Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 2

.,A-И)1,2,/hu0XmdS.=гдеfm=Такимобразом,системойбесконечномерный{Д=распространения{^i,^2,---}опиявляетсяпараметром/2 +^2,г>1,•••},апроцессомуправляемымтелетвердомможнодифференциальныхпроцесслибоописатьлибопроизводных,управляемыйчтопоказывают,вчастныхвбесконечнойрас-задачейкраевойдляобыкновенныхсистемойуравнений.ЗамечаниеопишемИзложеннуюслучая.общемВслучае.подтвертеплараспространенияслучаядляуравнений,системыболеегораздопроцедурувформы1).управляемыйопределяемойвтеп-распространенияпростейшегоипроизвольнойРассмотримпроцессбесконечнойпомощьюрассмотренногодлякраткотелетвердомсиспользоватьэтогоуправляемыйчтоописатьтолькоможнометодикуфакт,можнонесправедливподтверждениеТот1.1.телетвердомкоторыйпроцесс,u(t,x),функциейописываетсяуравнениемd^+CuЗдесь+рассуждениятеплауравненияУправляющим=(ix(t),cj(t)).паравиоивекторобъекта.векторПриведенныетеплаБесконечномерныйуправляемогобесконечномернойописываетсяпроцессA.11).состояниеявляетсящт=управляемыйуравненийописываетf(t,x)Xm(x)dx,JnJsх{xi,.

.,xn}=GGС0<t<T.A.12)f(t,xI=СЕп\дифференциальныйэллиптический—оператор,которыйв1.Функции1)Болееобласти(ЖВМиМФ,удовлетворяетследующимс(х)иподробноприближенийконечномерныхформы)"Gctij(x)этотизмеримывопрос(вт.8,№1,рассмотрензадачеусловиям.иобограниченывоптимальномвВ.И.работенагревеG,с(х)причем"ОПлотниковатвердоготела>сходимостипроизвольной0.обПонятие1.Существует2.системах9управляемыхпостояннаяО такая,>7чтопппV^7/_^°^^aijaiOtj/_\°%ПРИ7^^G.^хиi,j=lг=1г=1Предположим,чтодалее,удовлетворятьнадиа(х)0,>кgg(t,x,w(t,x)),=ограниченная—0S.НачальноеВw(t,x)aw,дальнейшемx)(р(х)должнаобластьчтоvGконормаль—аограничена,W^{G)водныепроизведениеПусть,G),Символомобобщенныепроиз-S(ti,t2):—^-,OXiг01,.

.,выполненииt<<однозначновсехt\еJи^2п,такжееаскалярное=Q(tut2)Q(ti,t2).L/2(Q)Gu(t,x)hW2(Q)Черезобобщенныеиt<про-L2{Q).краевойрешениеизинтегральному((t,x):=областиu{t,x)условий(О, Т)G),принадлежатфункцияизхчтотаких,перечисленныхкакТ,поверхностьu{t,x)=|2иwбоковаяфункций.b2(G),принадлежатГ?ед4((t,x)=—du(t,x)Ф^(G),GформуламиопределяютсяQкласспризада-функ-ианализе.и(х)такжекоторыенормадалее,определяетсяфункциональномфункций1,. .,п,=GггПрикраевойфункцийклассоввпространствоиизводныерассматриваемойобозначенияиспользуемыеOXiGw.и.——,x/решениянекоторыегобозначимбытьмогутпространств,(р(х),A.13)=понятиявспомнитьобозначаетсядифункцииaW2(Q),классазадачиудовлетворяющая(притождествуопре-произвольнойJ/=jи,кроме>аусловиюфункции,L/2(G).изопределенияфункциональныхпочтиS,евидевфункцияфункциямизаданная—следует^2,худовлетворяющаяпредполагается,зададимусловиеУправляющимичеткогоДля<Т,t <<измеримая—и@,х)задачиu(t,функциягладкая.кусочногдеGфункция,измеримаяпонепрерывная—поверхностиSобластиусловию—+аигдеSграницетого,условиюГlimj/ [u(t,x)-(р(х)]ф(х)dx=0A.15)0A.14)<10Гл.любойприф(х)функцииОказывается,краевойчтозадачесостоитчтобычтобыЛ,v(x)v(x)W^(G)GвыполнялосьтакиеиIкрае-значений,действительныекотораятождествоинтегральноеЪ~"Ъ1суФЫ<3+быбыланиФфункциякоторыхбытьмогутравные,иортонормированныхav<Pdsv<Pdx,A.16)X=A.15)полнаможноизкаждаятсю),—>среди{vm}являетсярешениемПоэтомуЭтаА.значенииL2(G).представитьсчет-определяетприкоторыхсоответствующемприпространствевсю—>последовательностьфункций,тождестваинтегральногопоследовательностьA.16)ТождествоАтАт,^соответствующуюиL2{G)вW^(G).G(Am+i{Am}последовательностьзадачисобственныхl^=1%sggкаковарассматриваемойусловияхпроблемафункциинайтипараметрасчетнуювышеуказанныхобобщеннаятом,всистемуправляемыхL/2(G).GприсоответствуетзначениямоделированиеМатематическое1.после-исходнойрешениекраевойвидев_i.A.17)k=lВычислениев1.2,примереностойпопроизводитсячтотого,учетомзадачирешениежечтометодике,определяетсяиинтеграль-тождеством.интегральнымиUk(t)коэффициентовДелаетсяэтоЗапишемтождествоположимA.16)Фнемвобразом.следующимЕИнтегрируяпри~^—т;\-бХгJсобственнойt.tвdQt\/+[7\/ vmudx.будем?2,доavmudsvm(x)=получим=отпределахvрезультатеiiдиdvmфункцииВ/ avmuds+поравенствополученноеконкретнойфиксированномЭйIT,/7л сити\ахdVmаа\х)-ы=1Gдляu(t,x)==иметь/Xvmudx.jjS(t!,t2)Q(t!,t2)A.18)Аналогично,полагаявA.14)Ф^=vm(x),получаем:—^aij(x)——(сгх+/+СравниваяприходимкuvmllA.18)соотношенияA.19)ии-/(t,x))vmdQ+(аи-g)vmdsчтоучитывая,m=A.19)0.=1,2,.

