Конспект лекций по устойчивости движения, страница 2

Поскольку х(О) =1= О, разделяя переменные и интегрируя по­следовательно, получаем: -dx/x2 = dt, l/х = t + С. Подставляяначальные условия, находим значение константы С =уравнения-1.Иско­l/(t - 1). Правая частьнепрерывно дифференцируема в IR и поэтому локальноx(t)=липшицева. Следовательно, выполнены все условия теоремы1.1осуществовании и единственности решения любой задачи Коши дляэтого уравнения.

Однако найденное решение определено лишь lIрИt<1,и приt--+ 1 -ÌÃÒÓÌÃÒÓмым решением является функцияО оно стремится к -00. В таких случаяхговорят, что решение уходит на бесконечность за конечное время.Эффектухода на бесконечностьза конечноевремя часто бывает не­желателен, и важно знать условия, при которых он невозможен.Теорема 1.2. Если функцияf(x, t) кусочио-непрерывна по t иJRn Х [to, tl], т. е.

существует такаяпостоянная L, что для любых х, у Е IRn и любого t Е [to, tl] выпол­нено неравенство IIf(x, t) - f(y, t)11 ~ Lllx - yll, то любая задачаÔÍ-12ÔÍ-12х(О) ==ÔÍ-12ÔÍ-12переменного.Коши х= f(x, t), x(to) =[to, tl], #1.2.Покажем, что решения линейной неавтономнойсистемы дифференциальных уравнений тс непрерывными в= A(t)x + b(t),х ЕIRn,IR Функциями А( t) и Ь( t) не уходят на беско­нечность за конечное время. Так какA(t)непрерывна при всех8ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Примерхо, имеет единственное решение приÌÃÒÓt ЕÌÃÒÓÌÃÒÓгпобально липшицева по х наÌÃÒÓдля любого отрезкаIIA(t)" :::; L.существует такая постояннаяПоэтому для любых х, у Е R n и любого t Е(to, t1]IIA(t)x + Ь(t) - (A(t)y + Ь(t)1I=IIA(t)(x -Следовательно, выполнены условия теоремыy)11 :::; Lllx - yll·1.2, согласнокоторой(to, tl]и поэтому не уходят на бесконечность за конечное время.1.2, в#отличиеот условия локальной липшицевости, часто не выполняется дляматематических моделей технических систем.

Поэтому важна сле­дующая теорема о неограниченном продолжении решений системдифференциальных уравнений с локально липшицевыми правымичастями.1.3(теоремаонеограниченномпродолжении).вD, Хоf(x, t) кусочио-непрерывна по t и локально липши­Х на D х [to, +00], D - область в R n . Если W - компактЕ W, любое решение задачи Коши х = f(x, t), x(to) = хо,содержится вделено наW, то решениеэтой задачиКоши единственнои опре­[to, +00]. #АВТОНОМНЪIЕ СИСТЕМЫПриведены основные результаты метода функций ЛяпуноваÔÍ-122.ÌÃÒÓПусть функцияцева поÔÍ-12ÔÍ-12[to, tl]решения задач Коши единственны, определены на любом отрезкеТеоремаÌÃÒÓL, чтовьтолнено неравенствоТребование глобальной липшицевости в теоремеÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓt,ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ2.1.Определения устойчивостиРассмотрим автономную систему обыкновенных дифференци­альных уравненийх= f(x),где функцияf: D -+ Rn -(2.1)локально липшицева в областиD.ÔÍ-12ÔÍ-12новесия автономных систем дифференциальных уравнений.ÌÃÒÓÌÃÒÓприменительно к исследованию на устойчивость положений рав­9ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТак как / (х) локально липшицева в п, согласно теореме Ко­1.1 решение задачи Коши с начальным условием из D существу­ет и единственно.

Кроме того, локально липшицева в D функцияf (х) непрерывна в D, поэтому содержащиесяв D решения систе­мы (2.1) непрерывно дифференцируемы.Точку х Е D называют положением равновесия, или точ­шикой покоя, системы обыкновенных дифференциальных уравнений(2.1), если f= о. Точка х является положением равновесия тогда(х)и только тогда, когда решением системыфункцияx(t) ==является постоянная(2.1)х.Замена переменных у = хх преобразует систему-(2.1)в си­стемуiJ = g(y),g(y)=f(x)=f(y+ в).(22)Новые переменные у называют переменными возмущенногодвижения, а систему (2.2)-системой уравнений возмущенногоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓние равновесия х системы(2.1)преобразуется в нулевое положе­ниеравновесия у = о системы уравнений возмущенного движения.Переход к системе уравнений возмущенного движения всегдавозможен, и, как будет ясно из дальнейшего изложения, характерустойчивости положения равновесия при этом переходе не меняет­ся.

