Конспект лекций под редакцией профессора А.А. Шехонина, страница 20

Влияние аберраций на ФРТ и ОПФВлияние малых аберраций (волновая аберрация составляет доли длинволн) на ФРТ проявляется в том, что часть энергии из центрального максимумапереходит в кольца. В результате в центральном максимуме остается около 6070% вместо 84%, при этом размеры центрального максимума сохраняются, аинтенсивность в центре уменьшается (рис.9.5.1).1421.0h (η )η1.22Рис.9.5.1. Влияние аберраций на ФРТ.Аберрации разных типов по-разному влияют на вид пятна рассеяния(картину Эри). В случае симметричных аберраций (расфокусировка,сферическая) сохраняется радиальная симметрия пятна (рис.9.5.2.а). В случаенесимметричных аберраций (кома, астигматизм) симметрия пятна нарушается(рис.9.5.2.б, рис.9.5.2.в).ηyηyηxа) симметричные аберрацииηyηxб) комаηxв) астигматизмРис.9.5.2.

Картины Эри для аберраций различных типов.При дальнейшем увеличении аберраций сходство ФРТ с безаберрационнойполностью теряется, и ее форма определяется картиной поперечных аберраций(точечной диаграммой). Практически вся энергия из центрального максимумаперекачивается в кольца (в центральном максимуме остается меньше 40%энергии). Однако при этом сохраняется дифракционный узор с шагом 0.5 вканонических координатах.9.5.1.

Число ШтреляПоскольку при малых аберрациях часть энергии из центральногомаксимума перекачивается в кольца, уменьшается интенсивность вцентральном максимуме. Обозначим значение ФРТ в ее максимуме приотсутствии аберраций h0 (0) , а при наличии аберраций h (0) (рис.9.5.3).143h (η )1.0h ( 0)h0 ( 0)ηРис.9.5.3. Число Штреля.Число Штреля (критерий Штреля, Strehl ratio) показывает влияниеаберраций на ФРТ:St =h (0)h0 (0)(9.5.1)Значение числа Штреля находится в пределах 0 ≤ St ≤ 1 , энергия в кольцаперекачивается в таком же соотношении. Если St = 1 – оптическая системабезаберрационная, если St ≥ 0.8 – система практически безаберрационная,поскольку уменьшение центрального максимума на 20% почти незаметно.9.5.2.

Критерий Релея для малых аберрацийКритерий или допуск Релея заключается в том, что если величинаволновой аберрации (при условии, что в системе присутствует толькосферическая аберрация) не превосходит λ (рис.9.5.4), то число Штреля4St ≥ 0.8 . Отсюда Релей распространил свой критерий и на другие типы аберраций.ρWλ4Рис.9.5.4. Величина волновой аберрации.Релеевский допуск на остаточные аберрации:Wmax < λ(9.5.2)4Однако расчеты показывают, что не для всех типов аберраций справедливРелеевский допуск. Кроме того, для более строгого анализа нужно проверить на144сколько изменится число Штреля при Wmax = λ6или Wmax = λ . Релеевский3допуск точного ответа на этот вопрос не дает.9.5.3. Формула Марешаля. Допуск Марешаля для малых аберрацийФранцузский оптик Марешаль получил свое аналитическое выражение исвой допуск в виде среднеквадратичного по зрачку значения волновойаберрации.

Критерий Марешаля более универсальный, чем допуск Релея, онподходит для любых типов аберраций.Рассмотрим вывод формулы Марешаля. Функция рассеяния точки, всоответствии с выражением (9.2.10):h (η x ,η y ) = F−1[ f (ρ x , ρ y )]2=+∞∫ ∫ f (ρ x , ρ y )e(2πi η x ρ x +η y ρ y)2dρ x dρ y(9.5.3)−∞Значение ФРТ в ее центральном максимуме:+∞h (0) = h (η x = 0,η y = 0) =∫ ∫ f (ρ x , ρ y ) dρ x dρ y2(9.5.4)−∞Воспользовавшись выражением для зрачковой функции (9.2.3), получим:h (0) =∫∫ e(2πiW ρ x , ρ y2)dρ x dρ y(9.5.6)Ω034В случае малых аберраций W < 1 , следовательно W , W , ... << 1 .