.,при-равенствамdx+\/uvrndQ=IfvmdQ+/gvmds,m=l,2,. .обПонятие1.Положимполученныйэтихвможноt^равенствахВрезультат.которуюсистемах11управляемыхбудемитогезаписатьгдеиш\um+коэффициенты—продифференцируемдифференциальныхисистемуtпополучен-уравнений,видевdii-^t=иметь=ФурьевГГfm=fm+gm,m=l,2,.

.,A.20)разложенииA.17),fvmdx,аgvmds.A.21)gm=JJGSНачальноеA.13),условиеприводитначальнымкпонимаетсякотороеусловиям"слабомвсистемыA.21)ip(x)vm(x)dx,для(см.смысле"A.15))Гит@)ipm,=ipm=jm1,2,. .A.22)=GТакимобразом,A.20)сописаниядляA.12)—A.13)задачиначальнымu(t,x)КакA.22).A.17),чрезвычайноважен,показанопространствах1.3.изисходясходитсянасдляопределяетиэтотчрезвычай-результатфункциональныхразличныхвуравненийоператорныхРассмотримдинамикуследующихпредположений.1.Коэффициентфермеt-мввтоописанииуправ-агдеводинВэтихразпредставляетфункцииu(t)х@)Однакоуправление.случаевыбираябытьописанынаax(t)дискретныеуравнение?=незадаватьзначенияпримерыоснованиемобыкновеннымикаждогодляx(t)значенияа"Фазовая(а..ихчисло,утверждать,дифференциальнымивгода,вкоторойописываетсяпроцессуравнениемчтоможнонаборtux.переменныхочевидно,увеличить)слу-процессыуправляемыеуравнениями,Ввре-собойпредставляетплоскостикакмож-х°.начальном(х(?),и(?)),траектория"A,хA)),еерассматриватьзаданномпарасамзаданнойначальноезадатьконкретногоприявляетсяеслиазаранее,иПриразностях.х(?),функциюможно1,2,.

.,A.23)конечныхвзначения,A.23).@, х@)),заготовкисоотношениеu(t),-процессомРассмотренныедостаточнымрас-будетгодупричемсправедливоax(t)изменятьточекслужат1)=определяетуправляемымразностяхдискретных+u{t)функциюТогда,? принимаетконечных1)-м+животных,х°.целенаправленноэтомu(t)сдаетсягодуоднозначно=всеживотныхгода.собойоно(tвочевидно,x(tусловиеt-мконцевпредположениях,котороевоколичество—const.=мясозаготовкипроизводятсяживотноводческойпостояннымx(t)еслиразмножениярезультатевявляетсячтоозначает,настадаживотныхЭтогоду,животных,2.Напоголовьяразмножениягоды.рассматриваемыевремяописаниямидвумяФурьеза-процессов.ферме,вэтимимеждуряд1.8,работатьпозволяетиспользованииприПримерможнопараграфевонпосколькууправляемыхСвязькоторойвкраевойуравненийвместомыдифференциальныхW2(Q).Gбудетпроцессасистемуусловиемформулойопределяетсяфункциютепловогобесконечнуюимееммогуткраевыми12Гл.ЭтиобычноуравнениявнешниеоднанефункционированияпроцессеКлассификацияЗдесьуравнений,техУправляемыйявляетсяпроцессомПроцессы,2имеетраспределенныеОпределениетого,параграфе,этинафакт,чтолишь,появляетсяеговремяониотмеченыДовсихнаноегоиобъектнаслучайныевоздействиясравнительноидатьдру-вовреде-помехи,ивремениприэлементомвлюбомпроцессет.д.На1.2.2рис.проанализироватьпофункциональномуназначению.tu(t)сигналфункционированияфункциональногопроцес-управляемыхуправляющийфиксированномкакого-либопростоклассификациюачтопредполагали,чтоилиu(t),сигналотносятсянимописанию,мыотвекторомпозволяетуправленияпорзависимости) Напомним,бытьКматематическомуихИз-аr(tJ).схемапринципыпоu(t).иu(t),влияюткоторыевнешниесигналомразличныенеуправляющийтольконеконтролируемыеПредложеннаяпроцессовне(функционирования).детерминированныеx(t)входе,изображенииx(t)связисигналподаетсявоздействия,внешниедвижениятакомформауказываетсяуправленияуказываетсянеконтролируемыенаПриx(t).сигналсхемеуправлениясигналомвыходе.1.2.1.рис.объектназываетсянанеобъектавходфункциюнаизображаетu(t)(x(t),u(t))науправляемогопорождаетпредставленсигналомчтосхемыкаждогоu(t)схематически(ОУ),процессауправляемогоструктурнойдляПрямоугольник1.2.1—которымиоказываетсяпонятиивоздействиеx(t),Рис.процессов,уравнений,типысистемы.x(t)объектаОУуправленияплодотворнымоснованныйТотдругиеиз-управляемыхнауправляемойнанепрерыв-теориичрезвычайноклассификации,кЧастоизпроцессдискретноилизадачаопираетсяОднакопроцессы.подходвыходеаназываетсяКлассификацияуправления.описываютсяИзвестнобесконечномерным).конечномерны,непрерывноОсновнаяпредыдущемвдругойотуправления.Принципыданнаяназы-процессt.Принципы2.1.то(x(t),u(t))процессзависимостивпараметр2.