Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павлёнок Н.С. - Методы оптимизации

Методы оптимизации — Раздсл математики, В котором аналивируются и Рс1паются экстрсмальныс задачи ~задачи минимизации и максимиаации функциОналов на мнОФсствах консчномсрных или бссконсчномсрных пространств). Экстрсмальиыс Задачи встречаются В Различных сферах человеческой деятельности. Ка®дос Разумное действие является в Определенном смысле и Оптимальным, ибо Оно, как правило„выбирается после сраВнсния с другими Ва~иантами, Интсрсс к задачам наилучшего выбора был ~~со~~~ Всегда, но особенно воарос в последние Годы В связи интенсивным Развитием науки и техники, С одной стороны, людям Все чаще и чаще приходится заниматься процессами, для Осуществления которых требуется МВКСНМВЛЬИО аффективное испольаованис имеющихся средств н Ресурсов„с друГОЙ ~~ОРО~Ы, с Раавитисм вычислитсльнои техники Резко увеличились воаможностн Воздействия чслоВска на иаучасмыс процессы.

Из-за сло~кности современных прикладных аадач их Рещение Все в мсньщсй мсрс Основьгвастся лищь на «здравом смысле», интуиции и Опыте чслОвска. Стал нси36сжным научный подход, 6азирукицийся на математическом моделировании исслсдусмых задач. В данном учебном пособии излагаются основньгс методы, испольаусмыс В настоящее время В теоретических и прикладных Работах по Оптимизации, Оно является третьим иаданисм ~первые дВВ Выщли В 1975 и 1981 Гт.) аналогичного пособия и отличается от предыдущих Обьсмом приведенного материала и формой илло®ения, Использован Опыт преподавания Обй~сго курса «Методы Оптимиаации» для студентов третьего курса факультета прикладной матсм пики и информатики Белорусского Государственного унивсрситсга по специальностям «Информатика», «Прикладная математика», «Экономическая кибернетика», «Актуарнав математика», «Ымпьютсрнаа безопасность».

Помощь при подготовке Рукописи к изданиЮ Оказали Я. О. Грудо и О. А. кравец. Цснныс замсчаниЯ и прсдлоксниЯ Высказали И. Ь:. Асмыкович и Л. И, Лавринович. Всем нм авторы выракают Глубокую признательность и искреннюю бла Одарность. Все замсчания по данному посооию просим присылать па кафсд~у методов Оптимального управления Бел госуниверситета: 22ОО5О, Г. Минск, пр Независимости, 4, ОПТИМИЗВ11110ННЫМН ЗВДВЧВМИ ЗВНИМВЛ11СЬ МН01 ИС 11НТНЧНЫС Ъ" 1СНЬГС (ЕВКЛИД, А~КИМСД. А~~ИСТОТСЛЬ И Др,). КЗВССЗЭ(В СЛСЛУ10111ВЯ З((дйЧЛ ЕЮХЛИдИ ~% ВСК ДО Н. Э.): В З(1А2ИЬЫ11 РР(РСт)Ст)ЛЫ(((К А31. 'ЦА(С . ~ ВР1ИС()ар)Ь р)йр(1ЪТ(лЛОГР()ММ .4ВИ' Й(ЗМООЛЬ(йСт1( Р)Э1ОР(йдИ. НСТруДНО ДОКВЗВТЬ, ЧТО ~)С(ЛСННСМ ЭТОЙ ЗВДВЧИ ЯВЛЯС(СЯ ПЗИЛЛСЛОГРВММ, ВСРП1ИНЫ О. Е, Р КО*ОРОГО ДСЛЯТ СООТВСТСТВУ1001ИС СТОРОНЫ ТРС~(ОЛЬНИКВ ПОПОЛВМ.

