Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 11

.,. .,n,условийодномернойдляL(t,условиясистемойэкст-Век-задачи.одномерному.множествооткрытое—вна%определенныйпроизводнымичастнымив=Z(#oi,=экстремума.интегрант,своимимножествоопределенныйнепрерывно%R—>i=редуцируетсяусловияПустьL:L/уравненийсистемыпунктетривиальнохп(-)),•,НеобходимыекасающейсяНеобходимые•1 переменных,i=следующемзадачивнестиследуетслучая.•=0,теоремы,проводитсяТеорема.дваодномернойкоторыевекторного+из(-l)kTXki,=случайимеютсядлязадающихсяLXi(tk)5.1.3.двесодержитконстантпеременных.состояттрансверсальности,экстремума,экстремумадифференциаль--решение(х\(-),=-^LXi(t)-\-LXi(t)условийобщеедлях(-)функция—векторнойлокальногорешенияБольца5.1.1п.хп).

.,экстрема-Эйлераизменения,задачи(з)задачех\\,. .,х\п)допустимыхэтихнеобходимыенарешенияПустьизопределенияправилаУкажемБольца.Эйлера,уравнениятрансверсальности.сформулировалиоткрытое0=x(ti)).решенияслабогоуравнениеЕгоДляусловия—-lXl(x(t0),однанахождениядлявторогоМы%?(*))нет.Действительно,уравнениеуравнениявx(t),трансверсальности.решенияконстанты.R3,Lx(t,+=являетсярешениемусловийнеизвестныепространстве5.1.1.п.=е.т.условиямчтополным.Векторный?(*))Lx(t0,концахчтопоказать,являетсяи(з)видуэкстремалями);экстремали,нахп,4t),называютсядопустимыеудовлетворяющие. .,ктрансверсальностиL±(t\)вL*(t,Эйлерауравненияусловиядифференциальноееепривестиусловия:Эйлерауравнение-jtт.е.задачу,2.Выписатьа)исчислениевариационноеR2,пространствеLx/:Удифференцируемыйнепрерывнона[to,Vte[to,ti]t\]R-^нафункциятакая,ипространсти(x(to),x(ti))ey.—непрерывныйиLx,терминант,х(-)У',чтоУ—непре-—5.§задачиЭлементарныеТогда,х(-)еслизадачеБольца,а)уравнениеб)условия<ДоказательствоА)слабыйL±(-)С1 ([to,Et\])локальныйи75исчислениявариационногодоставляеттовэкстремумвыполнены:ЭйлератрансверсальностиразобьемтеоремыОпределениеС1 ([to,?классическогонавариацииti]).х(-)Посколькунесколькопо?locextrx(t)+тоз,этапов.Лагранжу.функциях(-)Пустьодного?перемен-переменного:ц>(\)&(х(-)=Аж(-))+L(t,=toA_Ai?(t))+имеетэкстремумx(t)+ИзF[—Ао,Ао],по0,=знаком(р'@)^(ti)Ax(ti))x(t)Ax(t),L,х(-),х(-),L(t,=внекотором++наДействительно,нуле.[to,прямоугольникеизтеореме(Н,интеграла0.=Ax(to),A)+F(t,известнойпоФерматеоремеАвподl(x(to)дифференцируемазначит,дифференцировать+наложенныхнепрерывныи,+x(t)Положимгладкости,ip(\)F\иdt0.=условийфункциячтоследует,хприAi;(t)).функцииА\x(t),т.Дифференцируяанализа2,с.107).функциюt\]Но(ртогдаполагаяиполучаем/ а\&{х{-)тАж(-))+Такимобразом,8%Больцаиdef?х(*)ж(*))<Й+вычислилимычтовыяснили,Га.0а;(*о)+Гх1а;(*1)=0+функционаласлабогоусловиемх(-)вA)Лагранжуповариациюнеобходимымфункционалаэтогоэкстремума&{х{-))-)аг(*)являетсялокальногоравенствоегонулювариации.Б)функцииЛеммаао(-)Д юбуа-Реймона.иct\(')Пустьинепрерывны,х(-),функциидифференцируемойдляпустьдлякоторойнах(to)[to,отрезкелюбой=x(t\)=0,*0функцияа\(-)непрерывнодифференцируемаt\]непрерывноравенствоТогдаxможноивыполненофункдиффе-76Гл.И.Возьмем<\<\p(t)dtКлассическоер(-)функцию\a\(t)dt.=исчислениевариационноеТогдаС1 ([to,Gлюбойдляt\])p(t)чтотакую,GC'([to,х(-)функцииao(t)=иt\]),дляччx(to)которойx(t\)=0,=полеммыусловиювыполнятьсядолжноравенство0=to[(ai(t)i;(t)+ao(t)?(t))dt[ai(t)i;(t)=dtt)dt.B)tot0Выберемx(to)x(-)функцию0.=ТогдавC^^o,Gвыборасилуti])x(t)чтотакую,р(-)функцииai(t)=—p(t),tlt!x(ti)[x(t)dt==[(ai(t)ччЗначит,х(-)функциидляx(-)=-p(t))dtO.