Управляемый1.2.изменяетсяпро-пространствопараметры.дискретнымилифазовоеэтофункций,3,ипроцессомже(или1примерахвиназываетсяЕслипараметрамирассмотренныепризнакам.пространстваеслиилираспределеннымисu(t))конечномерным.последовательностейпространствомпримера(x(t),конечномерным),процесс(илиявляетсяхпараметровразличнымфазовоготипапроцесс.параметрамипространствонепрерывнымотописывается1.1.целенаправленноподаетсязависимостикоторымиОпределениесосредоточенныминазываетсяводнууправлений.рольпроцессовеед.внеш-выбиратьсямогутт.имеютхарактеризующиеиграютиуправляемыхпривестиуместнотипаОнисистемыиприро-ониуправленияфункций,заданы.разностяхявленийразличныхтеориивнесколькоилизаранеевозмущения,сОднакопроцессов.особенность:важнуюконечныхвописаниядлясистемуправляемыхуравнениямииспользуютсятехнологическихприроды,вфизики,математическойзадачамимоделированиеМатематическое1.выбираетсяВеличинысистемы.каждыйизпараметровпространства.ж,иигможетПринципы2.всехкомпонентвремени,этогокоторыйвсигналаонназываетсяисключительнонаподанОднакокоторыеуправления13теорииопределяютсябытьдолженпрограммным.управления,задачаОсновнаяуправления.нанастроятсямоментомособыйпрактикеуправлениеинтересСутьпринципах.иныхвре-Такоесистемы.входпредставляютсостоитихследую-вследующем.Каксостоитчтотом,вчтобысигналнахстремитьсявыбиратьсистемывИначесигналu(t)выходесистемыговоря,требуетсяспособспособииТакимобразом,независитоти).Именноu(t)),Система(х-1--2-3связи.Рис-схематическинапредставленнаяауправления,системойсистема,программного1.2.3,изображенарис.котораяназына(разомкнутой).управленияобщихизложенныхиллюстрацииУУопределяетобратнойпринципуяв-зави-называетсяуправленияназываетсяположенийнесколькорассмотримпримеров.Спортсмен,2.1.летящийаппаратомуправлениюположениявиЗдесьспортсменаиустройствформированииПримеругловой2.2скоростьюслучаеизодним(регуляторкотелонвлияетявляетсяимашины,ааппарата.соот-u[t,x(t)].=вчеловексловами,формивэтомустройства.предназначенуправлениядляОбъектоммашины.точнее,само-помощьючеловекаучастиеИнымиРегуляторпаровойсил.изполетсиуправляющеговаланадельтапланаu\t,x(t)\.Уатта).определениевнешнихсостоитвоздействиесистемыэлементоввходитвлияниякоторыхx(t)об-оцениваявремени,оценкупорешенияаппарат—спортсменуправляющеевращенияявляетсяегоэтуопределениесостояниевоздействияявляетсятакжепомощьюэтойуправляющегослучаесвыдаетособенностьюГлавнойВсистемевфазовоефиксируетсоответствующихаустройстворулей,принимаетмоментвремени.аппарата,техдельтаплане,конкретныймоментскоростиуправляющееСпортсменэтотнакаждыйвименнообстановкуэтомобратнаясистемойПримерсамогоприсхеме(x(t)связьсвязьуправления,простейшихаж,представленнойпрямаязамкнутой1.2.2,ДляОдобстоятель-сигналспособпоуправлениемяв-объекта,такогоx(t).викоторогоуТипвыходе.сиг-вучитывается.порождаеттольконоУ Ухситуаци-важноеучитываетсятакойназываетсянетосигналвыраженахСхема-Прямоугольникобъект,на'u\t,x(t)\.=1.2.3.рис.изображаетсигналомсигналасхемойявнонаконкретнойивидауправлениеaw-отмечаетсячтоство,'преобразованияформированиирис.t.ис'изображенопределяетсясхемевстресостоянияучетомвыбиратьвходе,представленнойиОУкаким-тосхематическинаu[t,x(t)]tчто-естественносустройство)такженакотак,управлениясигналомейвыбираетсяu{t)времени(управляющееявляетсясигналвремениПоэтомумоментсос-моментобладалсигналтакойСхематическисистемыкаждыйвсвойством.заданнымвыше,управляемойуправляющийаотмечалосьнеоднократноужеособенностьглавнаядавлениепарауправлениявнем.вЭтотпар,Гл.14извыходякотла,массаминатСтержниМ,муфтойZiподнимается,всВсяпричинамтонапарамашину,всамымщельскоростьивращениявалаЕслирассматриваемуюсистемыявляетсяхуправляющегонаобразуют1.2.4,относитсяк,задвижкаточки1.Онсобойпредставляеттеориинего,входятчастности,вhh,М.муфтойиКнемууправления,Уаттарегуляторимеет2.Онработаетибыласвязихопределяет=u[t,x(t)],и=конструкции)ихлибореализо-могутпоуправлениеопределяетсяпринципузависимостивот(u(t)управлениябезработаетустройствотекуще-u[t,x(t)])илиисистемаобразом,ауправления,точеловека,участияТакимавтоматической.