110СЛС ГИбСЛИ (1НТНЧНОЙ ЦИВИЛИЗВЦИИ НВУЧНВЯ )КИЗНЬ В ГВРОПС СТВЛй ВОЗРО)КДВТЬСЯ ТОЛЬКО В Х)1 ВСКС. ЗВДВЧН ОПТИМИЗВПИН ОКВЗВЛИСЬ СРСДИ ТСК, КОТОРЫМИ ИНТС1)ССОВВЛИСЬ ЛУЧП1ИС УМЫ ТОГО В1)СМСНИ, ЕСЛИ В ВИТИЧНЬ(С ВРСМСНВ ОЛТИМИЗВ11ИОННЬ(С ЗВДВЧИ ИССЛСДОВВЛИСЬ ТОЛЬКО ГСОМСТРИЧССКИМИ МСТОДВМН Н КВЯ(ДВА ЗВДВЧВ „'Ц1Я СВОСГО ~)С(ЛСНИЯ Т1)С6ОВВЛВ СПСЦИфИЧССКОГО ПРИСМВ, ТО В ХЪ'Ц ВСКС ПОЯВИЛИСЬ 06П(НС МСТОДЫ ИЗУЧСНИЯ 01)ТИМИЗВ(ТИОИНЫ)( ЗВДВЧ.

КОТОРЫС й~)ИВСЛ11 К СОЗДВНИ10 ДИффСРСИЗЗЗ(ВЛЬИОГО Н ННТСГРВЛЬНОГО ИСЧИСЛСНИЙ. ПСРВЫС ЭЛСМСНТЫ МВТСМВТИЧССКОГО ВНВЛНЗВ бЬ)ЛИ СОЗДВНЫ И. Ь'.СЛ11СРОМ 116! Э ГОЛ), КОТОРЫИ ТВК ОПИСЬ(ВВСТ ПОЯВЛСНИС СВОСГО ОТ)(РЫТ)1Я: ((МНС КВК КОРО1ЛСМУ )(ОЗЯИНУ СЛСДОВВЛО ЗВ11ВСТИСЬ ВИНОМ. Я К~'ПНЛ СТО НССКОЛЬКО 60ЧОНКОВ. тСРСЗ НСКОТОРОС ВРСМЯ ПРИ(ПС)1 ПРОДВВС11 — ИЗМС~)11ТЬ ВМСС)ЗСИОСТЬ 60ЧОНКОВ, ЧТОО НВЗ1ИЧИТЬ ЦСНУ НВ ВИНО. ДЛЯ ЭТОГО ОН ОПУСКВЛ В КВ)Кт1ЫЙ бОЧОНОК )КСЛСЗИЫЙ ПРУТ (РИС. 3) И, ИС ПРИбСГВЯ НИ К КВКОЫ)" ВЫе(НС)т(СНИК), НСМСДЛСННО 06ЬЯВЛЯЛ, СК~Л~КО В бОЧКС ВИНЯ)), ПОСЛС ~)ВЗМЫЛ)ЛС11ИЙ КСПЛС1) ОТКРЬГЛ ТВКОГО ПРОСТОГО СПОСОбВ НЗМСРСИИЯ ОбЬСМВ бОЧСК.

ОКВЗеЗЛОС(ьт ЧТО ООЧВ()1л1 ЗВ ДОЛ- ...З:;,рт;.,ь,рь~~~~ьть,, ГУ10 НСТОРНИ) НеьУЧНЛНСЬ ИЗГОТВВЛИВВТЬ ООЧЬЗ( ,ф~тф~~ф~~~' части прьта. А поскольку в окрестности мак,,ффф~~~~~~~~~.: сььмтъм шачьннл фуикпнв нтменяхпел мало «~тле)Речь)~~~~~~ 1а атом сУгь откРьп.вл ьт. кеьььеРа), то тоРгт- ВСП ВИНЯ ПОЧТИ НС ОП1116ВЛСЯ 1)~)И ООЬЯВЛСНИ11 ООЬСМВ ООЧКИ ПО ОДНОМУ ИЗМС~СНИК). РИь".

