Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 18

Структура и качество оптического изображения9.1. Основные характеристики структуры изображения9.1.1. Основные понятияИзображающие приборы могут давать изображение различного качества сточки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поляв пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однакооптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которыхесть оценка качества изображения.Передача структуры предмета или изображения – это отображениеоптической системой мелких деталей объекта. Для описания такогоотображения необходимо математическое описание предмета и изображения ввиде функций I ( x, y ) и I ′( x ′, y ′) .

Эти функции описывают зависимостьраспределения интенсивности от пространственных координат.Представим предмет в виде совокупности бесконечного количествасветящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – этосовокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическаясистема должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности ксдвигу.Свойство линейностиИзображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:∑ Oi → ∑ I i(9.1.1)То есть, если предмет – это сумма точекизображений этих точеклинейны.∑ Oi , то изображение – сумма∑ I i . Изображающие оптические системы полностьюСвойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)При смещении точки ее изображениепропорциональную величину (рис.9.1.1):y′ = V ⋅ yтолькосмещаетсяна(9.1.2)где V – обобщенное увеличение.В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптическихсистемах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения присмещении изменяется.

Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределахвсего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях.127O1 yOO′O1′y′ = V ⋅ yРис.9.1.1. Условие изопланатизма.Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдаетсяусловие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучшеизопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то системаполностью изопланатична.

Мы будем рассматривать структуру изображения впределах одной изопланатической зоны.9.1.2. Функция рассеяния точкиВ идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а вреальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния(рис.9.1.2).yy′изопланатическаязонаyV⋅yxV ⋅xxx′Рис.9.1.2. Изображение точки в пределах изопланатической зоны.Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предметаоптической системой является функция рассеяния точки.Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) h ( x′, y ′) – этофункция, описывающая зависимость распределения освещенности откоординат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точкав центре изопланатической зоны.Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любогопредмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если естьпредмет I ( x, y ) , то каждая его точка изображается в виде функцииh ( x ′ − Vx, y ′ − Vy ) , то есть ФРТ смещается в точку с координатами (Vx,Vy )(рис.9.1.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этихизображений:128I ′( x ′, y ′) =+∞ +∞∫ ∫ I (x, y ) ⋅ h(x′ − Vx, y ′ − Vy ) ⋅ dx ⋅ dy(9.1.3)−∞ −∞Если увеличение V принять за единицу, то выражение (9.1.3) становитсясверткой (конволюцией).Функция изображения есть свертка функции предмета с функциейрассеяния точки:I ′( x ′, y ′) = I ( x, y ) ⊗ h ( x ′, y ′)(9.1.4)9.1.3.

Гармонический периодический объектПомимо разложения на отдельные точки предмет можно разложить надругие элементарные части – периодические решетки.Периодическая решетка – это структура, представляющая собойчередование белых и черных полос.Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивностькоторой описывается гармонической функцией (рис.9.1.3).yyθxθθIxaxθbTа) распределение интенсивностиб) сечение распределения интенсивностиРис.9.1.3.

Гармоническая периодическая решетка.Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:⎛ x − b⎞I ( xθ ) = a ⋅ cos⎜ 2π θ(9.1.5)⎟T ⎠⎝где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период, θ – уголориентации.1Вместо периода можно использовать пространственную частоту ν = , аTвместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:129u = a ⋅ e 2π i ⋅ν ⋅b(9.1.6)Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:I ( xθ ) = u ⋅ e 2πi ⋅ν ⋅ xθ(9.1.7)Величину xθ можно выразить как xθ = x ⋅ cosθ + y ⋅ sin θ , тогдаинтенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат ( x, y ) :2πi (ν x ⋅ x +ν y ⋅ y )I ( x ) = u ⋅ e 2πi ( x ⋅ν ⋅cos θ + y ⋅ν ⋅sin θ ) = u ⋅ e= I~ ( x, y )(9.1.8)θгде ν x – частота в направлении x , ν y – частота в направлении y .Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарныегармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображенийэлементарных объектов.

Эти изображения для реальных оптических системвсегда имеют искажения, обусловленные выполнением закона сохраненияэнергии. Следует отметить, что идеальным оптическим системам свойственнонарушение закона сохранения энергии, так как они для сохранения неизменнойструктуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение(9.1.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предметефункцию I~ ( x, y ) (9.1.8):I~′( x ′, y ′) =+∞ +∞~∫ ∫ I (x, y ) ⋅ h(x′ − Vx, y ′ − Vy ) ⋅ dxdy(9.1.9)−∞ −∞Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, тоV = 1 , следовательно:I~′( x ′, y ′) =+∞ +∞∫ ∫u⋅e()2πi ν x x +ν y y−∞ −∞После замены переменных~I ′( x′, y ′) =+∞ +∞∫ ∫u ⋅e(2πi ν x ( x′−v )+ν y ( y′− w ))⋅ h ( x ′ − x, y ′ − y ) ⋅ dxdyx′ − x = v dx = − dv x = x′ − v,,получим:y ′ − y = w dy = − dw y = y′ − w⋅ h(ν , w) ⋅ dνdw−∞ − ∞или, после переобозначения ν = x , w = y :I~′( x ′, y ′) =+∞ +∞∫ ∫u⋅e(2πi ν x ( x ′ − x )+ν y ( y ′ − y ))⋅ h ( x, y ) ⋅ dxdy =−∞ −∞=+∞ +∞∫ ∫u ⋅e(2πi ν x x ′ +ν y y ′)⋅e(− 2πi ν x x +ν y y)⋅ h ( x, y ) ⋅ dxdy =−∞ −∞()()= u⋅e2πi ν x x ′ +ν y y ′= u⋅e2πi ν x x ′ +ν y y ′⋅+∞ +∞∫ ∫ h ( x, y ) ⋅ e(− 2πi ν x x +ν y y−∞ −∞⋅ D (ν x ,ν y )130)⋅ dxdy =(9.1.10)Двойной интеграл в выражении (9.1.10) – это некоторая функция D (ν x ,ν y ) ,зависящая от пространственных частот.Обозначим u′ = u ⋅ D (ν x ,ν y ), и запишем распределение интенсивности наизображении гармонического объекта в следующем виде:2πi (ν x x ′ +ν y y ′ )I~′( x ′, y ′) = u′ ⋅ e(9.1.11)Как показывают соотношения (9.1.8) и (9.1.11), изображение от предметаотличается только комплексной амплитудой, то есть изображениегармонической решетки любой оптической системы есть гармоническаярешетка с той же частотой.