называетсянеавтоматическаяввпримерепримере2.2систе-2.1системаавтоматической.являетсяСистемахнакотораяуправления,заданномтой,модели.u(t),используемогопринототличнуюуправления.управляющееуправлениярассматренаотикогдаТипсистемы.управления,математическиезависимостиуправлениесистемытипЕсли(висостояниянаовыводынекоторыесистемопираласьипрограммноеобратнойсделатьклассификациюуправлениялибосистемадатьвышеданаСистемывыватьзначе-человека.участияпозволяютрассужденияуправлениякотораяпостоянногоподдержаниядлябезавтоматически,Приведенныепринципахустройствооо.скоростизначенияпараметрапопоступлениеМ.муфтойсспециалистазренияВ/2,поло-изображенныеэлементы,/i,стержнямисоединеннаявзятьособенности.дветекущегосопаратакжерегулирующейостальныеустройство.CDявляет-управляюдавление(можнозадвижки,управляющеевалпередача,Координа-качествебратьможноВсема-пароваяАВ.Воо.объ-гдеуправленияскоростьположение1.2.3,рис.являетсяобъектамашинуси-изобразитьваломвыходевходезамкнутойможнонапараметрапара).еевращающимсявпредста-системувидевпоказаноугловаяуменьшениюк(ОУ)назадвижкарезультатетоэтосКоординатойшарнирнаяВуменьшается.управлениямашинацентробежныесхемойкакобъектомАВ.валаприводитуправления,так,1.2.4М.Этоболь-паравращенияВозросшиеструктурнойпредставитьРис.оомуфтутрубе.вобразом.поступатьCD.валапо-парподнимаетсяследующимскоростиКогдакоторойпоначинаетподнимаютт,теммуфк.задвижкаработаетвращениямассыуменьшаяСмас-подвижнойструбе,втоувеличениескоростьдействующиещельмашинувпроисходиттакжек опускается,жесзадвижкойсопускается,системаUисвязанаименьшемуфтаувеличивается.требуется,рис.АВвала1\ nl^стержниIsCDвалуделаетЕсликаким-либоУвеличиваетсянахарактери-вращениестержнейпозадвижкапопотокакоторогопередачизакрепленыпомощьюскользитьмашину.трубевсилы,состояниешарнирносоединеныпаровуюЕсличем1.2.4),зубчатойкоторомможетпоступаетбольше,/гикотораящельна(рис.помощьюсистемуправляемыхконцах.муфтаиCD,валуСоо.скоростьюпередаетсяАВвалвращаетугловойхарактеризуетсямоделированиеМатематическое1.стационарномпредназначенауровне,поддержаниядляназываетсясистемойпараметрегулирования.Принципы2.НаоснованииЭлементы2.2.системэлементов,составляеткоторыхэтойОсновнымэлементомочевидно,характеристикисистемыобъектявляетсяпредназначенныеотнесеныоперациикотороежелаемыйхста-ж;оценивающийвеличи-хгдех,—от-входят:сос-реальное—объекта;состояние3)усиливающийпреобразующийэлемент,сигнал1.2.5Асигналмеханическогоперемещениядругойсигналвпри-сигнал);электрическийвэлемент.ЧтобыодинРис.предназначенА;4)преобразующий(например,5)исполнительныйприродыкоторыйэлемент,сигналаусилениядляособенностипояснитьизкаждогоэтихэлементов,ещерассмотримпример.Пример(регулятор2.3СистемапаровогоZ2икотел(объектструбеуправления),втрубекотлеZiводыпоступлениетономинала,ВэтойпоплавокЕслиажевместевеличинойявляетсяЕгоклапанматематическомлинейныесккклапанYупоромявляетсядлинаописаниидифференциальныеопускаетсявышепоступлениеводы.глубина—воды1\стационарныйпреобразующимвкот-представляетh.уровеньиэле-усиливающиммеханизмом.процессарегулированияуравнения,сиповышаетсяСтерженьопределяетвувеличиваетсякотлеhявляетсяисполнительнымПуменьшаетпоплавок.являетсяводырезультатевТ^.причинампоплавокВводыуровеньирегулируемойустройство.СтерженьПриоткрываетсяэлементомI2тоНастержнейпомощьюкаким-либопок.клапанТ\изипоступлениеЕслиноминала,поднимаетсясистемезадающееэлементом,Z2срегулируетсостоиттрубы,двекоторыйпар.нижекотел.вЧувствительнымсобойиклапанотводитсяпонизитсястержнейпомощьюТ2Она1.2.5.рис.входятП,Этотк.ПонапоплавокклапаномТ\.водыплаваетдлякотле.которыйвпредназначенрегуляторпаровомвпредставленакотлевсоединенпоуровеньполучаютсясхематическиводыповерхностиЭтотводыуровняцеломвкотлакотле.Ползунова).постоянногоподдержанияZiнегопараметраэлемент,рассогласованиябылиопределяетхуровень2)чувствительныйвеличину Аегохобъ-Вустройство,стационарныйхаракте-1.2.4)устройству.1)задающееперечислени-характеристикой.