3 ОТК~ЫТОС И. КСПЛСРОЫ ОГЛ(ОВНОС СВОЙ- СТВО ЭКСТТ)СМУЫОВ 6ЫЛО ЗВТСМ Оф01)МЛС110 В ВИДС ТСОРСМЫ СНДЧВЛВ 11. ФСРМаЭ ~ДЛЯ МНОГОЧЛСНОВ), )ГОТОМ 11, НЬК)ТОНОМ И 1'. В. ЛСйбНИ11СМ ДЛЯ П~)ОИЗВОЛ(тИ1л1К фУНКЦИГ1 И НОСИТ ТС11С)Э(ь Нь)- ЗВВНИС РР(С()~)СНЫ Ф~~(1, СОГЛВС110 КОТОРОЙ В РР(ОЧК( ЭКСТР(РСлт(),ть(() .(' етЛйдКОЙ фЭ ЯКА((ИЯХ) Р(РОИЗВОдййЯ ф) НКЦ111( ~)йВИ(1 И)'ЛК): ф 1,Х) l(й =" б. (." ТСК ПО~) ИССЛСДОВВН)ГС (~)~ИКПИЙ С ПОМГНДЬГО ВНВЛИЗВ ОССКОНСь1НО МВЛЬ)К ВСЛИЧНН СТВЛО ОДНИМ ИЗ М0111НСЙИИХ МВТСМВТНЧССКИК МСТОД()В И П1)ИВСЛО К СОЗДВНИГО СОВРСМСН110ГО МВТСМВТ10(ССКОГО ВНЗт1И)Вт В КОТО()ОМ локаазна и оооб)1псна тсОрсмз Фсрмз нз ЯР)д11ч$' $4.'.иРРРРРРРЙ ммРРммизммцц РИРЙРР11Р РР10чкР .11мимн)'ЯРРР а)1)дА()1Р фУЙЯ111Рм Р ~х).

х ~= К . РЧ)РР 1'с70- В1РРР йй1110ЛРРСййй ~РМВСРРСРРРРР 11,~,~) = О, 1 == 1,й. 1Р1 "-'. Р1) „й)дМРРРРРРХ ~: РРОРНОМ~Ьй) ,"Лцдй11Т ф йКМРР11 Р1,(Х), 1 =-1,А', Х С К . СП~ЯВСДЛИВО СЛСДЧК)11ЬСС ЩУИЮМ.,РРР РНРРРР.)й*МРРМ-7СМ РХ1)*'.~РМРР,)й'И: ССЛМ Х вЂ” /)СМРСРРМ6" ЗРРРОМ ТйдГРЧМ М йй ИСИ йСКРРМР~РЬР (.:"11,1Х ) СМ', 1:=- 1,А', ЛМИСМИО ИСЯРРВМСРРИЫ, РР10,.'дй С)Щ~ГСРРРВУЯ)РИ йС ИСС ОР)ЙОйРРСМСР11)1) РРМВИЬРС ИК)й) ЧИСЛЯ Р',, 1 = ),А", ЧРР10 "1Х, Р.)' <':;К = 11, .Рд~', 1 ~Х, Р.) = ДХ) + „) А,Р1,1Х), чадзчамн 01ГГимиЗВ11ни саяазнО и заро)клснис ОснОВ друГОГО Рзадсла соарсмсиной мзтсмзтикн — ф)'РРИНмРРРРдяьРРО~РР мРРРьштм, Б 1696 ГОД~" 1'1, ЬСР1ТУЛЛИ ОП Р6ЛИКОВЗЛ СТЗТЫО С ПРИГЛЗ)ПСН)1СМ КО ВССМ МЗТСМЗТНКЗМ РСГВ1ГГЬ СЛСЛУ1001УК);1ЗДЗЧ~. В ВСРТ1ТКЗЛЬИОЙ 1ГЛОСКОСТИ ЗЗДЗИЫ ДВС ТОЧКИ, 1К) ЛС)КЗГДИС НЗ ОДНОН ВСРТИКЗЛИ. НУЖНО СОСДИНИТЬ ЭТИ ТОЧКИ ТЗКОЙ НС11РС1)ЫВНОЙ ЛН11ИС11, ЧТ1)бЫ ТЯ)КСЛЫЙ 1ПЗРИК, СКЗТЫВЗЯСЬ ПО НСЙ бС) СОП))ОГНЯ:1сн1ьч.