Поэтому гармоническую решетку удобноиспользовать для исследования и оценки передачи структуры изображения.Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и естьдействие оптической системы.9.1.4. Оптическая передаточная функция (ОПФ)Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF)D (ν x ,ν y ) характеризует передачу структуры предмета оптическойсистемой как функция пространственных частот:u′ = u ⋅ D (ν x ,ν y )(9.1.12)ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованиемФурье:D (ν x ,ν y ) =+∞ +∞∫ ∫ h ( x, y ) ⋅ e(− 2πi ν x x +ν y y)⋅ dxdy(9.1.13)−∞ −∞илиОПФ = F [ФРТ ]илиFФРТ ↔ ОПФгде F – обозначение Фурье-преобразования:F [ f ( x, y )] =+∞ +∞∫ ∫ f ( x, y ) ⋅ e(− 2πi ν x x +ν y y)⋅ dxdy(9.1.14)−∞ −∞ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФпоказывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, тоесть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:D (ν x ,ν y ) = T (ν x ,ν y )⋅ eМодульпередаточнойОПФ(iϕ ν x ,ν y)(9.1.15)T (ν x ,ν y ) = D (ν x ,ν y )функцией(МПФ)131называетсяилимодуляционнойчастотно-контрастнойхарактеристикой (ЧКХ).

Аргумент (фаза) ОПФ ϕ (ν x ,ν y ) = arg[D (ν x ,ν y )]называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовойхарактеристикой (ЧФК).Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественнойамплитуды гармонического объекта:a′ЧКХ =(9.1.16)aгде a – амплитуда на предмете, a ′ – амплитуда на изображении.Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана сконтрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений(рис.9.1.4) определяется выражением:′I ′ − I mink ′ = max,(9.1.17)′ + I min′I max0 ≤ k ′ ≤ 1.I′′I max′I minx′Рис.9.1.4.

Контраст гармонического объекта.′ = 0 (рис.9.1.5.а).Абсолютный контраст k ′ = 1 получается, когда I min′ = I max′ , в этом случаеКонтраст в изображении нулевой k ′ = 0 , когда I minизображение практически отсутствует (рис.9.1.5.б).I′I′x′x′а) абсолютный контрастб) нулевой контрастРис.9.1.5. Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта.Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения.Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если:k′ < δ k′(9.1.18)где δk ′ – порог контраста, зависящий от приемника изображения(например, для глаза δk ′ ≈ 0.05 ).132Контраст для изображения гармонического объекта может быть выраженчерез постоянную a0′ и переменную a ′ составляющие изображениягармонического объекта (рис.9.1.6):a′(9.1.19)k′ =a0′I′a′a′0x′Рис.9.1.6. Постоянная и переменная составляющие изображениягармонического объекта.Если a0′ = a0 , то ЧКХ, как следует из выражения (9.1.16) будетопределяться следующим соотношением:k′ЧКХ =(9.1.20)kгде k ′ – контраст изображения, k – контраст предмета.Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контрастаизображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что напредмете контраст единичный (рис.9.1.7).

Для идеальной оптической системыЧКХ – прямая, параллельная оси.1k′идеальная о.с.реальная о.с.νx0Рис.9.1.9. Частотно-контрастная характеристика.Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота νизмеряется в⎤.⎡ лин⎥⎢мм⎦⎣Для дальнего типа пространственная частота⎤.измеряется в ⎡ линрад⎥⎦⎢⎣Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ,которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядноотобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:• графиков сечений T (ν x ) или T (ν y ),• изометрического изображения “поверхности” T (ν x ,ν y ) ,• карты уровней T (ν x ,ν y ) .1339.2. Схема формирования оптического изображенияСуществует два оптических явления, которые влияют на структуру икачество изображения в оптической системе - дифракция и аберрации.

Этиявления действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция,то такие системы называются дифракционно-ограниченными. Еслиаберрации велики, и дифракция становится незаметной на фоне аберраций, тотакие системы называются геометрически-ограниченными (формированиеизображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики,без привлечения теории дифракции).yплоскостьпредметовy′xx′вых.

зр.U ( x, y )U ′( x ′, y ′)A0S w′SwА.Д.S ′pA0′плоскостьизображенийРис.9.2.1. Схема формирования оптического изображения.Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.9.2.1).Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A0 , и после идеальнойоптической системы сходится в точке A0′ . Наряду с пучками лучей можно такжерассматривать сферические волновые фронты S w и S w′ .