Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 12

.,необходимыеGRm+1^2\i l>i(t0,x(t0),Лагранжа.множители—условия:Эйлера~XoLi(t)5<з).решения.1.Составить?концах.(з)щ—х(-)ограничениелокальныйдоставлятьответа5.4.2.to,такая,|toнанеравенство(#(•),(х(-),есличтотакое,которойдлявыполняетсяписатьчто(х(-),х(-),^'<0>задачех(-)еслиA)(#(•),в5ti),to,иизодин(з),вусловиятройкасуществуетбытьмогуткоторойввыполняютсяи(максимум)(#(•),рассматривается.закреплен.допустимаяесли—x(-)\\cl(A)тройкаtuнекоторуюслучаедопустимой<чтотройкиэтомtoот-подвиж-себяоназадача,другойВвариацивобщемвявляетсяаА.?являютсякоторомt\называетсяминимумR2),хОтметим,сGto,говорить,локальныйС1 (А)допустимой\ х(-)t\to,(з)подвижный,—(х(-),пространствеиt\наиt\to,включаетt\],toслучаемилиТройка[to,функция—классическогозадачиточкахж)ж,интегрированияотрезоквL(t,переменных,отрезках(-)Частнымзаданы.концовGтотm.A).

.,=задачирешениеи1,Lпростейшейконцыфункциюiчетырех—иследовательно,и,0,=отрезок,x\)t\,xo,исчисления,подвижнымиx(tx))tuконечныйi/ji(to,=отx(t0),заданный—=+X0Lx(t)=0;U,x(tx)),t\].5.§б)условияIгдезадачиЭлементарныепох\)U,ж0,х\^A^;(to,=85исчислениявариационноготрансверсальности/(t0,=классическогох\)\U,ж0,г=0в)условияJ^to0=-ХоШо)^t\to,постационарностиJ2 А»(^*о+feo^o))+О,=г=0тJ^tl0=A0L(ti)^+J] Ai(^itlфгхМг))+О=г=0(условияконцов).3.Найтидопустимыеявляющиесяв)выписываютсястационарностисбываетудобновторомотличнойфункциямиЛагранжаотдельноотрешенияЭйлера,уравненияудовлетворяющиеА,Аокон-подвижныхдлянеравнымПринулю.Ао0=единицеравнымб),условиямслучаиположить^Аоиэтомлюбойили0.Водругой,константе.нуля4.Найтиирассмотретьможнослучаее.т.экстремали,допустимымимножителейвекторомтолькорешениесредиэкстремалейдопустимыхиличтодоказать,нет.решенияПокажем,чтоправилосформулированорешенияДействительно,Лагранжа.принципомсоответствиивсЛагранжафункциюсоставим*im&{х(-),А)tbt0,AojL(t,=x)dtх,^2\i l>i(t0,+Цг=0Извытекаютпоусловияj?f(#(-),задачив).НаборАьАо,\тконцаотыскания5.4.1,поtk,кдоказательство=условия0, 1.точностьюнасЭйлерадотакжет+Необходимыеусловиянеобходимогот424+экстремумаконстанту,включаядваДлянеизвестных.условийтусловиявстационарностиВэкстремума.условиянауравнений:итрансверсальностиЛагранжаобразом,имееместьсодержит—умноженияТакимнеизвестных.тэкстремум,дифференциальМножителиинтегрирования,у25.4.3.приведемсопределеныextr—>усло-доставляющейрешениеуравнения—вытека-А)?ьto,необходимыевытекаютинтегрирования.содержатподвижныхихпорядкаБольца)j?f(x(-),тройки,константыследовательно,п.задача)x(ti)).tb(задачазадачиобщеевторого.

