Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 10

.,(ж*,—х)<К=Пусть{х\=х*|леммаоператорпространства(условиеКsA(x*)-банаховысюръективныйсопряженного0Yи—А),из=снизуФенхеля-МороконусеXлинейныйэлементых)1рисверхутеореме{(х\supсопряженномПусть—d=ограниченаточкапозначит,5В*,=чтополучаем,произвольная~~и,l(lp)(x)=Лемма.СогдеINформулуирА=Лежандра-Юнга-теоремучторА(х)чтопространства,того,всюду(рА)(х)—>Применяясопряженного1}.<следует,конволюцииВследствиенепрерывна4.4.3.| ж| .двойственное| | ж*||сразупреобразованииоА.sA(x*)—непустое—следующееконволюции=XСмножествадопускаетх)расстоя-Адох{(ж*,sup=определенияGV0=точкирА(х)ВеличинарА(х)кратчайшемозадачепространство,расстояниемТеорема.представление:<VxВ>>очевидна.=0=Л*~1(/;(Е)подмножествозначит,0.=Банаха.теоремаПох)задачи67«,ж)<0,О?'Xг1,=Лж5,. .,0}.=ТогдаS~~\~X-/Л.7¦~~\~1V'i/—UC^¦^^К)UY\~г=1<ОбозначимП^{ж=S=Р|П^ПКегЛ.| (ж*,Применивж) ^0}.ТогдаотеоремуintП^конусе,ф0ксопряженномг=1пересечениюоператора,5*конусов,получимилеммуобаннулятореядраирегулярного68Гл.I.afP|UiA\KerП^aUi=сведенияПредварительныеcr(KerЛ)+=-(conv{a;*,=Замечание.УтверждениеАТФ,(см.3.3.4).Хоффмана.п.ЛеммавлеммелеммыточкисопряженномКдохверноПустьовыполненысправедливодляImA*).+жечтоусловия,функции>СлейтераусловиятеТогдаконусе.ж*}.

.,безииотрасстояниянеравенствог=1Применив<\slli5=coneобформулуформулуиXiфункцииопорнойформулыпересечения,конволюциифункций,индикаторныхпо-получимsKsfC^UinKeiA]=5{сопех*}0=г=1sIIi0sKerA0=0(ЛтЛ*Следовательно,по=5\х*\х*=сопе{ж^,едвойственноститеоремеж*}. .,рКдля1тЛ*}.+получимsрК(х)sup|(x*,=х)Llin{x*,=Л*у*,+Значит,замкнут.х^}. .,ипространствавсегдалятор^с^ж*=| x*||^0,>а^г=1Подпространствоконечномерногож*|1тЛ*+какзамкнуто1тЛ*замкнутого,L банахово.Ai:ОператорсуммаЛ)-1-,(Кег=анну-RsхУ*^SА\(а,L,-^у*)Л*у*,+линеен,У*xL.наMi:L^Rsxy*Полеммев1,<выражениирК(х)| Mix*||R5xy*тодля<сюръективен,| Mix*||Y1 \аг\=существуетС||ж*||.<Цу*||+г=1можноробратномправомТогда,гS,| ж*||оAi°Mi=/L,чтотакое,еслиинепрерывенг=1RsотображаетJ2 aixt=чтосчитать,0 ^с^а*<(КsupС.^| ?/*|С,^Такимобразом,С,^откудаС,г=\'sг=1Лемма4.4.4.А:пространства,aGRs.оX—>УОпределимсюръективныйу)5:inf=Л+0УиRsхmaxl^^^sУR—>((ц+банаховы—ж*оператор,функцию5(а,XПустьминимаксе.—Gравенством(ж?*,ж)).A)X*,простг=1,.