ихпредназна-(рис.схемеуправляющемукограничимсярегулированиявышеавтома-рассматриваютсякраткойнаборнекоторыйэлементы,приведеннойвсистемы,оче-регулирования,выполнениядляобъектом,жеидляВспомогательныепараметров.теориирегулирования,выбираетсякоторогоЗдесьрегулированияха-наборвидевтеориейэтойкниги.системвместеиназываемойвопросыихработаютстандартныйтакдисциплины,разделахикоторыеотдельности,Некоторыеэлементовавтосвязи.некоторыйсодержатпонаучнойразличныхвперечислением основныхсчитатьследуетобратнойпринципурегулированияобычнокакрегулирования.нижепорегулирования,связи,содержаниеавтоматическогоУаттарегуляторавтоматическогообратнойанализ15управленияавтоматическогоСистемыпринципутеорииработающимрегулятором,характеристики.попонятийвведенныхавтоматическимзадачаОсновнаяуправления.вкоэффициентыэтойсистемепо-которых16Гл.зависятотможновозможностьэтихпоявляетсяпроцессовдинамикувозмож-системевпосистемумож-параметров,образом,томуподбиратьикритериюиномуиликачества.Основная2.3.задачаОднизадач.изд.).т.Вместесследуетприменятьних,которыеимеюттемуправленияееразнообразныхиПослетогокакпроцессобычноегоявляетсясо-получитьурав-полноеописаниепредъявляемыхсистемекпоискацелямидополнительнонаинепрерывнойизнекоторыевопросовкакправило,приисследованииТемисследованийтакихобразом,в(причемосновное)каждомконкретномегоматематическуюпримерыматематическогоэтомнепрерывныевсегоявляютсяследуетдовольнодифференциальными1.1подробно.сПриЗдесьэтомсосредоточеннымиилиосновноетехническиеустройствами,сложнымисоставитьпримеостановимсямыобра-вниманиепараметрами.чтозаметить,необходимопростейшиеобъектов.каж-втребуетсярассмотреныуправляемыхсистемыПоэтомутеории.говорят,тео-(при-методовкакили,параграфеболеенесколькосо-всредство—этойзадачобъектаВисследованияматематикаматематическихпримененияописанияПреждеОбъектомасистема,описаниевопросенасмоделямразнообразныхмодель.связанныхсистем.математическимсистемы.модельдлясо-управлениязадач,управляемыхкуправляемаяслучаезаключениедатьтеорииописаниематематическоевыполнениясистем.требованиярешениивозникают,послеможетспецифичныхМатематическоедляразличныхиЛишьуправлениясистемпростыхспецифичнызадачидополни-устойчивости,Дляпереборомд.математическойзадачаявляетсяуправлениядатьэксплуатацииМатематическая3.1.теориит.илисистем.управляемыхОсновныесистемыбытьрешений,этиисследовании3.Подставляядолжныитеорииx(t)].замкнутойинтуициивсеисследо-системы.основнаяэксплуатациейипараметровменеепоматематическомсозданиемотуправляемыхиТакимсостоитнеu[t,=уравненияпоспециалистконструированиюЭтирешаютсявариантов.разумныхивидекотороетакогоуравнениепериодическихрешенийэтихИтогомвх.исследо-системы,ограничениям.поискапредметзависимостиповеденияполучимпеременнойисследованытогоуправлениясистемы,фазовойнеобходимоописание,цельюполучениедвиженияуравнениевотносительноописываетсявсегопреждетолькодостаточноматематическоеспоставленнымисследованияобычнодатьиизуправления.неограничений,завершеноуправляемыйудовлетворяетобратимтребуетсяносистемы,техмодели.исследоватьнаПримодели.(поведения)движенияналишьтребуетсистемыэтомкото-решениядлятеориикуправляемойанализматематическойцелейотношениенепосредственноепомехиОстановимсяметоды.раз-длякоррозиивопросы,математическиеМатематическийуравнениятеоретическиеиматериалаотзащитысредстввозникаютразнообразных(выборинженернымиопределениесистемреальныхкомплексацелогорешениемчистосистемы,которыхсозданиясявляютсянихСозданиеуправления.связаноэлементовпотеориинеизбежноразличныхкзначенияоптимизирующихсистемуправляемыхТакимуравнений.анализироватьпараметров,управленияирешенийаналитическизначенияееВарьируяпараметров.указанныхсвойстваизменятьмоделированиеМатематическое1.интегро-дифференциальнымисистемыдинамикауправленияопи-которыхуравне-Математическое3.описаниебытьполучено(физики,налишьмеханики,икаждыйиногоматематическойиобоснованногоЗдесьглавнымсистеммногихсистемпространстваспространствааЕг.