Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 14

.29.Jl^dtx@)extr;—>X1=™01p5.30.ж@)extr;,A)О,=ln4.=015. 31.-12te)A^extr;J,@)=жA)i=0.0eUtx25. 32.xx)+dtx(\)extr;—>x(e)0,=1.=11(?2i;25.33.\2x2)dt+ж@)extr;-^хA)=0,(пример1=Гиль-оберта).i[ (ж25.34.-1+х2)dt\-JUJar(-l)extr;->жA)=1.=1CJ•C#CJI•l«A/I\Aib'Vy-Л.J-иII1^«ДуX111^«Ду1•-l5.36.[(i;2+ж2+2ж)dt5.37.(x+x-\-tx)dtextr;ж@)extr;x@)^жA)=0.=о-^x(\)==0.о5.38.[(Axx2sint(x2+x2-Ax(x2+ж2+--x2)dtж@)extr;->жA)=0.=оо5.40.fsint)sh2t)dtx@)extr;-^=0,ж(Т0)0,ж(Т0)С=о5.41.f6жdtx@)extr;-^=^=о5/\ w•ГЕ^I•/ /-y»^I «X/I\~гг*?JbI\~/Ii-Jb/•>»+nnoilUJiW"TLibb»*O"V"J~"PC/-A-L1*,O^djI\JIIJ11irYb,JbiIl1I I\J.Jо5.43.о7*[ (i;2+x2+4жsht)dt->extr;ж@)=0,ж(Т0)=^.100Гл.И.Классическоеисчислениевариационное15.44.\(xzxz+JAxcht)+dtx@)=x(\)=0.extr;—>о5.45.[(x2x2+t)ch\x+dtж@)extr;->x(T0)0,=С=отг/25.46.отг/45.47.[(Ах2х2)-dt^extr,х@)dt^extr;х@)1,=отг/45.48.I"(х24х2)-жГ^0,=о-1.=Зтг/45.49.J(х2-4х2)dtх2-х2)х@)extr;^=ж(^)0,о-1.=тг/25.50.JBх+dtж@)extr;->х[^\=о0.=Зтг/25.51.[(х2х2-2х)-dtx@)extr;->^(у)0,=о°-=тг/25.52.J(х2х2-tx)-dtж@)extr;->х(^\=о0.=тг/25.53.[(х2-x24xsht)dt^extr;+х@)х{^\=о0.=г05 .54.о[ (х2-х24х+t)shdtж@)extr;-^х(Т0)0,=С=тг/25.55.о5.56.[[Fxsin2t(x2x2-i;2)^^extr;+-x2-6xж@)2t)sindt-^extr;x@)extr;ж@)х{^\=0,=0.=ж(Т0)=о7Г/25.57.J0Зтг/25.58.[(x2о-x2-Axsint)dt->=ж(Ц-\=0.С5.§задачиЭлементарныеклассического101исчислениявариационноготг/25.59.(х2—х2+Ахx2+4жcost)t)cosdt—>extr;ж@)=ж(dt->extr;ж@))—=0.отг/25.60.[(i;2-ж(|)0,=оf=•Зтг/25.61.J(x2-4xcost-x2)dt^ж@)extr;ж(у)0,=о5.62.[-х2(х24х+t)cosdtж@)extr;->ж(Т0)0,=о1CJ•VrC#I•у JU|KJJUJKZs\JLV'Су-Л_иJ.\•JU\J1J111.JUО•015.64.\(x2x2)e2t—dtx@)extr;-^x(l)0,=e.=о5.65.[(i;2-x2)e2tdt^extr;x@)ж(Т0)0,==?.оl5.66.[xdtsin-^extr;x@)extr;ж@)жA)=0,|.=оl5.67.[cosxdt->=0,жA)=тг.0,ж(Т0)0,ж(Т0)от05 .68.о5.69.о[ sinxdt^yextr;ж@)[xdt^extr;ж@)cos5.70.[же*dt-^extr;5ж)dtх@)===ж(Т0)0,С=?.==tог05.71.[(х5+-^extr;ж@)=ж(Т0)0,^.=о15.72.(Р)[A-i;2Jdt^extr;х@)=0,х(\)=?.==^.-у.102Гл.(х25.73.наэкстремумКлассическоехх3)dtUx x2надопустимуюx@)ж@)atx(t)==(иссле-0).V3xl-)=—-.1,*)=^.extr;^жA)=00,=экстремальextr;(исследовать0=0).=xtr;}:i.7e.х(Т0)0,=x(t)-1+2/1\5.75.х@)extr;->экстремальэкстремум1/2исчислениевариационноедопустимую.74.довать-И.