Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 3

|+минимумаBпВСледовательно,толькобез1.1—1.17ихЖ2)=/0*1,ж2)=х\ -х\х2)=5х-XI'.5020Ж1ж26ж2'■-4 Х\Х++2а?2/(Ж1,=Ху+3;321.7./(Х\,ж2)=Зж[Ж21.8./(Ж1,ж2)=ж4+16а?1—12а?2—ж2)=2ж'[ж2)=^+Ж!Ж21 \Х\Х2-+*1.10./(жь1.11./(жьж2)=х\х\F-Х11.12./(жьж2)=е2г>+3х2(8х\1.13./(жь=е^-^^б1.14./(жьж2,ж3)(-Ж1Ж21п(ж1ех!г.ех!г.ех!г.ж2)—+ех!г.2ж2ех!г.-+ех1г.-*-ж2)-+ех1г.Ьхххг-2Ж1-Ж1Ж2ж3G=—+х\)+—+2Ж!Ж+К1а;2*\-\-ех!г.-+ех!г.-+—Я24+ж2)+Зж2)-+ех1г.2ж2-Х\---+Зж3)ех!г.-+ех1г.11.15./(х\,ж2)/ (I2=+ж2^+Х\JдЛ,-+гшп-1(задачаиех!г.-+!ж32Ж2)локальныеех1г.-+1всемаксимумы.-х\ +^ж2)ихточки,стационарныенайтитакжеаи/К1.9.тамминимума.найтиограниченийэкстремальность,наминимумы1.6.локальноточек,локальногоодногонивыточкиТочкиминимума.стационарныхсрединетнеПоэтомуминимума.локальногобыть1.4.1.5.0).~$-неот-являетсянеупражнениязадачах1.3.(.4локальногодоставляютнемоглиЗадачи,проверитьглобальныеСильвестраматрицейСледовательно,1.5.задачикритериюусловие1)тг)+оказалось.1.2.понеобходимоелокального1.1.I.определеннойнеотрицательновыполняетсяне.Экстремальные1.ополиномахЛежандравторойстепени).§ 2.

Конечномерныегладкиесзадачи23равенствами1[22полиномахЛежандра3^-1(задача1.17.НайтиХт,экстремумы§ 2.+Х2Жз2.1.конечномернойК"2Жз+2—0.=задачиэкс-условиядостаточныеисзадачеК,-+гфункциивсечтоограничениями0,1,. .,т,=равенств.типаНеобходимые2.2.1.ПринципГладкойгладкостью.равенствтипаограничениямизадача:/о(а!)2.2.спеременных.попределеннойзадачейследующаяфункции—/,■ обладаютэкстремальнойназывается2Ж2+задачи/{•.Считаем,конечномерной2Ж1+Х2Хт,—необходимыедаютсяПостановкаПустьХ\Хт,—гладкиепараграфегладкойвпеременныхдвухравенствамисэкстремума+Х\=КонечномерныеэтомфункцииеслиЖз)Х2,степени).третьейзаданнойнеявно{{Х1,х2),—Р(Х\,Во/,•(*)ех1г;->=0,*достаточныеи1,.

.,=(Р)т.экстремумаусловияЛагранжаСформулируемнеобходимоеконечномернойусловиеI порядкаэкстремумаограничениямисзадачеравенствтипавгладкойпринцип—Лагранжа.Теорема.(Р),задачеваокрестностиПустьфункциидлячтоусловие1осех1гР/,-,гАЛагранжафункции—=(Р)Ат)А(х)=за-вэкстремумадифференцируемынепрерывноТогдагладкости).(Ао, А1,. .,задачиЛагранжалокальноготочка0,1,. .,т,=(условиехточкимножителейвектор€хсуществует€Кт+1,А фненулевой0, такой,т5^ А,/,(а:)выполняетсястационарностиЭтоудовлетворяющиесоотношениеназываетсяусловиюстационарности,условиемТочки,стационарности.называютсястационарными.удо-24ГлаваДоказательствопроведемстационарности^А дхп'Аматрицыранг,-)'задачиПредположим,противного.Этоотвыполняется.не/0Щ дх\Экстремальные1.0,1,. .,™,=условиечтовекторыозначает,чтолинейнонезависимы.Поэтомуравен=\дхпТогдаш+1.поМматрицаиттеореме(тппорядкаДопустимнуля.дляранге+1)(тпх1)+сстолбцовдЫх)существуетотличнымэтойматрицейявляетсяА:матрицыЭЫх\71])с.определителем,чтопервыхиз[15,(см.матрицыопределенности,составленнаяматрица,о\дххVНеобщности,ограничивая/о(ж)Ф 0,тобудетнеедхдх,считаем,следуетДлявектораточких=/о(#)/о(^)/оР(х)положим(/о(*,*т+2,■•■,*«),■•■,/т(*,хт+г,.