УправляемыйЭтовекторомзадаче,точноЗатемначальнымтакжеизпозаботитьсяокаждомприрешениячто-том,конкретномтребований,естественныхединственностьуправ-предъявляемыхкуравненияt>t0,C.2)f(t,x,u(t)),=опреде-математическимиусловиемх°заданный—ПоэтомуC.2)(p(t,x)этогоуправления,Каждаязадачаиu{t).Вчастности,втехническогопримеревчтоC.3),х(теоремавтеориипричинам.требованиятаки,ипоиме-функ-еслирассматриваемыхследующимпараметраC.4)уравнениеЛипшицазадач,позначениях.вектораиu(t)).C.4)условиюопределенныеДопустимыеUtвремениусловиюдлянедостаточноуправляющего=ж,известно,Однаконакладываетобласть/(?,=удовлетворяетирезультатазначенийдопустимыхх)удовлетворяющеерешения).существованиязамкнутую<p(t,x(t),=tпонепрерывнафункцийж),отвидевуравненийхрешениеКоши<p(t,=задачей.конкретнойзависитзаписатьдифференциальныхкурсаединственноефункциясчетеможнохИзобычноконечномвуравнениех°,C.3)=определяемыйвектор,f(t,x,u(t))Функцияконкретногоописыва-которыечистоинужнопроцессж(*о)имееттакC.1)описывалообеспечитьнужногдеобычноэтомисследовании.уравненияxсвекторноготребований,рядуееприu(t).=евклидоваэлементомпризадачи,выводепридостаточноиси-f(t,x,u).C.1)=содержаниемвсего,управлениитакихконечномерного(x(t),u(t))удовлетворятьконкретнымиспользуемымионоДляявляетсяипроцессдолжноуравнениеПреждечтобыхпараметрлишьсистем,уравнениемкакметодами,отметимуправляемыхпараметрами.xопределяютсяПоэтомусосредоточеннымиуправляющийдифференциальнымописываетсяматема-применениюмоделейопределяетсяЕп,основумалосодержательными,примеров.математическихобъектаполибобудутконкретныхособенностисостояниесоставляютрецептыОнизадач.анализобщиеобразомявлениякакие-либодаватьконкретныхпотребуетсянекоторыеконтактеинженернойсочетаниемодели.уместноливрядсодержа-впостоянномванализевматематическоймоделейматематическихзадачу.тогомоделивникнутьработатьРазумноеистрогостивыборасистемы.составлениюдолженпроцесса,этузаконовповедениекзадачисутьмо-процессовсоответствующихопределяющихпредложившиминтуициизнанияуправляемогофункцио-другимиописаниеприступающийформальную!)специалистом,либод.),т.илиточноеиглубокогоматематик,конкретного(несодержательнуюполноеосновехимииПоэтомуилисоДостаточноуравнениями.можетфизикиматематическойзадачамикраевыминиями,функциональнымисистем17управляемыхкакиобычнонанатипобластьдо-управляющихзаполняютнекоторуюЕг.пространстве1.1устройства.силаF(t)формируетсяПоэтомусестественнокакого-либопомощьюсчитать,чтоесли18Гл.FвекторявляетсямоделированиеМатематическое1.тоуправлением,\F\иботехническиневозможно^1.1удовлетворятьЕ3пространствеC.5)центромс,замкнутыйи\+параметрыui,A.3)должныЩ1x2,с2.C.5)<ипараметрауправляющеготочек,ра-шаруТакимкоординат.значенийнеравенст-замкнутомуначалодопустимых{щ,и2,из}=принадлежащихявляетсякоторогообластьюпримереи\+множествоопределяетрадиусаобразом,являетсяпараметрауправляющегоэтомвшар.ПримерУправлениебаранки3.1.спроизводитсяпомощьюработурегулирующейтакжеявляетсяруля.Он,глубинаиconst,=ЭтотТакимподобныхматематическомвозможностьпредъявляемыхобластьчтотого,бытьможетзамкнутой.мгновенноотстоящегоВвсЕ3.тоговоз-учитыватьпараметпредъявляе-такчтотом,на"без-называемуютакиезначениячтоясно,управляющегоотметитьодного"руль"моментпрактическирулиотстоя-далекодругое,Изприведенныхтормозногофункции.Поэтомузначенияирода.ПоэтомуможетинекоторыхнепрерывнойонапонепрерывназадачиtможетtточеккаждомC.4)условиюбытьопределеноразрываC.4),предъявляемыхЛипшицаследующимговоря,Науправлении.t.поприпервоговообщедопустимомрешатьнужнобытьдолжноразрываточкойуравнениивнапред-функций,бытьнепрерывнаудовлетворяетиЧислотребований,C.3),КошиЕТ.должнакусочноинженерныхсилувзадачуСf(t,x,u(t))поможетзадачевкусочно-непрерывныхних=непрерывныекусочноиуправленийUизip(t,x)управленияхитогеобластикаждаяфункциябытьненауправлений,допустимыхбытьдопустимыхвэтомпривсехсредидолжнывсевозможныхсовокупностьпринимающихконечным[/,множествособойпредставлятьчтоясно,областиввключенусилия.примеровзначенияпринимающихбытьмогчтобытак,устроенмгновеннопрактическиегобытьдолжентормозавременизначениетакойбезтребований,вconst.