.,s,4.§величинаЛемма.ЕслиS(a,у) допускаетS(a,у)(х*,maxзадачи69Выпуклыех)0^любогодлядвойственноеследующееЛ,КегGхтовеличи-представление:тsJl(a,=у)sup=2_\aiai<(у*+(а>У)>У*)|Л^г=1Л|(а,=у*)г=1г=1infэтомA)вединственном)отхГGRSху),а,чтодостигаетсяж(а,=нау)их(а,\ х(а,у)\\^С(\а\ПерваячастичастьлегкоАТФ,см.4.4.5.п.4.4.1.ранее:ж*,Л,=этомYиY)далееlmF'(x)иусловиеhвекторавыполненоДостаточноеусловиеlocG{х| (ж*,х)(x,A)[ft,ft]>0,0.хг0,=ЕслинекоторымGloc1,. .,Feminft]a||ft| 2>фЛ0иVftЛ,ввыполненоатакжеегокомпактностьивыпуклость4.4.1.п.СноваНеобходимость.fi(x)чтосчитая,=0,г0,^рассмот-задачуf{x)Лемма.<\<\F(x?)x^ж=(fo(x),max=ЕслиЕслиАхК,eloc0,locGminfi(x?)fm(x)).

.,minmoз,Утозь<0,г0>locGx>гmin=>ж0.Cl)=зь| жеЗж?:0F(x)inf;-+^—locх\\min<г,з.>>тоз,т,0:>аA)[ft,множествадоказаны<\D2(%),з.НепустотарассмотримЕсли<минимума.сmin(з)задачевeнеотрицательностиmax3fxx(x,agiбыливведенныеПустьfiминимума.=положительностиxисследованиеобозначения,пространства,Кеусловиеусловиедостаточные=Y.любогоmoипродолжаетсяиспользуютсябанаховы—Необходимое0}порядковЗдесь(Левитин-Милютин-Осмоловский).GD2(f,второйЛ.X4.4.1Оанализа.выпуклогонеравенствами.ПриТеоремадля\ у\ ).высшихусловиясзадачезадачитеоремзависящее3.3.4.п.Необходимыевусловияп.изнеможет,(яеО>у)+следуетСтакоевыбореподходящемпри{бытьнекоторомсуществует=70Гл.I.hПустьК.GсведенияПредварительныеПоложимai^fi'(x)[h,h],=y±F"(x)[h,=^(х,Рассмотримзадачу((ж*,maxВследствиесюръективности4.4.1п.теоремыменималеммаПооF(?tfi+Согласно-^XПов^K\\F(x)\\.+?2?o(t2)t,малыхнайдетсяпри-элемент0,=Л?+0и,у0=если++r(t))th+0,t2<р(х))+t/iср:=t2?),+полу-U^того,кромеполучим:=0,t2O\\+faкo(t2).=иA),используяполучаем0)^гmax(t«,max((ж*,е>чтоФ(Л)допустить,НеобходимостьДостаточность.ip(xt2?+K\\F(x^отображениеF(xТейлораК)<=t/i+r(?))=++при(зг)задаче+чтоr(t)^(х*,чтоt2F'(x)iтакое,формулуприменив?/iдоказательствакминимаксеAh+Полагая\ r(t)\+изт.е.существуетжF(x/(x0.=леммыиоЛюстерникаточки(вспомнив,уКегЛ,GлеммеtF'(x)h+теоремеТогда,VxсоотношенийсилуF(x)=окрестности\ (р(х)\\Л0^+свойствамиt2?)+Лжinf;—>ft].0t >приж)минимаксе.Тейлораформулеа^)+оператора(ж*,max), обладающийполучаемж)A)[ft,Л>?2(«,+а<)+?)o(t2)+0<в+а»)=1?Щк)+o{t2)+спротиворечии<0леммой.доказана.Покажем,что5>0существуетчтотакое,условия/г(жпротиворечивы\ h\причтох| /г |<loc?5ьminД(ж+5,Л)F(x+0.Изhвекторft)=0B)+этогосразубудетудовлетворяетследовать,B)условиямТейлораЛ>«,=^hпустьформулепоF(xг>0,<Итак,з.