.,хп)).некоторуюетиТогда(вусловийсилуотображениемотображениядифференцируемымякобианхточкиокрестностьявляетсягладкостиэтойвРвхтеореме(см.следующийоб\Р~1(у)пункт)-К/о(ж(е),образом,0.векторчтоозначает,жт+2,. .,0=^|2/^ВР€нуля,Кт+1вдифференКроме0.=отобража-Кт+1того,е.т.векторавг/|-х(е):—Р(х(е))хп)дляР~1(е,0,. .=е,х(е)/,-(г(е),=х^-^г/)Отакое,*К-,0),жт+2,.

.,(х^е),. .,хть\(е),хт+2,■\х(е)&„)равносильно=0,0)=емодулю-х\ ^ -йГ|е|.равенствамг=■хкон-покоторогочто=некоторойсмалогодлянекоторойР~1($что*1»|достаточно(е,0,. .,0),.Ротображениеточкиокрестностьпространствахконечномерныхобратноечастности,=длявсуществуетг/2?(й)|>определенЭтофункцииобратнойточкиконстантой=непрерывноотусловияаодинаковы.(Ро(х),. .,Рт(х))Р(х)отличендляи•=0,1,. ,гоокрестностии/ои,^т+1)окрестности,точке0,=функция(^ь..теоремы)=\По=М*)~/о(#)-еслиМх)=функцийдля(хь..

,хт+1)Действительно,}о(х)=экстремума0.=функциюусловиеи/о(#)чторассмотретьвыполнятьсястационарностит+11,. .,т.■,хп)выполня-Таким§ 2. Конечномерныеютсягладкиезадачисравенствами=1,. .,условия/о(а:(е))/((х{е))е,=-х\^\х(е)ИзA)-B)соотношенийибоэкстремума,гA)т,/о (ж)чемчто1осехгг€жневерно/о(напомним,2.2.2.Теорема455.]некоторойРТогдавуфункции.обратнойобКпСточкиототличендифференцируемоеКп, Р(х)непрерывножвР'(&)I йе1нуляточкиКконстантойПустьКп/:оК—*—достиженииследующаяТеореманепустомVокрестностиих=чуеу0.>функцияфункциейпПрипеременных.исследованиичастоэкстремумапеременныхп[19,Вейерштрасса.1,т.235.]с.НепрерывнаяподмножествезамкнутомдостигаетВыделимф 0 1.I—-—-ис-теорема.ограниченном(компакте)отобра-якобианнекоторойР~1(у)чтотакое,жйе111,т.отображениеиу==Р~1отображениеобратное[19,функции).обратной\р-1(у)-р~1(у)\^к\у-у\вопросаиспользуетсятем,(противного)■об—Vхнекоторойспротиворечиедоказана.Кп-*окрестностьвнаменьшиеипредположениетеоремаЛсуществуетточкитакВейерштрассаР:точкех(е),векторыПолучилинашезадачевбольшиекак0).=теоремаокрестностиотображения/о(&)образом,(конечномернаяПустьзначениятеоремаКонечномернаяТеоремавектордоставляетнедопустимыепринимаетТакимсамымтемижсуществуютчтоР.чтоегоB)К\е\.следует,вблизифункционалкоторыхс.О,=этомприис25абсолютныхсвоихэтойизнанепу-пространствамаксимумаследствиепростоефункцияконечномерногоминимума.итеоремы,будемчастокотороеиспользовать.Следствие.( |х|-»ооИт/(х)=(максимума)—Напомним,компактом,можновыбратьоо),толюбомнаназывается/сходящуюсякопределение)можномножествоАконечномерногоизминимуманазы-пространствеАилиподпоследовательностьАоткрытымиОграниченноеподпокрытие.пространстваАэлементовпокрытиявсякого+оо=Кп.метрическомизизконечное|х|-«опоследовательностиэлементуесливыбратьввсякойиз/(ж)Шпиабсолютногосвоегоподмножествемножествоесли(равносильноедостигаетонаКпнанепрерывназамкнутомчтомножествамизамкнутоефункцияЕслиявляетсяикомпактом.26Глава2,2.3.НеобходимоеусловиеСформулируемПустьТеорема./,-,Аточки(условиеA, Аь..

,=гэкстремумаIусловиеминимумаIО,1,. .(условиелокальногодважды,т,минимума^ёппИпТогдадлязада-в{/{(&),. .,/„(&)}=Лагранжамножительсуществуетчтогладкойдифференцируемынепрерывногладкости),такой,впорядкаравенств.точка—регулярности).€ Кт+1Ат)порядкатипа1оспипР=хзадачиограничениями€хфункцииокрестностивтсзадаче(Р),Экстремальныенеобходимоеконечномернойзадаче1.функциизадачиЛагранжат(Р)А(х)/о(ж)=^З к/г(х)+А'(х)0=МысформулировалиЛагранжамножительЛагранжафункция2.2.4.ДостаточноеСформулируемТеорема.дифференцируемы■■>в/т(*)}АЛагранжаПустьА(х)A, Ах,.