=значе-следуетразнообразныхследуетсс,пространствеипроцессовзначенийособоработу^щдопустимыхОднакозаключаетсяавтомобилемслюбоймаксимальноеВсилуглу-—первого.примеретормозуправления,допустимыхпереключатьсямогутотUОнарулей.^вувеличить.Всистемам,управляемымкинерционность"0областьюуправляемыхру-1x2условиюпараллелепипедможноconst,=регулирующейусловиюпримереописанииаа,так-баранкиудовлетворяетудовлетворяетпримеров^педали,прямоугольныйрегуиповоротапараметррассматриваемомвявляетсяпроизвопедали,ипараметрщпогружениятакжеобразом,ЧислоЭтотглубина—говоря,педалиугол—^—апедали.usпараметруправленияи\условиямитормознойbЬ,^здесь{^2,^2,^3},=ограниченпогруженияU2значенийПоэтомугруботормознойуправляющийповорота,двигателя.очевидно,автомобиля,движениемрулятрехмерным:двигателя.решениеA.4)создатьформуламисусловиюВпараметраспособноеустройство,соответствиивмоделии\придолжныconst,=Значит,математическойвсс,величины.примераО ^реализациивозможныесконструироватьнеограниченнойсилунеравенствоегосистемтребованиюудовлетворятьизвсеуправляемыхкчтоусловии,пох.образом.Практическисистеме(f(t,x)управкусочнореше-Математическое3.описаниеПустьдопустимое(рис./(t,x,ix)ТогдаеслиC.4)остальныхонах°(?),=Оно,имеетзанномрешениедифференцируемоx°(t)lim<p(t,x)=t—Оf(t,x,u(t)),=1.3.1ука-ж1,=Рис.t\.<на?—>?i(±твсех^toПолагая\t?урав-теоремысилуполуинтерваленепрерывноT<Воединственноенаполуинтервале.t2t2.Uс<иВt.поC.4)определенноеочевидно,t\непрерывнаC.3),задачаТt <<функцияC.1)</?(?, х) вточкахвtot\<функцияторазрывыточкахКоши,?,поимеетtoуравнениивнепрерывнауравнениихt\разрыва1.3.1).u(t),=функциейнепрерывнойиt2iкусочноточкамидвумяиуправлениескалярнойявляется19системуправляемыхрассмотримКошизадачуh<t<t2,\x(t1)=x1.ВКошитеоремысилу(?),хрешениеэтахрешениедифференцируемоеТ,t <^^2имеетзадачаx1(t),=единственноеt <^t\диффе-непрерывноxx{t)limПолагая?2-О?—>?2—ж2,=находимКошизадачи/(*,=tx(t)),ж,t2<t<T,\x(t2)=x2.(рис.Функцию1.3.2)<Tрешениемочевидно,непрерывноиt2t<T<C.3),задачиКошиинженерныеобъекту.требования,Однакополученныйответвчтоx(t),нотакжеПоследовательностьнекоторойдопустимыеиВуправлениямногихбылиэтомдляитераРис.{un(t)}приближенийзадачахограниченнымидолжнабылотеориизамкнутымуправленияизмеримымисходитьсячтобыпотребовать,естественно1.3.2u(t).управленияуправленийвоиопределениядляпостроенныхчастности,toзамкнутойудается,ПритолькоПоэтомуметрике.tиспользоватьнахождениядлядопустимыхмножествометрике.несправа.за-внепроцедуры.строитьпроизводнойполунеполнотаприходитсяитеративныеt2<односторонниеуправляемомуC.4)решитьприближенийприходитсяитерацииC.3),задачуt<инже-математикаЭтаобычноимеетссовпадаетэтомпризренияиОно,Т.<t\t\,<решениекнеполным.том,неопределитьучитываяточкиt\точкахвпредъявляемыеспрактическиразличныевC.4),tot2t<t^toполуинтервалеинтерваловслеваможемявляетсяпостроениякаждомпроизводнаямыпаизапричемформеC.4)дифференцируемо,образом,заключаетсянаипроизводные,ТакимC.3),задачиназываютименнотребуется,вектор-функциямивыбранноевэтоймет-чтобыдо-20Гл.созначениямиявляетсяобластивзамыканиеммоделированиеМатематическое1.UЕг'.ЕмножестваКлассфункций,этихкакизвестно,функцийнепрерывныхкусочносистемуправляемыхявля-чебышевскойпометрикеp(u(t),v(t))Вчтобытребуется,случаяхдругихL^to,классуT),е.т.\u(t)-v(t)\.sup=допустимые<КаждыйуправленийразэтомприВитогеоказатьсячислоВосчетным.условия,такого"излома"остальныхДостаточныепри00.числоточекрешенийточкахрешениякоторыхзадачаразрываC.3),задачиэтойдопустимыхуC.4)будеттожеявляютсязадачиC.3),C.4)счет-До-гладкими.имеетединственноеКаратеодори,теоремойследующейдаютсятипа,которыхдлясчетным.точеквсехчтооказывается,можетпринадлежалиуправленияu(t),функцийтакихмножествурешениебезприведемкоторуюдоказательства.ТеоремаКаратеодори.Gпространства^Ъ,областиаt^поt,поЛебегуах°\—N^фиксированномфункцияприТогда=\хtM(t),единственнаясуществуетx(t),x(t)(p(t,=Подводяx(t))итогисуществуетможноизложенному,интегрируемаяx(to)условиюпочтифункциясделатьх°,=ecextприизмеримаM(t).