*0)=l.1/2T+±25.77.extr;0,5.78.жминимальнойл/1х2+dt-^ж(То)extr;5.79.dtextr;—>\y/xThл/15.81-5.86задачах^ (задачаомини-x0,>В=вращения).поверхности5.80.х(—То)=0).х\>+x->найтиinf;xi>0)ж@)(задача=допустимыеобрахистохроне).ж(Т0)0,^=экстремали.1Ux2l+xl-2xix2)dt^>extr,5.81.x{@)=х2@)=0,оxi(l)=shl,5.82.J(x2х2(\)=ж2@)=—sh=0,о=5.83.extr;^2A)=sh1.§5.задачиЭлементарныеклассическогоисчислениявариационноготг/25.84.[5.85.Ux\x2(х\±2-x\X2)dtx\(Q)-^extr;=х2@)=0,16x\t+\2x2t2)+dtextr;->о7Г/2 /f (if5 .86.2x\+±3+2x1^2+2ж2ж3)+dtextr;-^оРешитьсзадачиж2@)1,=@-1,=5.87-5.107.концамиподвижными1i;2d?^extr;5.87.х@)1.=о15.88.\x2dt+ax2(l)dt->extr;ж@)=0,Тdt-^extr;x@)=0,(Тdt->extr;Tж@)extr;^=0.+ж(Т)от5.89.Ji;21=0.+от5.90.Ji;21)х2(Т)-+2от5.91.[i;3ж(Т)+ж@)1,=0.=о15.92.Ux2+x)dtжA)=0.^extr;о5.93.(Р)о[Оi:2)-dt->ж@)extr;=0.т5.94.[(i:2+x)dt->extr;ж@)+ж)dt->extr;ж(Т)+х)dt->extr;ж@)1.=от5.95.[(ж2=Т.от5.96.[(ж2=0,ж(Т)=^.=0.103104Гл.И.Классическоеисчислениевариационноет5.97.Ux2+x)dt^+хх@)extr;х(Т)0,=Т.=от5.98.Ux22)+<ftж@)extr;->0.=о5.99.jтг/4(x2-x2)dtx2)dt->extr;x@)extr;x@)1.=о5.100.f(x2-->0.=о7Г/45.101.f-x2(x24xcost)+<ft->ж@)extr;О.=отг/25.102.J(x2-i;27Г/415.103.[(i;2+x2)5.104.\(x2+x2+4xsht)dt^exti;xtr;х@)1.=x@)0.=оl5.105.о[(i;2Ux25.106.(P)x2)dt-x2(\)+ж@)^extr;1.=оT5.107.|(i;2+a;2)d?^extr;ж@)x(T)0,=1.=оВ5.108-5.115задачахнайтидопустимыеэкстремали,т5.108.[(ж2+ж2)dt->extr;ж(Т)++х2)dt->extr;ж@)=0,Т1-0.=от5.109.J(i;2Т+ж(Т)+от5.110.|Vl+?2<ft-^о15.111.\^l+x2Jdtхextr;х@)=0,Т2ж(Т)=1.1=0.6.§5.112.105задачиИзопериметрическиех@)-dt^extr;Т-х(Т)1,=\.=5.113.5.114.5.116-5.120задачах5.116.Jy<ft.5.119.\xpy/l+x2dt.Вx==1.Ux2dt.5.124.J(P)5.126.6.±5.123.t.Эйлера,уравненияИзопериметрическиезадачиЛагранжаизопериметрическихдляконцами)называетсязадач.задачейИзоперимепгрическойзадачи.закрепленнымиклассическомвисчис-вариационномвзадачаследующая([to,решение5.125.ПостановкаКС1общееdt.[v^+xVl+x2^.Принцип6.1.1.исчислениинайтиж2)—x§6.1.le^dt.±dt| J(i:25.118.5.120.5.122.\Vl+xГамильтона-Якоби.уравнение^(x2+x2)dt.5.121-5.126Гамильтона-Якоби.уравнение5.121.(иливыписать5.117.задачахрешая(сx\(l)extr;—>|Ж5.115.Вx\X2)dt——С1 ([to,пространствеti])):ro0('))=ч=\fi(t,f /o(*,x(t),x(t0)a;(t),x(t))=x0,A(t))dtx(t\)=dtait=x\.t\])extr;-^i=1,.