Тогда42πiWпри разложении функции eв ряд, можно оставить только три члена, а1⎛⎞остальные отбросить ⎜ e x = 1 + x + x 2 + K⎟ , отсюда:2⎝⎠12(9.5.7)e 2πiW ≈ 1 + 2πiW + (2πiW ) = 1 + 2πiW − 2π 2W 22Тогда можно записать приближенное выражение для ФРТ:h (0) ≈∫∫ [1 + 2πiW − 2π]2W 2 dρ x dρ y =2Ω0=22∫∫ dρ x dρ y + 2πi ∫∫ W (ρ x , ρ y ) dρ x dρ y − 2π ∫∫ W (ρ x , ρ y ) dρ x dρ yΩ0Ω02(9.5.8)Ω0Введем обозначение для среднего значения волновой аберрации по зрачку:1W=W (ρ x , ρ y ) dρ x dρ y(9.5.9)Ω 0 Ω∫∫0и среднего квадрата волновой аберрации:1452W =1W 2 (ρ x , ρ y ) dρ x dρ y∫∫Ω0 Ω(9.5.10)0Тогда выражение (9.5.8) запишется в виде:h (0) ≈ Ω 02 1 + 2πiW − 2π 2 W2 2(9.5.11)Модуль комплексного числа z = a + ib вычисляется как сумма квадратов2вещественной и мнимой частей z = a 2 + b 2 , следовательно:[( )( )]22 ⎫h (0) ≈ Ω 02 ⎡1 + 2π W 2 + 4π 4 W 2 + 4π 2 W 2 ⎤ = Ω 02 ⎧⎨1 − 4π 2 W 2 − W⎬ (9.5.12)⎢⎣⎥⎦⎭⎩Значение ФРТ в максимуме при отсутствии аберраций определяетсявыражением:h0 (0) = Ω 02(9.5.13)Тогда формула Марешаля:h (0)2St =≈ 1 − 4π 2 W 2 − (W )h0 (0)[[](9.5.14)]Величина W 2 − (W ) называется дисперсией волновой аберрации позрачку (дисперсия – это разность среднего квадрата и квадрата среднегозначения):(DW = W − W2)2(( ) )= W= W 2 − 2W W + W22( )− 2W W + W2( )2= W 2 − W (9.5.15)Формула Марешаля показывает, что важна не сама волновая аберрация, аее изменение (деформация волнового фронта) по зрачку.Средний квадрат деформации волнового фронта – это квадратный кореньиз дисперсии:DW = Wскв(9.5.16)Формула Марешаля дает возможность приблизительно оценить числоШтреля, если известен средний квадрат деформации волнового фронта:2St ≈ 1 − 4π 2 DW = 1 − 4π 2Wскв= 1 − (2πWскв )ЕслиSt ≥ 0.8 ≈ 1 − 4π 2 DW ,то,2следовательно,(9.5.17)DW ≤1,200адопускМарешаля на средний квадрат деформации волнового фронта:1Wскв ≤(9.5.18)14Марешалевский допуск на остаточные аберрации справедлив для любыхтипов аберраций малой величины.1469.5.4.

Влияние аберраций на ОПФ. Геометрически-ограниченные идифракционно-ограниченные оптические системыПри наличии аберраций ОПФ оптической системы становится меньше, чемОПФ безаберрационной системы. На графике ЧКХ можно показать, какаберрации влияют на форму кривой контраста (рис.9.5.4). Кривые ЧКХ вприсутствии аберраций могут иметь сложную форму, но они никогда непревышают кривую безаберрационной ЧКХ.k′1дифр.

ограниченная о.с.безаберрационная о.с.геом.ограниченная о.с.0.20ω0.512Рис.9.5.4. Влияние аберраций на ЧКХ.Дифракционно-ограниченные оптические системы имеют рабочийинтервал частот, превышающий половину от предельной, то есть ω > 1(рис.9.5.4). Качество изображения в таких системах определяется в основномявлениями дифракции и непосредственно зависит от отношения апертуры кдлине волны A′ .

Остаточные аберрации должны оцениваться по критериюλМарешаля (9.5.18). К дифракционно-ограниченным системам относятся, вчастности, измерительные системы, проекционные оптические системы длямикроэлектроники и системы, работающие с глазом.К геометрически-ограниченным относятся оптические системы, рабочийинтервал частот для которых не превосходит ω = 0.5 в канонических частотах(рис.9.5.4). Качество изображения таких систем определяется картинойпоперечных аберраций и непосредственно не зависит от длины волны иапертуры.Степенькоррекциигеометрически-ограниченныхсистемоценивается поперечными аберрациями. К таким системам относятся, вчастности, кино-, фото-, и телевизионные объективы.147Приложения.Приложение А. Дифференциальные операторыматематической теории поляМатематический аппарат, применяемый в теории электромагнитногополя – это теория скалярного и векторного поля.