^непрерывнаяначальномувыполняетсях\(p(t,x)\абсолютноудовлетворяеткотораяравенствоих,чтотакая,об-вцилиндрефиксированномприпо^b,определенакаждомвпричемобластинепрерывна^tatux,переменныхэтойиз(p(t,x)вектор-функцияПустьЕп+1изtoотрезках=E(а, Ь),иа^tЬ.^следующиеВыводы.1.Приссистемамиматематическоманализесосредоточеннымитребованиямиинженернойиспользуемымприпостановкифункцияминепрерывнымиизэтихточек(помодельоднозначноуправлениезаданоегоперечисленныебытьначальныйt принимаетвыводы.каждоеобразовалимоментдискретныесделатьеслиза-времени.моделированиячтоотметим,лишьдопустимоеобъекта,математическоголишьНужноуправониуправляемогопараметрами,времянепре-Каждаядопустимыечтобычтобытакой,движениевопросовсосредоточенными(когдасистемсправедливыобсуждениескотораякусочноразрыва.Всетак,должныЕг,класс.должнанекоторыйвточеквыбиратьСбытьрода.ониUмогутчисломпервогоопределялосостояниеЗавершаясистемсчетнымразрывачтотем,Ониилиметрике)некоторой3.Математическаяаппаратом,областиуказаннойцелесообразнозадачематематическимхарактеризуютсяограниченной.конечнымточкойявляетсязамкнутыйискаждойвu{t)заранеезамкнутойисистем.=некоторойизбытьможетуправленияиуправлениязначенияопределяютсяуправлениязадачитакихсистема-непрерывнымиуправлениядопустимыеисследовании2.Допустимыеприниматьчастозадачпараметрамизначения)соответствующиевдлядискретныхслучаетакжесправедлипоправкинаМатематическое3.описаниедискретностьсистемрешениямиопределенные?МодельустройстваКакт.сосредоточеннымиисследованиюсостоитучетанекоторымзамыканиемрассматриватьслагаемое,срешенийуравненийпривозможнымлишьпроблемПримерсхематическитрубопроводСистематрубопроводе,си-оказалосьвозмож-ОднакокрядуихIис-решерисавтоматическогосистемуна1.3.3.рис.состоитизусилителейисполнительногочувствительного3 и 4длякоторыйпредставляет3схема-являетсярегулирования2элемента(струйная(стерженьтрубка5автоматического6исобъектпневматическийнадавлениясраспределеннымитру-(мембранныйзакрепленнымрегулированиясобой^ зрегулирования,Объектоммеханизмапредназначена¦>!¦-:.L>сложных;единственностиРассмотримдавления),двигатель)клапаном).сущереше-уравне-приводити3.2.итеоремслучаях.изображенную1.Регуляторизмерительуправле-уравнений.системогра-классуилина-бесконечныхзадачсуществованиятакихрас-причемспециальныхПрименениедифференциальныхтакжеусловиями,свя-вобобщенныхпростейшихвиспользованиерешенийфизикеновыхэтихрешенииграничныминасL^.лишьединственностизадач.бытьдолжнопринадлежитразработкиобыкновенныхНеоб-системами.вынуждаетпространствутеориидляисследова-куправлений,неоднородность,математическойвзадачкраевыхуправленийнеоднороднымиилидоказательствакраевыхсистемвспроблемамииопи-задачи,приспособленнепрерывныхэтупотребовалиикаждоекраевойаппаратдопустимыхрассматриватьсясуществованиясо-возникаютслучаеуправляемымимножествофункций,различнымиметодовскоторыхрешениебесконечномернымизадачизадачиОнивсистемэтомвклассическийчтокусочнообстоятельноуправления.частны-управлениям,выполнениипринедостаточночтоопределяющееТакиесдифференци-непрерывныхдляединственноетом,стого,измеримыхначалисвязиусловий,вкраевыеограниченныхисложностипроизводныхсвязанныхзадач,прозадачамипроцесс.частныхНеобходимостьчтоже,определяетуправляемыйдопустимымктемирассматриваемыйвикраевымиуравненийпредъявляемыедостаточныхуправлениеописанобыкновенныхОсновныетехопределенииТрудностьмасляныеводяные,1.2),примербытьсистемамипараметрами.уравненийпрак-элементыинтегро-дифференциальныхосновномв(см.1.1Требования,допустимоесебявможетилиостаютсяописывающей=созда-приэлектротехническиебесконечнымиилислучаеизучатьвключающихпараметрамиуравнений.прииНапараметрами.параграфевраспределеннымидифференциальныхэтомx(t),=д.производнымичастнымиопре-хприходитсявысокочастотныеотмечалосьужераспределеннымиуправления,дифференциальныхдлясмыс-функции,например,аргумента,параметрамисистемиссраспредеденнымитрубопроводы,газовыепроцессзначенийсистемысэксплуатацииииливышеуказанномявляютсяуправлениями1,2,.