.,изДействительно,уравнениях(-)поаопределениядлянеизвестныедвеб),гладкаяполным.дифференциальногоextr—>а),условияусловийявляетсяA)t\,to,необходимыеto, t\ (элементарнаяx(t0),этомпунктедляпривеследующегоA)86Гл.частногослучаяИ.Классическоезадачис&(х(-),исчислениевариационноеt\)t0,концами:подвижнымидвумя\b(t,=x(t),x(t))dtextr;C)->*oОбщийслучайТеорема.?врассмотрен<%ПустьС1 (A),(t, x(t),Тогда,x(t))а)уравнение^(R3),eW(x(-),если8.1.3.п.СVtJt\)to,loc?LeC1^),L:^^R,?A,%extr^(ti,?тоз,б)условияНетрудно=?ipiвыполняются:Vte[to,U};Ьх(и)(х(%)чтовидеть,условиямФг(%))>~этиусловия1.0,=эквивалентнытрансверсальности5.4.2п.трансверсальностигсусловийучетомстационарностиt\.иЭйлераУравнение<R,трансверсальностиL(bi)to%^>ipi:?Эйлера-±Li(t)+Lx(t)=OпоR),x(-)фиксированныхвыполняетсякраевыхнасилуx(ti)=x(ti),iконцеправомнатрансверсальностип.теоремы2?функционалуэкстремумусловияхтрансверсальностиусловиявлокальныйтакжедоставляетлевомконце1.0,=точкев—ибопрификси-хДокажемусловиеДоказательствоtoпроводитсяt\.точкев—5.2.3,—аналогично.Рассмотрим=—=x(t)(f\(t\).t\+C(tПоto—^существуетto)ифункциюПоC(t\)=O0)x(t\)=конечномернойi/j(t\,(f\(t\)—отеоремедифференцируемаяx(ti,C(ti))и=ipi(ti);x(t,x(t\,i/jc(t\,функцийпеременныхдвухip(t\,условию,0.непрерывночтосемействооднопараметрическое—0.=С)Далее,неявнойфункциифункцияt\С)С)0)(п.—>C'(t\)этомпри=C(t\)==—=1.5.3)такая,(<?i(?i)--x(U))/(tx-to).ПоложимC(ti))dt.(x(-),Посколькутеореметочке(п.Фермаt\to,=t\,имеем2.1.3)t\)?locAf(t\)=O.extrз,тоt\Дифференцируя?locextrА.ОтсюдафункциюпоA(t\)теов5.§задачиЭлементарныеОL(U)=классическогоC\tx)\(Lx(t)(t+t0)-87исчислениявариационногоLi(t))+dt.чИнтегрируяповыражениесчастямCf(t\),дляучетомЭйлерауравненияполучаемусловиеивы-подставляянатрансверсальностиправомконце:(t-to)L&(t)L(ti=Лto/ /T5.4.4.^(х(-),Пример,Т)Ux2=-x+l)dt^>x@)extr;0.=оРешение.2.Функция1.НеобходимыеЛагранжа:условия:а)уравнениеб)условияЭйлерадля-±ЬА+LинтегрантаЬХА0BжО^=потрансверсальностиi*@)^(o),=ж2Л0ж@)в)условиеконца):подвижногостационарности?Т(Т)3.ЕслиЛоЛагранжахх=?2/4х(Т)(х(-),—С2.+С\1=0.+РешаяТэтуЛодифференциальногоэтогож@)имеемЛ=двасистему0,=то0.=0=1.подвиж-для1)+чтоПосколькуиж(Т)-следует,Положимрешениетольковсе—Тогдамножителиа)извытекает,уравнения:С2=уравнения:ж(Т)уравнений,находим,0.Дляопределе-=0иi;2(T)Тчто—2,=1.=4.В=C\t+б)изОбщеенеизвестныхCiтоЛ,Л0(х2(Т)^нулями.—1/2.=—определения—0,=оказалисьчто0=^(выписываемТХх@):=0;=по/-ТХ{Т)=2Х0х(Т)0;=терминанта=1):+х—1)+дляi (T)^^\q(x2=имеетсязадаче?2/4+Т)ф?,рассматриваемаяlocextr.единственнаядопустимаянаДействительно,[0,2].отрезкедляфункциихэкстремальПокажем,x(t)=t—=чтоt2/4Гл.И.Классическое-х+исчислениевариационноетТ)=\(х),\)dt=облизкихТ,Прикак=2,=3?(х(-),меньшеВозьмемТп)ТкТ),так—оопарппри3?(х(-),xn(t)большеипоследовательность—>Значит,+оо.—>3?(х(-),функционалазначения5minТ)бытьмогутТ).=TnОчевидно,t,=^(хп(-),тогдап;=оо.—#тахчто=+00.5.5.Необходимые5.5.1.высшихусловияпорядковидостаточныеБоголюбова.Теоремаусловия.ПростейшаяРассмотримзадача.простейшуюзадачуt\&{х(-))lb(t,=х)х,dtx(t0)inf;—>x(t\)х0,=(з)х\,=ч^L:гдеБудем^R,^^(R2n+1).