Поэтому дальнейшие результаты излагаются для нулевого по­ложения равновесия системысистема(2.1), т. е. далее предполагается,(2.1) удовлетворяет условию /(0) = о.Определение2.1.Положение равновесия х=чтоО системыÔÍ-12ÔÍ-12При переходе к переменным возмущенного движения положе­ÌÃÒÓÌÃÒÓдвижения.Ve>-О30>Vt > О: IIХ(О) I I < О===?- IIx(t) II < е;неустойчивым, если оно не является устойчивым, т. е. если3е-о>о\10>О 3t>О 3х(0):Ilx(O)1I <о& I/x(t)1I >е;асимптотачески устойчивым, если оно устойчиво и О мож­но выбрать так, чтоIlx(O)1I <о ===?-limt-++oox(t) =о.ÔÍ-12ÔÍ-12-устойчивЬUК,еслиÌÃÒÓÌÃÒÓ(2.1) (нулевое решение системы (2.1)) называют:10ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЗамечаниеÔÍ-12ÌÃÒÓ2.1.

Здесь x(t)lt=o = х(о) и в определениях устой­чивости и асимптотической устойчивости подразумевается, что ре­шения задачи Коши при начальных условиях из некогорой окрест­ности положения равновесия определены при всехНа рис.t2::о.приведена геометрическая интерпретация понятий2.1устойчивости (рис. 2.1,а), неустойчивости (рис.2.1,6)и асимпто­тической устойчивости(рис. 2.1, в).Иногда удается найти общее решение системы(2.1)и с его по­ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ\Е:I1\ÌÃÒÓ- , ....--- , ....'"....// о~"\'"''I~"}х(О),'"" ,--__- .......' .......J"'-""х(О) ,/"" l'" ...' _---"''' ,,""...._--,,'бавРис. 2.1Пример2.1.Одномерное уравнение х=Ах, х Е ~, имеет ну­левое решение, а его общее решение легко находится: x(t) = с-»,вия< о даже для любого начального= 1iШt-t+оо х(О)ел.t = О. Следовательно, приустойчиво.

Кроме этого в случае Аусловия liШt-t+оо x(t)<о нулевое положение равновесия асимптотически устойчиво.>О все частные решения (кроме нулевого) неограниченновозрастают с ростомt.В этом случае нулевое положение равнове­сия неустойчнво.ÔÍ-12л..При АÌÃÒÓ- произвольная постоянная. При наличии начального усло­x(t)lt=o = х(О) соответствующее частное решение запишетсяв виде x(t) = х(О)ел.t. При Л. .:s; О и t 2: О для частного решениясправедлива оценка IIx(t) II = Ilх(О)еЛtIl = Ilх(О)llел.t .:s; Ilx(O)II.Следовательно, y€ > О 3() = е Vt > О: Jlх(О)1I < () ===? IIx(t)11 .:s;.:s; 11 х (о) 11 < () = е и, следовательно, нулевое положение равновесиягде СÔÍ-12ÔÍ-12I....;ÌÃÒÓÌÃÒÓ,,\II'.,\ÔÍ-12,...-----................... ,... ",,ÔÍ-12ÔÍ-12мощью исследовать устойчивость нулевого решения.11ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Теоремы Ляпунова2.2.Дляисследованияположений равновесияА.М.

Ляпунов в концеÌÃÒÓÔÍ-12XIXна устойчивостьв. предложил метод, который теперьназываютметодом функций Ляпунова.где областьсистемы(2.1).сDJRnИзменение функции V =ÔÍ-12V(x(t» =~ aV(x(t»z=t.BV(x)Выражение ~ f(x)дх'Li=l==z= aV(x) f(x)1BV(x) fz(X)!Вх,fi(X(t»дхx=x(t).x=x(t)gradV(x) . f(x) называют производнойфункции V(x) в силу системы (2.1) и обозначают V(x), V(X)I(2.1)'dV(x)или d- I. Если, например, V (х) < О, то значения функции V(2.1)(2.1),проходящей через точку х, убыва-ют в этой точке.Теорема 2.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть=О является положением равновесия системы(2.1),а область Dсодержит точку х = О. Предположим, что существует непрерывноDфункцияD -+ JR,V:удовлетворяющаяV(O) =О,V(x) >V(x) ~ оТогда х= О-вовD\о,D.(2.3)(2.4)ÌÃÒÓдифференцируемая вусловиямÔÍ-12вдоль траектории системыхÌÃÒÓустойчивое положение равновесия.с того, что при выполнении условий теоремы установим следу­ющее свойство системы(2.1):для любого начального условия12ÔÍ-12~ Доказательство теоремы разобъем на четыре этапа и начнемÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ~ BV(x(t»Xi(t) =Ва:Li=lÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Овдоль любого реше­x(t) системы (2.1) можно охарактеризовать с помощью произ­водной V(x(t», ДЛЯ которой справедливыравенстваtÌÃÒÓV (х)нияz=lÔÍ-12D -+содержит положение равновесия х =ÌÃÒÓÌÃÒÓРассмотримнепрерывнодифференцируемуюфункцию V:-t JR,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓx(t)lt=o =ÌÃÒÓсистемы определено при всех t>О соответ­2::О.О.