проходи)1 1туть От Всрхнсй ТОЧКН до ни)к11сй1 )з иаиыснь1псс В1)смЯ. ~1срсз ГОД а Гч аадзчч, нззыВасмук) тспсрь змдмчсй 1) ПРРР)ГмсРРРРРЧ)РРИС, РСП1ИЛИ И. ИЫОТОН, Я, БС~)НУЛЛИ, Г. В. 11СЙбниц И СЗМ И. ЬТНУЛЛИ. 11РИНПИПИЗЛЬНОС ОТЛИЧИВ ЗЗДЗЧИ И. ЬС1)НУЛЛИ ОТ ЗЗДЗЧ НЗ ОПТИМУМ функ11ий кОнсчнОГО числа псрсмснных, для котОрых до атОГО Оылз докзаанз тсорсмз Фсрмз, состояло В том, что Врсмя дВН)ксния п)арика бь1ЛО фУ11КП11СЙ ОТ Л~НИИ, Т, С. фЧНКПНСЙ ОТ бССКОНСЧНОГО ЧИСЛЯ ПСРСМСННЬ)Х. 1ЗКНС фуНКЦИИ ИЗЗЫВЗК)ТСЯ ТСПС~)Ь фУНКЦИОИЗЛЗМИ, К ТЗКОМУ :кс классу Оптимн)ЗННОнных задач Относится н задача ДндОны. Я~и Рс1пснии задачи О брахист1)хроис уГ11)мян)-Гыс Вьп11с )Рчсныс и Ж, А.

АЯГРЗИ)к псрснссли мстод знзлназ ОсскОнсчнй мзль1х Всличии нз исслсдоязнис ф~)1кпионзлОВ. Л:. Л. ЛЗГРВ)Ок нз)ВВД сГО мстодом Взризпнй, з Л. ЗЙлср п~сдло)кил нззыВзть ВЗР11з1)ИОИ)Гым исчислснисм Вссь ~1а:)дсл мзтсмзтики, В котОРОм исслсду10тся Оптимумы. ВР~)ммцшРРРНР)с мсчмслсиис — пс~)Вый1 Рзздсл функ1п10нзльн1)ГО знзлиаа. ТсориЯ Оптимизационных задач В ХЪ'ц)-л.1Х Веках НГрала больп)~10 РОль и В д))уГих Рзздслзх нзъкн, ОсООсннО В мсхзннкс и фиаикс 1Рссм ОчсВидно, что тя)ксльп1 1парнк, помс1дсиньВ1 В сосуд, зз)имзст В с1~тоянии РВВИОВссня самос 1ОГ~кнсс поло)ксннс.

',.Зто сВОЙстВО В тсрминзх МСХЗГВ1КГИ ОЗНЗЧЗСГ, ЧТО ПОТСН1В1ЗЛЬНЗЯ ЭНСРГИЯ 11Щ)ИКЗ Пр)ПП)ЫЗ 1' НЗИ" мсныпсс ..И1З~1сн)1с. деформ"Р)НГРОВанный акст))смзльный пр)п1П)п1 пп1р)ко ИСПОЛЬЗУСТСЯ В МСХЗНИКС И фИЗИКС ДЛЯ ПОИСКЗ СОСТ1)ЯННЙ РЗВНОВССИЯ СЛО)КНЬС~ СНСТСМ. ДЛЯ ЭТОГО 1)ЛЯ СИСТСМ С КОНСЧПЫМ 'П)СЛОМ СТСПСНСЙ СВОООДЫ 1 лавйаЯ особсййость атой аадачи сосГОит В Том, что В сс услов11Ях прйс~'Гствук77 йсстр01йс йср11всйства.

Конечно„с йсралснствамй ~чсиыс Встрсчалйсь и раньцкс и йахОдилй для каъдОГО сл'~чая спсцйачьныс прйсм11 йх учета, Л. Б. ЕВ1ГГОровйч первым 071стлйво аалвйл, ч10 нсстрОГйс йсравсйства тйпичны для 60."1ькцйнства практйчсских задач й для их учста В матсмат11кс нст Обиих '1ффсктивных мстОЛОВ. Он я1е прсдлохкил нсскольк0 прйсмОВ 1рс1лснйя ИОВОГО класса Оп'111мизациопйых аадач, йо аавсрц1сййГО работь1 Г111мс111ала Вторал мйроваЯ война. ЗаслуГН Л, В. Г:айторовича по йсслсдовайййо йово10 класса оптймйаа11НОинь1х задач бьГЯИ от'4счсны 1'1обс11свской прсмисй по ОкойОмиьс, В котороЙ аадачй айда ~1) йГраГ07 ОГромнъ'к1 роль.

