Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач

ББК 22.18 Г15 УДК 519.6 Рецензенты: кафедра теоретической кибернетики ЯРГл профессор М. С. Никольский 1402060000(4309000000) †1 Г 71 — 89 07?(02) — 89 ББК 22.13 © Издательство Московского университета, 1989 !8ВМ 3 — 211 — 00313 — 6 Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Г15 Краткий курс теории экстремальных задач. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 204 с'.: ил. 18В11 5 — 211 — 00313 — б. В пособии рассмотрены наиболее фундаментальные результаты математического программирования, классического вариационного исчисления н оптимального управления, иэ которых складывается основной курс методов оптимизации.

Излагаются основания выпуклого анализа, ироблематнка расширения экстремальных задач и теории существования решений, достаточные условия экстремума, понятия о динамическом программировании и численных методах решения. Приведены решения ряда экстремальных задач,' возникающих в теории космонавтики, доказаны некоторые классические неравенства методами теории экстремальных задач. В книгу включено более 400 задач, что позволяет использовать пособие на практических занятиях и в практикумах.

Для студентов вузов, обучающихся по специальности «математика». СОДЕРЖАИИЕ Предисловие Введение 1:. Исторический очерк 2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами 3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями Часть 1 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ $1. Элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого анализа 1Л. Нормированные и банаховы пространства 1.2.

Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа 1.3. Определения производных 1лй Основные теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах 1.5. Элементы выпуклого анализа $ 2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Задачи выпуклого программирования 2.1. Задачи без, ограничений 2.2. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств 2.3. Задачи выпуклого программирования 2 4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств 2.5. Примеры 2.6.

О методах решения экстремальных задач. Градиентный метод и метод Ньютона $ 3. Задачи линейного программирования ЗЛ. Симплекс. метод 3.2. Обоснование симплекс-метода $ 4. Классическое вариационное исчисление 4.1. Задача Больца 4.2. Простейшая задача классического вариационного исчисления 4.3. Изопериметрические задачи $5. Задача Лагранжа 5.!. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа 5.2.

Задача с подвижнымн концамн 5.3. Задачи со старшими производными 5 6. Задачи оптимального управления 6.1. Принцип максимума Понтрягина 6.2. Примеры Часть П ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ $7. Некоторые общие теоремы функционального анализа и их след- ствия 6 6 10 12 17 Гт 17 !9 22 25 ЗЗ 41 42 45 47 51 54 55 57 57 62 68 68 72 77 80 81 86 88 91 91 100 105 106 7.1.

Теорема Хана †Бана, отделимость, теорема Бенаха об открытости 7.2. Леммы (о нетривиальности аннулятора, правом обратном, замкнутости образа и аниуляторе ядра сюръективного оператора) 7.3. Теоремы Ляпунова и Хелли $8. Выпуклый анализ в линейных пространствах 8.1.

Двойственные соотношения в выпуклом анализе 8.2. Теорема об очистке $9. Необходимые условия экстремума 9.1. Необходимые условия 1 и И порядка в гладкнх задачах математического программирования 9.2. Условия 1 и П порядка в классическом вариационном исчислении $ 10. Достаточные условия экстремума 10.1. Достаточные условия в задачах с равенствами и неравенствами 10.2. Элементы общей теории поля 10.3. Теория поля и достаточные условия в простейшей задаче к. в.

н. йн.д 11 1с Задачи линейного и выпуклого программирования 11.2. Ляпуновские задачи !1.3. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным 11,4. Уравнение Эйлера для простейшей задачи классического вариационного исчисления в многомерном случае 11.5. О теоремах существования и прямых методах в вариационном исчислении и оптимальном управлении $ 12. Разные задачи 12.1. Задача о мнгкой посадке космического аппарата . 12.2. Задача Годдарда 12,3. Задача Улама 12.4. Теорема Чебышева об альтернансе 12.5. Неравенство Бернштейна Задачи Ответы, указания, решения . Краткая хронологическая таблица Литература Краткий путеводитель по литературе Список обозначений Предметный указатель 106 1!1 ПЗ 114 114 120 122 122 127 135 135 140 142 146 146 149 151 155 157 157 160 162 164 166 168 185 199 200 201 202 203 ПРЕДИСЛОВИЕ В наше время проблемы оптимизации приобрели очень большое значение.

Это привело к тому, что сейчас математическое, инженерное и зкономическое образование немыслимо беэ элементов теории экстремальных задач. Цель втой книги — содействовать тому, чтобы теория экстремальных задач заняла достойное место в современном математическом образовании.