Предмет этого разделаматематики – скалярные (А.1) и векторные (А.2) функции от трехпространственных переменных (радиус-вектора r точки в пространстве):U ( x, y , z ) = U (r )(А.1)⎛ Fx ( x, y , z ) ⎞⎜⎟F( x, y , z ) = ⎜ Fy ( x, y , z ) ⎟ = Fx i + Fy j + Fz k⎜ F ( x, y , z ) ⎟⎝ z⎠(А.2)В соотношениях теории поля используются дифференциальные операторы•∂B) и по пространственнымдифференцирования по времени (например, B =∂tкоординатам.Операторыдифференцированияпопространственнымкоординатам могут быть векторами или скалярами, с которыми можнопроизводить все известные из векторной алгебры действия, в частности,векторное произведение (А.3), скалярное произведение (А.4) и смешанноепроизведение (А.5):∇×E(А.3)∇⋅D(А.4)∇ × (∇ ⋅ U )(А.5)Дифференциальные операторы 1-го порядкаОператор дифференцирования по пространственным координатам ∇является вектором:⎛∂⎞⎜ ∂ x⎟⎜⎟ ∂∂∂∇ = ⎜∂(А.6)= i + j+ k⎟∂ y ∂x ∂y ∂z⎜∂⎟⎜ ∂ z⎟⎝⎠Применяя оператор ∇ к скалярному или векторному полю, можнополучить следующие скалярные и векторные величины:⎛∂U ⎞⎜∂ x⎟⎜∂ U⎟ ∂U∂U∂Ui+j+k∇ ⋅ U = gradU = ⎜=(А.7)⎟∂yxyz∂∂∂⎜⎟⎜∂U ⎟∂ z⎠⎝148∇ ⋅ F = divF =∂ Fx ∂ Fy ∂ Fz++∂x ∂y ∂z(А.8)⎛ ijk ⎞⎟⎜∂∂ ⎟∇ × F = rotF = ⎜ ∂(А.9)xyz∂∂∂⎜⎜⎟⎟FFFxyz⎝⎠Результаты выражений (А.7) и (А.9) – векторы, а результат выражения(А.8) – скаляр.Дифференциальные операторы 2-го порядкаОператор ∇ 2 называется оператором Лапласа (является скаляром):∂2∂2∂2∇ = ∇⋅∇ =++∂ x2 ∂ y2 ∂ z22(А.10)Применение этого оператора к скалярному полю дает скалярную величину(А.11), а к векторному – векторную (А.12):∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U∇U=++∂ x2 ∂ y2 ∂ z2(А.11)⎛ ∇ 2 Fx ⎞⎜⎟∇ 2 F = ⎜ ∇ 2 Fy ⎟⎜ ∇2 F ⎟z⎠⎝(А.12)2Основные математические тождества теории поля∇ ⋅ (∇ ⋅ F ) = grad ( divF)(А.13)∇ × (∇ × F ) = rot (rotF)(А.14)∇ ⋅ (∇ ⋅ F ) = ∇ 2 F + ∇ × (∇ × F )(А.15)∇ × (∇U ) = rot (gradU ) = 0(А.16)∇ ⋅ (∇ × F ) = div (rotF ) = 0(А.17)Все рассмотренные соотношения широко используются в оптике дляописания светового поля, вывода уравнений и законов геометрической оптики.149Приложение Б.

Сводная таблица матриц преобразованияНазваниеВыражениеОбщий вид матрицыпреобразований лучейГеометрический смысл элементовматрицы⎛ A B⎞G = ⎜⎜⎟⎟CD⎝⎠⎛ S F′ ′⎜f′G=⎜⎜− Φ⎜⎝S F ⋅ S F′ ′ − f ⋅ f ′ ⎞⎟n′ ⋅ f ′⎟SF⎟⎟f⎠y ′ = Ay + BYУравнение преобразования лучейY ′ = Cy + DYdet G = AD − BC = 1Определитель матрицы⎛ DG −1 = ⎜⎜⎝−CОбратная матрица⎛1T =⎜⎜⎝0Матрица переноса− B⎞⎟A ⎟⎠d⎞⎟n⎟1⎠⎛ 1 0⎞R = ⎜⎜⎟⎟−Φ1⎝⎠Матрица преломленияОптическая сила преломляющейповерхностиΦ = ρ ⋅ ( n′ − n )Оптическая сила отражающейповерхностиΦ = −2 ρ ⋅ nМатрица сложной оптическойсистемыG = TK RK ...R3T2 R2T1 R1T0Матрица пакета изплоскопараллельных слоев⎛1 t ⎞ddG = ⎜⎜⎟⎟ , t = 1 + ... + nn1nn⎝ 0 1⎠Матрица двухкомпонентнойоптической системыG = R2 DR1⎛ 1 0⎞G = ⎜⎜⎟⎟−Φ1⎝⎠Матрица тонкой линзы150Литература1.