Послс Второй мйровой ВОЙйы йсзавйсймо От Л, В. КВ117орови 1а задачи Вйда 1 1) Обнару%Ил ~1947 Год) амсриканскйй матсматйк Д. ДанЦИГ И ПРСДЛО1КИЛ ЭффСКГИВНЫЙ МСТОД ИХ РС1ЦСНИЯ. ИЗВССТНЫЙ ТСПСРЬ как сммилскс-41с1710д. (.. 1качалз 50-х ГОЛОВ ИОВый раздс11 экстрсмальйь1х аадач айда 1'1) стал Называться лй11сл11ь~,й 11ро~~1ьйй11РОВВнис~1 и явйлся псрвым раадслом сОВрсмсйной тсорйй Оптимизационных задач, которая отличается 07 классичсскОЙ Теорий такйх Зад~Ч йалйчпсм В йсй методов рс1цсййя аадач с нсстрОГймй нсравсйс1вамй й пор01кдасмими последними замкйутыми мйожсствами. Стайовлснй10 лийсйнОГО прОГраммйроваййЯ, сГО Обоб1цсййлы и прйлоькснйям ОГромйу10 пом01ць Оказало сйадаййс В ссрсдййс 40-х ГО- дав ХХ века электронных Вычйслйтсльйых мап1ин 1ЭБМ'1.

Дело В том, что Оптймиаацйойнькс задачй, ВклГОчакпцйс В СВОИ услОВйя нссвр01"ис йсравснстВВ, рсдк0 допуск3107 рсГцсния В фОр."4с, кОторая д0 ХХ Вска была 1пироко распространсна В матсматикс й 111ироко используется 7спсрь й В п1кольной матсматикс. 1 счь й,*'1с'1' О запйсй рс1цсйиЙ В Вйдс форм~~л, Выража101цих искомыс псрсмсйнь1с чсрса параметры Задачи.

Простсйц1йс приысры — формулы для пло171адсй ГрсуГОльнйка, КруГВ, для корйсй кВадратйОГО уравйсййя, для 70~1ск мйййм~ма й максймума квадратйОГО трсхчлсна й 7. и. '1акОЙ «фГ1рмулы1ыЙ тйп рс1цсйия» матсматйчсскйх аадач часто удобен для йспольаованйя, а В простсйкпих сит~ацилх сГО 31ь1йис длЯ матсматиеа ОбЯЬЦ17сльйо, Как таблйца уый01ксййл. ЕГО достоййство состойт В Глобальйостй: полъ:1НВ форы~~лу Одйн ра1, сс мож110 использОВЗть для получения чйслсннОГО ОтВста В лГобОЙ конкрсГИОЙ ситуаций. ФорьГ1лы10с рсцьснис Обладает й с1чцсст71сн1п.1ы йсдос17п ком: чрсаВьГчаййо узок класс матсматичсскйх Задач, для рс1псния которых ~дастся постр01пь удооные форыулы. В послсднйс Годы с помоцуью псрсоналы1ьвх 3ВМ ~11ЭБМ) 7чсйыс су1цсствс1Н10 продлйнулйсь В КГОЙ Областй й сп1;1й ЛОР1))НЫИ1~ Р~)СХОдйЭ111 111) З~)дййНО~ СС~~й дО~~ОЗ 0111:1йд~ййЫХ 11ОС1ЛО1)Н111- КОВ К ЭйдйййЫМ ))1)РЩМ'.611)))(~.'1ЯМ. МЙТСМЗТИЧССКИС МОЛСЛН ')ТИХ ЭЙДЙЧ ЯВЛЯ)ОТСЯ ЧЗСТИЫМ СЛУ'1ЗСМ ЭЙДЗ~1И ВИЛЙ 111, И Г10".)ТОМ)" ИХ МО)КНО 1)С1ПИТЬ СИМПЛСКС-МСТОЛОМ.