В первой части представлены основные разделы теории экстремальных задач, которые обычно входят в программу курсов математического анализа и различньи курсы оптимизации: правило множителей Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами Я 2), линейное программирование Я 3), классическое вариационное исчисление Щ 4, 6) и оптимальное управление Я 6). Эта часть написана в расчете на самую широкую аудиторию. В особенности зто относится к первым четырем параграфам.

Хотелось бы, чтобы материал этих параграфов использовался в технических и экономиче. ских вузах при построении как курсов оптимизации, так и отдельных фрагментов оптимизации, включающихся в общие математические курсы. Овладение материалом первой части дает воэможность решать задачи. Необходимо сказать, что материал первой части фактически исчерпывает программу курса чВариационное исчисление и методы оптимизации» по специальности 2018 — «Математика для государственных университетов. Вторая часть Я 7 — 11) книги адресуется прежде всего студентам университетов и преподавателяи, ведущим курсы оптимизации в университетах и вузах. Она может быть использована как при построении основного курса в университете, так и ряда специальных курсов, связанных с оптимизацией. Одна иэ целей университетского образования — раскрытие глубинных причин той или иной теории и места, которое эта теория занимает в структуре всей митематики.

Во второй части делается попытка осуществить все это по отношению к теории экстремальных задач. Там весь материал первой части просматривается заново с единой точки зрения, в которой соединяются бесконечномерный гладкий и выпуклый анализ. Для проведения практических и лабораторных занятий по методам оптимизации в б 12 приводится решение важных экстремальных задач, кроме того, имеется 260 задач с ответами, некоторые из них снабжены решениями. В книге отражен опыт преподавания курсов оптимизации, читаемы~ на механико-математическом факультете МГУ. Первая часть, Ю 12, и задачи написаны Э. М.

Галеевым, остальное — В. М. Тихомировым. ВВЕДЕНИЕ 1. Исторический очерк. Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин привлекали к себе внимание на протяжении всей истории математики. Особенное значение эти проблемы приобрели в наши дни, когда, как никогда прежде, ощущается потребность в наиболее эффективном использовании природных богатств, людских ресурсов, материальных и технических средств. Все это приводит к необходимости уделять большое внимание проблемам управления.

А всякий раз, когда имеется возможность, активного участия человека, возникает желание отыскать наилучшее, или, как говорят, оптимальное, управление. При этом неизбежно обращение к математике. Древнейшей из задач на максимум и минимум считается классическая изопериметрическая задача: среди плоских замкнутых кривых заданной длины найти кривую, охватывающую наибольшую площадь. Над этой проблемой размышляли греческие философы еще в У в. до н. э., о ней писал величайший греческий философ Аристотель. Античные геометры поставили н решили еще несколько задач на экстремум.

Они встречаются в «Началах» Евклида, в сочинениях Архимеда и Аполлония. В эпоху Возрождения, когда возобновляется научная деятельность, многих ученых вновь привлекают задачи на максимум и минимум. В ХУП в, необходимость исследования задач на экстремум связывается с проблемами естествознания, Началось это с попыток объяснить закон преломления света. Еще древние старались найти его. В частности, Птолемей во П в.

до н. э. пытался определить его экспериментально, но его попытки закончились неудачей. Закон преломления света был установлен в ХН1 в. голландским ученым Снеллиусом. Возник вопрос о физических принципах, на которых он основан. Для объяснения закона' преломления света великий французский математик Пьер Ферма выдвинул (около 1660 г.) экстремальный принцип, названный впоследствии его именем. Принцип Ферма гласит: в неоднородной среде свет избирает такую траекторию, вдоль которой время, затрачиваемое им на преодоление пути от одной точки к другой, минимально. Начиная с этого момента идея «варнационных принципов» (т.

е. убеждение в том, что законы природы выводимы из некоторых экстремальных соотношений) становится одной из центральных во всем естествознании. До второй половины ХУП столетия не существовало никаких общих приемов решения задач на экстремум. Необходи- мость их отыскания в значительной мере стимулировала создание математического анализа. Первый общий рецепт, с помощью которого предлагалось исследовать задачи на максимум и минимум, был описан П. Ферма (около 1630 г.).

На современном языке он звучит так: в точке экстремума (некоторой функции одного переменного) производная равна нулю, и потому экстремумы следует искать среди корней производных. Этот результат входит сейчас в школьный курс математики под названием теоремы Ферма. На самом же деле Ферма описал этот прием фактически лишь для многочленов. В общем виде он был впервые получен Ньютоном (в шестидесятые годы ХЧП столетия), а затем переоткрыт Лейбницем и впервые опубликован им в той самой знаменитой статье, с которой, собственно, начинается история математического анализа.