ТогдаЛ)<0,+h)=+Ahi fl'(x)[h,+^F"(x)[h,h]+П(Л),h]+r(h),г>0,и4.§задачи71Выпуклыеполагаяи,1<*iЛ ( ж) [ft,=gft]4-n(ft),F"(г;Л]x)[h,+гполучимft)+uiSO,=Л h +0,^гyC)0;=этомприhf.Il2/IKC,| /РассмотримD)задачу((x lx)+ai)maxЛхinf;—>+УттИзравенства/у^г\^гх)>(Л*у*+ж),=0J^ о^г(х*,чтоет,Л,GKerВитогеж)0=кзначит,и,(зз)0.=VxGC2)задачеaij^=1вытека-ж)>0г=0Л.Ker0,=Отсюдаможно(ж*,maxприменитьолеммуминимаксе.получимfi(xmaxC)h)+((ж*,max=/г)+аАmin>((ж*,maxж)аЛ+Расстояние/готдоD):(мыС2{<воспользовались^равенствомТакимчтоhобразом,чтотак,Хоффманалемме| /г|изЦЛЛ||}+затеми(х*,h)+Сз||Л| 2<0,a^^/12,+^<h\гдееК,<Ц/^Ц1/2.аСз||/г|следует(ж*,тоC)).h\=Л>+еслисм.—у;=«-г=0тем,Л/гвыбранои,пооценимE)тPK(h)иКконуса=}.г=0поVxG</г)_|_Сз||/г| 2.|а^|,^^ПустьТогдазначит,INI<4C3|N|2.F)НаконецеслиЛследуетчтоотметим,GЛ,| ?/*|то<изС4.следствия5%Пустьчтовытекает,чтомало,\ h\из5%<неравенство<*Mh)+f(v\r(h))\^г=0Теперьобозначив4.4.1п.теоремынастолькосоединимС$воедино=тах||^жж(ж,условияА)||:теоремыЦ/цЦ2.G)B),E),F)иG),72Гл.0I.f(x>h)+^QjSf^max^только<_,403С5НД1ПолучилиУfti||7ninEi,следует|4ft)+^0.>неравенствоOL<I|e5O3O5^/(ж0противоречие:n^^Y^ii+3)5^2,3-sclcli Mir-JiiMH^o,I3-4C3C5||fti5 <^YfA)[fti+ft2,imi2\ h\изA) [ft, ft]-i=o,^fесли(х,maxJ?xx(x-сведенияПредварительныец2и,jl ^l l•>Задачи(P)4.2.ж2+4.3.x2+ArfSA4.5.¦^x24.1.y2у2«^~гl4.6.+Всякаяотнеевсемдобылакругизвневэллипсоидазадачапространственазываетсяотображениипространстваобвотображенииэтомплоскостивточкувточкуположительнымиплоскоститакойрасстоянийсумма(задачаШтейнера).расстоянийсуммачтобыплоскости,ототнеедовзвешеннаятрехсуммаразличныхточекШтейнера).задачатакуюмногоугольникапопериметрминимальной.весами(обобщеннаячтобычтобыбылавзве-сторон.найтиминимальныйточку,минимальнойплоскости,точекмаксимальнойсквадратовтреугольникаимелтакуюбылаимеющийполином,1]).треугольникзаданногостороннайтиx^1,суммойточектакуюразличныхтакуювправильного+треугольниквминимальной4.15.Найтивершинможет(обобщеннаяприx\t+весамизаданныхслежащейС([—единичныйНайти4.14.Найтирасстоянийt2пространствеобразованныйчетырехкт.е.нормаль,пространствавидавкаждой4.13.Найтинее/2пространствестремящимисяпространством.втрехвэллипсоидавсегоположительнымиШварца).этоголинейномобразаэллип-функционала?xq,гильбертовомввнемонотонноимеетточкитакомприполиномовдо>ж3лежащейфункционаладонорму4.12.(Р)конусаэллипсоида.линейногозамыканиечтобыточке,Д°?п),.