.,=/о(х)—+53 ^г/г(х)иТогдах'Шг€означаетР«линейная—VдляЛагран-стационарности:точкаоболочка».локальногопроизводных:вторых(//($),Л)минимумадиф-задачиЛагранжафункцииусловиякфЪ;гладкой{/{(&),множительсуществуетчтовнепрерывно(ШпНпгладкости),матрицы>01осгшпдваждыт,(условиехпорядкаО=(А"(х)к,к)того,соответственноравенств.0,1,. .,=такой,определенностиположительнойгвыполняютсяЛ'(ж)Iминимумарегулярности),Кт+1ипорядкатипа/,-,€Кт+1€Iточки(условиеАт)исключением1=1ограничениямиокрестноститтэкстремумафункциит=Ат)условиесНеобходимоеминимума.53 ЬМХ)-+достаточноезадаче1,. .,го.=заАь.. ,(—1,=условиеконечномерной•условие-/о(а;)-1аналогично,АА(х)0,=необходимоеформулируетсямаксимумачто(//(ж),к)к:Vпроизводных:вторыхматрицы)^0условиестационарности:условияопределенностинеотрицательнойивыполняются1=1=О,г=1,.

.,т.взадаче(Р).(Р)§ 2. КонечномерныеМысформулировалиусловиеАА(х)Лагранжафункция2.3.ПравилоДля(-1,=исключениемзаАт)Аь.. ,-/о(х)=Достаточноеминимума.аналогично,Лагранжа27равенствамиусловиедостаточноемножительсзадачиформулируетсямаксимумачтогладкиеЕт+1€того,соответственнои+1=1решениярешениягладкойконечномернойфункциюЛагранжаограничениямисзадачитипаследует:равенствСоставить1){=0Выписать2)необходимоеусловиеусловие—Лагранжа:функциистационарностиI порядкаэкстремума1=0Найти3)точкиточкирассмотретьслучаи:с) Ао=стационарныеЬ)1—точкиа) Ао(или любойточкиНайти4)проверкойэтомкаждойстационарнойВыписать{Л€КППроверитьположительнуюЕслислучаематрицулокальный0,случаес)случаезадаче.вдоказать,илиточекчтонепосредственнойусловийIэкстремумаусловиеЛ"(#)производныхг=1,.

.,ш}.иусловийдостаточныхвыполнениематрицыпорядка>0экстремумавыполняется,минимумвзадаче(х€——положи-кфЪ.НеЬ,VвЬпространствопроизводных:вторыхположительностилокальныймаксимумВВзадаче.воспользоватьсявторых!(/ (*),/*)=Ь)максимумстационар-задаче.точке.определенностьэтовстационарных(А"(х)Н,к)ввминимумисследованиюка)максимумипытатьсяперейтииликонстанте),В случаеконстанте).минимум,средиможнорассмот-положительнойлюбойдоставлятьмогутотдельноследуетэтомдоставлятьмогутрешениеПринет.(или1=(этистационарностиусловиюПрииточкистационарныеего=удовлетворяющиестационарными).0, Ь) Аоотрицательнойдоставлятьмогутстационарныевх,называютсязадаче1 остахР).то(х€1остшР);точкахдоставляетвслучаес)28Глава5)ЕслинеЕслиусловиеэтодоставляетвдостаточные2.4.4а;!+ФункцияНеобходимое^0надотонеотрица-—производных:УЛ61.выполняется,точкатовминимумвАоЕслих2Тогда_ноех1г;А0Dа;1+=х(хзадаче(х % 1остахР).задаче—,х\Зх2)недо-& 1осгшпР);\Л12А фточкане—.Подставляя=Тогда0.0,0,==тоЦх\+=\.+х\-1).экстремума:Г Л,,^^*=>х\+локальногоэтах2—получаем,о"°0,=0,=ХхЗх2 -»•ЛагранжаусловиеА'ЛГ 4А0\ ЗА0^+=0,=0.уравненийпредыдущихиз2Ххг2Хх2+Х1,х2чтовытекает,АоПолагаемдопустимой.являетсях\ограничениев+-1.=х\=1,что49+_имеемПофункционалаИ)D-1)€К",Ах)(Ах,—»—■__1=1}компактна.и3\4единичнойкомпактностимаксимумокружно-Рассматриваяминимум.получаем:,5.==-5.(х, х)ех1г;=1.матрица).симметричнаярешенияВейерштрасса,теореме/3\1-,-1,1—-,—-I.точках,5тыСуществованиепо(х,х)8тах(о-ч)}=Решение.следуетаЪзтах,2.Примернастационарныхв1 еаЬзтт,-силузадач5±-.=точки(врешениязначения=22^А4АстационарныедвеВейерштрассатеоремеокружности) существуют€^=,1^25=/4Соответственно\х\2(А"(х)Н,Н)локальныйЛ(а;вторыхмаксимум1.Решение.=матрицынеЬ)экстремума,экстремумаПримерыПримерХ\условияусловиянеотрицательностислучаелокальныйс)случаезадачинеобходимогоопределенностьнеотрицательнуюввыполняютсявыполнениепроверитьЭкстремальные1.задачпосколькунаминимумсфераи5"на=максимум{а;€Кп|§ 2.