.,m;A)B)106Гл.И.ЗдесьR3fi'.КонстантыGОграниченияfi,С1 ([to,0,=t\]),Будем(з)loc1,т,. .,A)называютсяинте'грантами.допустимыми.функция(максимум),называютсячтодопустимаялокальныйдопустимойФунк-изопериметрическими.называютсяB),(locфункциипеременных.числа.Функциих(-)GусловиямA)иизопериметрическимконцахзтрехфиксированныеудовлетворяющиеслабыйфункции—заданныет,говорить,min1,—. .,исчислениевариационное0,=ат. .,назадачегвидагусловиям?R,—>а\,ФункцииКлассическоеминимумз),maxесли5существует#(•),0>—х(-)\\х(-)писатьтакое,<за-вдоставляети\ х(-)которойдлях(-)чтодля5,выполняется?любойнеравенство6.1.2.Правилорешения.1.Составитьлагранжиан:тLL(t,x,x,=A)^Ai/i(t,=х),х,А(А0,=АьАш)..

.,г=02.ВыписатьнеобходимоелагранжианадляусловиеэкстремумаЭйлерауравнение—L:т[)Ег=0г=03.НайтинеАодопустимыеЭйлерауравненияравномнулю.0=т^Аоилюбойили0-второмотличнойвместе9/сосвоимиХ(-)гладкости),Тогда,ЛагранжаединицеравнымэкстремалейЛагранжа.0,=1,m,. .,—множествовфункции,непрерывныепроизводнымиt\ ),fixX(t))(t, X(t),х(-)?<%Аш,неиMt?слабыйдоставляет(з),задаче. .,случаидопустимыхоткрытое—функцияизопериметрическойАо, АьвгС1 ([t0,?АоположитьнайденныхчастнымиеслиА,рассмотретьнет.%R,уравне-Лагранжаконстанте.нулямножителей—>решениямножителейотдельноможносредиПустьfi'.полезноотдопустимыевектореслучаерешенияПравилоR3,прибываетрешениеТеорема.экстремумВочтодоказать,6.1.3.пространствеэтомдругой,4.ОтыскатьилиLПрие.т.экстремали,лагранжианадлявсеравные(условие[t0,ti].глад-локальныйэкстремножителиинулю%вfi±найдутсятопространст-длячтотакие,тLлагранжиана=J^ Xifi(t,x)x,выполненоЭйлерауравнение~Li(t)+Lx(t)=O.Еслифункциивыполнено—-rfix(t)условие+fix(t),i=регулярности,1,всостоящее•••,та,линейнонезависимы,том,функ-чтотоАо^0.6.§ЭтаочевиднымЛагранжаОднаконеравенствами.А)<мы3/\.3?точкевопределяемый3?(х(-)))/\.чтосогласнох(-)называетсяФактическидифференцированиеПрименяябылоэтовыше,знаком=гБ)ПостроениеследующеееCl([t0,U})Ах(')x(U)E%(х(-),дваА(регулярныйб)отображение(вырожденныйслучай).ДоказательствоВ)линейногоОбразизвестно,0}иt\ )Cq([?o,R-+1:ж(.)),••отображениемнаотображениемнавтеоремыпространстванетривиальностиваннуляторатакиеАо,числавRm+1.вподпространствоАьявляется,вырожденномпотогдалемме(п.пространствеАш,невсеImслучаеНоконечномерном.

.,случае.отображенииЗначит,подпространством.равныечтонулю,тJ2xiZi=0Теперь,дляесли5^1(х(-),Vzвспомнитьх(-)),(zo,zuопределениетоt\zm). .,A.GlmАоператораполучимm\ (Y,t0=г=0Ши№(*)+fix(t)x(t))^dt=(вырож-вырожденномлинейномприRm+1частьAImе.т.случай);являетсяЕх(.))).Rm+1,все{х(-)=&&т{х{-),•,выде-Рассмотримслучаев.6Я[(х(.),являетсяАсобственноенайдутсят.. .,регулярноговкакdt,случая:Rm+1какfix(t)x(t))пространства=ж(.)),а)отображениеесть+1,отображение=Притому,отображенияи| x(t0)=Возможны=0,ва-5.2.3.аналогичноконечномерноговырожденноголинейноефункционалов5.1.3,пп.интеграла,\(fa(t)x(t)=вформулекчвыделениенамиприходим-), х(-))х(-)Ит(^(х(-)л—>о=функциоЛагранжупоинтегральныхвычисленыподсделаноЛагранжувариациейфункционалх(-))вариациибылиисчислениянера-доказательство.§15^(х(-),гдеиравенстваминепосредственноепоформулеповариационногоее2.3.3,п.теоремысзадачвариацийНапомним,функционалах(-)),следствиемдлянижедаемВычислениефункционалов—являетсяпринциптеоремасформулированзадачи107Изопериметрические=0ивыражениеAо1.3.1)108Гл.И.КлассическоеисчислениевариационноетНотогдаизеС1 ([t0,t\])(п.Дюбуа-РеймоналеммыГ))Невозможность@,Ф(/3)так,окрестностиА,••Rm+1изнуля(^о(А),=базисканонический—гдеej,=An),•,е0A,••АД•,0,0),.