Выберем такую замкнутую т­=О радиуса т~ т}, чтобы она содержал ась в областигда возможно, поскольку область<Е, ВТ=D. Это все­открытое множество и точкаD-х = О входит в него вместе с некоторой ее Е' -окрестностью. Обозна­чим минимум функцииВТ через а., а. =цияV (х){х:ствоmiПllхll=тV(x).Тогда а.>О, так как функ­непрерывна и положительна на компактном множестве11 х 11 =Q(3V (х) на границе замкнутой т-окрестности=т}. Выберем любое 13 Е (О, п) и рассмотрим множе­{х:V(x)(содержит точку х=~13} n Вт(рис. 2.2). Множество Q(3 непустоО), ограничено и замкнуто, т. е. является не­пустым компактом.ÌÃÒÓÌÃÒÓ,,t\.I\II\D\\~,,I\\2.2.2Покажем, что если точка х(О) ЕQ(3,то кривая х= x(t), со­ответствующаярешению задачи Коши с этим начальнымусловием,ÔÍ-12Рис.ÔÍ-12ÔÍ-12Ijxll{х:=ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x(t)Фиксируем любое Еокрестность ВТ с центром в точке х=ÔÍ-12х(О) из некоторой окрестности точки хствующее решение1.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ13 <о, компакгQ(3содержится внутри замкну­I/xll <{х:т}.

Поэтому любая непрерывная кривая, выходя из\ Q(3. Следовательно, если бы кри­вая х = x(t) вышла из множества 11(3, то при некотором t* > обыли выполнены два условия: x(t*) Е вт \ Q(3 и x(t) Е Вт привсех t Е [О, t*]. Но в ВТ выполнено неравенство V(x) ~ О, поэтомуV(x(t*» ~ V(x(O» ~ 13, т.е. x(t*) Е Q(3.

Полученное противоре­чие доказывает, что кривая х = х( t) не выходит из множества Q(3.Q(3,попадает в множество ВТÔÍ-12ÔÍ-12Посколькутой т-окрестности ВТ, T~ е. он содержится в открытом множествеÌÃÒÓÌÃÒÓне выходит из множества Q(3.13ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПоскольку Q(3 -3.компакг и решение задачи Коши с началь­ным условием х(О) из Q(3 не покидает Q(3, согласно теоремео неограниченном продолжении оно определено при всех-то 3бI/xll <>О:бÔÍ-1213.V(x) <===}< (),V(x(O» <13, т. е. точка х(О)Е Q(3. Но тогда решениеx(t)tКоши с начальным условием х(О) определено при всехсодержится в Q(3 и, следовательно, в ВТ' Поэтому при всехIlx(t) 11~r <тозадачи~ О иt~ ОЕ, что доказывает утвержде­ние теоремы об устойчивости ...Теорема 2.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устой­чивости).

Пусть х(2.1),а областьD=О является положением равновесия системысодержит точку х = О. Предположим, что суще­удовлетворяющая условиямV(O) =V(x) < оТогда х = О-вО,DV: D~R,ОвD \ ОиD \ О.(2.5)асимптотически устойчивое положение равновесия.(2.5) следует условие (2.4), согласно те­доказательствотеоремы13,2.1О устойчиво. Повто­=обустойчивости,Ilx(O)11введем т,Q(3 и б. Покажем, что при< () для соответ­ствующего решения x(t), t ~ О, задачи Коши выполнено равен­ствоlimt-t+oo V(x(t»=V(x(t»О. Поскольку решениеснизу нулем. Поэтому существуетПредположим, что с>x(t) не выходит+00) и ограниченаlimt-t+oo V(x(t» = с ~ О.не возрастает на [О,О. Тогда существует такое{х:IIx/l ~ d} с {х:t ~ О, лежит вне Bd, посколькуd>О, ЧТОÔÍ-12V(x) < с}. Траектория x(t),V(x(t», не возрастая, стремит­ся к с, а значения функции V(x) в точках множества B d меньшес. Величина 'у = - maxd~llxll~T V(x) положительна, и поэтомуV(x(t» - V(x(O» = f~ V(x(t»dt ~ -yt ~ -00 при t ~ +00.Следовательно, V(x(t» ~ -00, что противоречитограниченностиBd =ÌÃÒÓиз Q(3, функцияÔÍ-12~ Поскольку ИЗ условияореме Ляпунова 2.1 положение равновесия хряяфункцияV(x) >ÌÃÒÓÌÃÒÓСледовательно, еслидля начального условия вьшолнено неравенство I'х(О) I IÔÍ-12ÔÍ-121.3~ О.непрерывная функция в точке х = О и V (О) = О,ствует непрерывно дифференцируемая вÌÃÒÓtТеперь докажем устойчивость нулевого решения системы.4.Поскольку V (х)выполнено неравенствоÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ14ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12снизу нулем функциивает, что с = О, т.