едалеепредполагать,принадлежитклассу(з),экстремальт.е.БудемL±x(t)Прифункционалвида^0е[t0,VtU].t\],C2([to,?выполненоотносительноимеетвторуюеслиL±x(t)еслигладкости>Lинтегрантаточкевпроизводнуюэкстре-—Лежандра,Лежандра,условиемереRn)Эйлера.условиеусиленноеменьшейпоt\],уравнениех(-)надопущенияхS?х(-)ПустьиLинтегрантудовлетворяется[to,?наших0С2(^).чтоговорить,V>0х(-)начтох(-)следующего(Bx,x))dt,:t\U(Ax,=x) +2(Cx,x)+A)чA(t)где=La(t),B(t)ЭйлераУравнение(Ах[)=fСледует—)+Якобиуравнениемиметьв,адляC(t)=Ж,функционаладля-jtназываетсяLxx(t),=матрицыСх+т.+D=уравнение=О,назадачиЬх±чтоэтом,е.ВхисходнойдляпривидуС*х)Lx±(t).(g^j)^j=i=т:—тг^,\dxidxj/справедливох(-).экстремалиL±xi,j=\(Dx,=у)=5.§задачиЭлементарныеПустьх(-)наhрешениечтосвыполненох(-)наЯкоби,уравнениявыполненоt\)существует(to,(полуинтервалеh(r)=(усиленноеЯкоби0.=нетГоворят,Якоби),условиеt\])гнетривиальноеh(to)которогодляусловие(to,интервалееслиТочкаЛежандра.условиеto,точкек89исчислениявариационногоусиленноесопряженнойназываетсявклассическогоеслиточек,сопряженныхвторогопорядка,t0.ЯкобиУравнение(из-закотороелинейноеэто—усиленного(обычносH(to,условиямиH(to,полагаютсопряженнойвырожденной.toкto)Этотолькоитогда/).=можноH(t,to)Пустьпроизводной.ЯкобиуравненияЛежандра)условиявторойотносительноуравнениеH(to,0,=решениеto)чтокогдатогда,разрешитьматричное—Очевидно,аналитическоедаетto)невырожденаточкаH(r,матрицанаходитьсредствокоотно-гявляетсяto)являетсясопряженныеточки.<%ЕслиV=(строговыпуклавыпукла)(регулярен)квазирегулярен1.ТеоремаПустьLСъ(%).е=VнаЛежандразадаче(з).Для2.Ситочка,сильныйA)ЗадачаW-^условиязадабытьможетзадачаA(t)ис-граньБольца.то\b(t,х,х)R,^G^(R2n+1),Vtdt+l(x(t0),l:У^R,[to,равнаэкстремальминимум.Больцаx(t\))->inf,(з)Тогда,ti)—оо.допустимаяУt\].(to,интервалезадачезадачуинепрерывнаeабсолютныйдоставляетРассмотрим=0мат-причемВ>ввЯкоби,иA),видматрица*0L:допусти-—минимумимеетт.е.нижняяусловие&(х(-))гдех(-)усиленныевида=квазирегуляренэтомпридоставляетЯкоби,тоусиленноеединственна5.5.2.Rn)иудовлетворяютсяусловиесопряженнаясуществует,C4(W)e9/Пустьминимума.Lввыполненовыполненомини-которойнаЯкоби.(з) функционалдифференцируемы,условиеЛежандраПустьнепрерывноусиленноенеслабыйэкстремалью,ифункционаловТеоремавыполнено—минимума.гладкостидоставляетибытьt\],х(-)товы-Lконца.доиRn)C3([to,ех)х,интегрантусловиюсильногоквадратичныхисследованаАt\],должнакоторойЯкоби,иеслиC2([to,удовлетворяетинтегрантначтоговорят,слабогоLЛежандрах(-)L(t,->V.условияэкстремаль,матрицыех(-)еслитохусловия^(Rn+1),еV,GинтегрантусловияVфункцияи(t, x)нафункциятоДостаточныехRn,V.Тогда,допустимаяVх(-)Если(з),удовлетворяютсяминимум^(Rn+1)=Необходимые(з)задачевFRn,хестьЕсли90Гл.И.1.ТеоремаПустьt\],Rn)удовлетворяютсяЛежандраквадратичнаяР(х0,=РформаQ(x0,=xi)х\)HiДоусловиехх),xx)C(t)Якоби,(ж0,хх)\,-(C*(t0),-сHi(tj)условиемТогдаприудовлетворяютсяусиленныеЭйлера,Лежандраусловияопределена,х(-)тоИздесьх(-)чтоусловии,уравнениеC3([to,еЯкобидоставляетсильныйслучайх(-)на=удовуси-Qположительно(з).