.,осей,отшарас6)6'эллипсоидаЭллипсоидомсоьэтогодограницыэкстремума4.9.Среди(?точкилинейноготочкалигильбертовомАполлония).наименьшую4.10.Вписатьвзвешенной4.11.На0).F>длинамирасстояниепространстве,совпадает(>аточки1,^сточкойчтоinf.->infотминимум4.8.Найтисебя,bJ—-^отэллипсоидаединичного1x2nja}n+..Найтиграницеобраз(y+.inf.->inf.-^-расстояниеж2/а2нулю.служить(задача7/y-2\+2'4.7.(Р)на-1расстояниеНайтисоидаmax0^1^13\x(ж, y)о,J+2д/(ж+7/212+y2+xyНайти^Л /+чтобыточку,быламинимальной.суммарасстоянийдоIГлаваКЛАССИЧЕСКОЕИСЧИСЛЕНИЕВАРИАЦИОННОЕ5.§Элементарныеклассическогозадачиисчислениявариационного5.1.Задача5.1.1.Больца.ПостановкаЗадачейзадачи.беззадачаэкстремальнаядифференцируемыхфункцийфункцийдифференцируемыхКС1БольцаограниченийС1 ([to,t\])x(t))dt+([to,называетсявt\])):следующаяпространственепрерывно(кусочно-непрерывнодиффе-t\3${x(-))lb(t,=x(t),l(x(t0),x(t\))->extr.(з)*0ЗдесьLдвухпеременных.L(t,=конечным,to<—оозадачейx)Отрезокx,t\<min(locзх(-)функцииБольцаефункционаломБольца.х(-)функциячто(максимум)минимумmaxС1 ([to,8%вз),еслиявляетсяС1 ([to,G5найдетсяфункция—иС1 ([to,(сла-доставляетили,t\]),0>терминантом,—(з),\ х(-)которойдляt\])задачепространствеt\}),Iфункциюинтегрантом,—x\)фиксированнымэлементарнойисчисления.вариационногоФункцию8&функционалБудемговорить,(слабый) локальныйсамое,функционалуl(xo,=предполагаетсяЗадача+оо.<называютаloct\]Iатрех,[to,классическогоLGфункция—чтотодлялюбойтакое,что—х(-)\\<5,жех(-)писатьиGвыполненонеравенствоЩх(-))Напомним,что38{х{-))>х(-)еслиПритермины«абсолютныйэтитерминыможновсехС1принадлежатабсолютныйисрединепрерывныхдопустимыхэкстремумболееимеетОднако,какС1КС1,иликлассаширокогонакоторыхсогласнонасдопустимыефункции,правило,средипринадле-абсо-доставляющиеабсолютныйдоставляютфункцийфункционалВкоторомуфункционалафункциизначениеуда-экстремум».смысл,экстремальное(аупотребляеммыстандартныйфункцийфункций,\x(t)\}.«глобальныйилиэкстремум»втоисчислениявкладыватьКС1).или&(х(-))).<{\x(t)\,maxвариационногофункциянайденная=maxзадачрешениидалееС1 ([to,?| x(-)||i(Щх(-))t\]),—средиопределен.всехэкстремумабсолютно74Гл.И.5.1.2.КлассическоеПравилорешения.1.ФормализоватьнеобходимыеLx(t)(решенияб)=°^-ftLx(t)+ТХо-TXl=3.Найти^^4.Доказать,экстремалей, илиНаборx(t0),x(t0))Lx(tux(ti),x(ti))порядка.правиловх\,функция—2пБольцазадаче2пДоказательствов%вместесо—идифференцируемая(t,x(t),x(t))eWI,1,••..х0п,>вn,уравненийfc1.0,=необходимыхкx\,•Эйлера.