рис. 2.7Теоремашение(свойства ю-предельвего множества). Если ре­2.6x(t), t 2:о, системы(2.1)ограничено, то ее ш-предельвоемножество х 0)( t) непусто, компактно, положительно инвариантноотносительно данной системы и.... Доказательствоприближаетсякx(t)приведено в разд.XW(t) .2.9.•ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Справедливо следующее утверждение.Теорема 2.7 (теорема Ла-Салля), Пусть компактное множе­ство Q с D положительно инвариантно относительно системы(2.1), функция V: D -+ IR непрерывно дифференцируема, V (х) ::; она Q и S = {х Е Q: У(х) = О}.

Если М - наибольшее поло­Коши с начальным условием из....Пусть х(О)ЕS,то любое решение задачи11 приближается к М .Q, тогда, согласно теоремеченном продолжении, решениеx(t)1.3о неограни­определено при всехt 2:о иÔÍ-12ÔÍ-12жительно инвариантное множествовÌÃÒÓÌÃÒÓВажным является следующееутверждение.24ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12x(t) Е О. Функция V(x(t) не возрастает, так как У(х) S; о наО, и ограничена снизу, так как V(x) ограничена снизу как функ­ция, непрерывнаяна компакте О.

Следовательно,существуетпре­дел limt---++ooV(x) =с, и поэтомуV(x(t» =с наx<O(t).Действи­ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓtk -+ +00,чтох'. Посколькуx(tk) -+хЮ(t) С О. Воспользовавшись непрерывностью ФункцииО, находим, что для любой точки х' ЕV(x')=V( lim X(tk» =tk---++OOlimtk---++OOПоскольку, согласно теоремено, У(х)t---++ooмножество х Ю ( t) инвариант­2.6,x*(t), tдля любой точки х* Е x<O(t)~О, задачи Коши с началь­ÌÃÒÓÔÍ-12t 2::x<O(t),на ко­о выполнено равенствоКрасовского (см. тео­V(x*(t» = О, откуда V(x*) = о при t = О.Справедливы вложения хФ(t) С М с S с О, и, так как согпас­но теореме 2.6 решение x(t) приближаетсяк множеству хЮ(t), оноприближаетсяи к множеству М .

..Вторая и третья теоремы Барбашина ремы2.4, 2.5)являются следствиями теоремы Ла-Салля в частныхслучаях. При выполнении условий теоремы2.4в качестве множе­ства Q из условия теоремы Ла-Салля можно выбрать множествоO~ = {х:IlxllS; т, V(x)s; ~}, построенное на первом этапе до­казательства теоремы Ляпунова об устойчивости (см. теорему2.1).2.5 в качестве множества Q из усло­вия теоремы Ла-Салля подходит множество O~ = {х: V (х) S; ~},указанное в доказательстве теоремы 2.3 - первой теоремы Барба­шина - Красовского.Для доказательсва теоремыТеорема ЧетаеваСледующая теорема содержит достаточное условие неустойчи­вости положения равновесия.ÔÍ-122.6.ÌÃÒÓÌÃÒÓс. Следовательно, приÔÍ-12=ÌÃÒÓтором V (х)наV(X(tk» = )im V(x(t» = с.= о на x<O(t).