задачеминимумфункционаловквадратичных%квазирегуляренRn),трансверсальности,Р +формаииt\],условиеивыделимC4(W)e5ijl,=Пустьминимума.Lинтегрантx0),x0,Lxi(t),=сильного^(Rn+1),етоЗдесьxx)ЯкобиусловияVRn,?х(-)нанеотрицательна.(С*(и)хиуравнениястаточныехV.наL±±{t),решениетрансверсальности,то1.V=x0)=условияусиленноебытьHx(U)xx),+х(-)Если(з),x(t\))[(x0,+H{(t0)x{),+матричное3=0,г,l"(x(t0),=A{t)—должнаQ+(A(ti)(H0(ti)x0=(A(to)(Ho(to)xo-выполненоудовлетво-С2(У).минимумЭйлера,еслиминимума.IтерминантI GслабыйуравнениеаиС3(^),едоставляетЯкоби,иQРLислабогоусловияLинтегрантгладкостиусловиюС2([to,G(з)исчислениевариационноеНеобходимыезадачевудовлетворяютКлассическоевотдельнуютеорему.2.ТеоремаA)видимеетп.дифференцируемы,2G#о,+х\)Пусть,Тогда,инепрерывна,еслизадачивгдематрицадиф-непрерывнох\)(ахо,=матрицы—хо)+хпразмераусиленное(to,5.5.3.введеннаяQ,п.Лежандраусловиетеоремахквазирегулярностьне5.5.25.5.1,Иззрениявт.винтегрантыкоторойе.тожесамоевприсутствуетчтостеоретичесисчисленияегоинтегрантмычисленноенашихвквазирегуновариационногопроизводным,будетжечтозаметить,вытекает,задачахпоТамразличны:заменяяовыпуклениемимеетсямогтоминимума.условиях,теоремы10.§всильногоусловиянеобходимыхквазирегулярными:квазирегуляризацией,определена,доказаныдостаточныезна-Якобиусловиенеотрицательно0.будутВейерштрассанижеследующейсчитать=Читательифигурируетдостаточных.ух(-)тоточка;сопряженнаяусиленноевыше,естьпп.естьвыполненоБоголюбова.Теорематочкиt\)жеусловиенеобходимыеможноЕслиоо.необходимоепервоначальной.Си1(xq,^выполнено—экстремаль1, 2выведенозадачу,C,а,интервалеравноР +допустимаяТеоремытеоретическойАтерминантх\),того,функционалинтегральныйматрицы0.>значениепричем{ftx\,+кромеA(t)в5.5.1,Ва(з)задачеПустьквазирегу-получаемзначение,новуючтоиу5.§задачиЭлементарныеТеорема.9/ПустьL(t,тегрант,(см.анализаклассического•)х,&(х(-))хх)х,R—>dtL(t,н^ин-смыслевыпуклогох),x,x(t0)inf;—>непрерывный—(всопряженнаяфункцииlb(t,=9/L:вторая—3.1.2))п.O(R2n+1),?91исчислениявариационногоx(t\)х0,=(з)х\,=чзадачапростейшая—всL.интегрантомТогдачисленноезначениезадаче(t,x,x)db^mi\x(t0)x(t\)х0,=(з)х\,=*0совпадаетспоследовательностьпространствечисленнымх(-)функцииU])ИзсформулированнойзначениеТамфункции,равнокприменяетсяи5.6.Теория5.6.1.Поле,соx(t),интегралов,Подобныйметодпри-Гамильтона-Якоби.наклонаL(t,реше-Боголюбова.Уравнениефункцияпунктасходящаясязначениямизадачи.теоремыполя.жефункций,нулю,доказательствепричисленноетогонесуществованиязначениючисленномупространст-что6примерепричинойравнойтождественностремящимисях(-)последовательностьпостроенапослеввытекает,В—оо.явиласьбылажехп(-)любойдлятого,существует—>немедленно5.3п.Болеех\,=F(x(.))-=интегрантарешения.чтотеоремы2x(t\)хо,=&(xn(-))примереневыпуклостьx(to)такая,limивкt\]),{хп(')}п^\C([t0,(з).задачизначениемС1 ([to,?поляx(t))dt,^-функция.и<%L:Пусть->R,*0функционалестьпростейшейисчислениясемействаБудем[to,?окрестностьt\]}.чтотакая,C^G)^(г'С)Если?экстремалей.центральнымА,Hr>-rx(t>att=r0)Точкачтоговорят,(?*,полемх*)A:х(-)экстремалей.А<^^>=Rn),{(?,(?*,ж*),?)?этойизGА(г,А(т,=A),|t ?эту^),и:Gклас-А)=поля,х*всехдляполемсемействоRn,^наклона#(?*,поля,x(t,окрестности?).