=выполнятьсядолжноB),равенствоti(^i(t)т.е.p(t)J—dt0.=Изсоотношенияпоследнегочтоследует,toai(t)=p(t),aiOeC^o,т.е.В)ЗавершениефункцийхСледовательно,Cb([t0,ех(-){х(-)функцииU})A)изax(t)~=ao(t)=СЧ[^о,Gеti]),C\[to,аti])0.=»A)Равенстводоказательства.любойдля*i]),изначит,| x(t0)x(tx)=выполняетсяфунк-всехдля=0}.Следова-чтовытекает,ti\(Li(t)x(t)+Lx(t)x(t))dtOVx(-)С1 ([to,ti])=eCb([t0,ti]).toПолеммеLx(-)Дюбуа-РеймонаGи-±Li(t)+Lx(t)=O.C)Интегрируяпочастямв*равенствеЬ^{-)включениядоказанногоj(Lx(t^\ )-)=^Ы*)Ы*)dt(Lx(ti)+TXl)x(ti)€A)С1 ([to,+(оносталоt\}))ивозможнымC),учитываясилувполучимx(t)Li(t)\ TXox(to)++(-?i(«o)+Гао)а:(*о)=ОD)5.§задачиЭлементарныеD)Подставляявктрансверсальностиусловиямчтоинойили=tLx(t\)этапатриx(t)ииt\,——lXl.=придем>доказательствавстречатьсяклассическоготеоремto—1Хо=этиформеt=Lx(to)Отметим,тойвдругихx(t)11исчислениявариационногопоследовательноЗамечание.будутклассическоготеоремыидоказательствеприисчислениявариационногодру-оптимальногоиуправления.5.1.4.Пример.|(±2-ж),=о2.Необходимыеусловия:а)уравнениеЭйлераб)условия—Lx—at0=2х<^>1+0;=трансверсальностиLA@)Li(l)1ф),=3.Общеерешениеусловий-lx{{)=х{0)^x(t)имеетсяединственная4.Покажем,Действительно,допустимаячтоонаh(-)еслиt\]),3/4.=x(t)экстремальС1 ([to,?C\t+С2абсолютныйдоставляет-хA).=—12/4==0,Ciчтонаходим,хA)0,=Эйлера:уравнениятрансверсальностиобразом,Lx+=+ТакимИзоб-C —12)/4.вминимумС2.задаче.то111ЗГ(х(-)+/*(•))-Интегрируяпо«^(ж(.))ЬхКdt=частями)[A2+2xhC —12)/4,=получимidt+Jо+ж(?)чтоучитывая,=-lhdtdt01l\h+dtH2x(\)h(\)-12/+x(t)Ответ.5.2.Простейшая0t2)/4(з-=0.J0abseS'mmin,=axклассическогозадача+00.исчис-вариационногоисчисления.5.2.1.ПостановказадачавС1 ([to,U})задачейПростейшейзадачи.исчислениявариационногоназывается(илив&(х(-))КС1([t0,\b(t,=следующаяU})):x(t),x(t))dtчx(to)=xq,x(t\)=x\.классическогоэкстремальная-^extr;C)за-78Гл.И.LЗдесьрантом.GL(t,=Классическоех)х,ЭкстремумС1 ([to,t\]),условиямфункция—втрехзадаченаусловиямx(t\)xq,=называемаяпеременных,рассматриваетсяудовлетворяющихx(to)исчислениевариационноефункцийконцах,илифункциитакиех\\=интег-средих(-)?краевымдопусти-называютсядопустимыми.Будемчтоговорить,локальный(locфункцииз),maxеслислабымсопринадлежащих>0чтоЯсно,чтодоставляетнеобходимое—х(-)\\одостаточнымусловием5.2.2.условиямнаКС1([to,еслих(-)функцииКС1?концах.t\])дос-существует([to,t\]),неравенствоt\])сильный,доставляеттодо-необхо-необходимымявляетсяонафункцийтакихдлясильногоусловие?(максимум),экстремумадостаточноех(-),функцийкусочно-непрерывнох(-)ПоэтомуслабогоаС1 ([to,?экстремум.условиесильного,средидопустимой5, выполняетсяэтомрассматриваетсясредифункция<х(-)еслислабыйит.е.минимумис-Прикоторыхищетсяудовлетворяющихлюбойдля\ х(-)t\]),допустимаялокальныйтакое,которойнеравенствоэкстремум.на(з)([to,функций,чтоговорить,сильныйдоставляет5КС1классуусловиемявляетсяэкстремумадоста-слабого.Правилорешения.1.Формализоватьт.е.задачу,2.Выписатьнеобходимоееепривестиусловиек(з)Эйлера:видууравнение—п.5.2.1.~Li(t)+Lx(t)=O.3.Найтидопустимыеявляющиеся4.Доказать,экстремалей, илиЭтожа.чтоявляетсярешениемчторешенияЭйлера,уравненияэтоизоднадопустимыхэкстрема-нет.решениявнаходитсяправилое.функциями.показать,Покажемт.экстремали,допустимымиполномсоответствиисЛагран-принципомсоответствие.1.ФункцияЛагранжа(з)задачиимеетвид*i??=Lo(t,Аох,х)dti ox(to)++i \x(t\).*о2.Необходимыенеобходимымиусловияусловиямивэкстремумаэкстремумазвариационномфункций,задачеminдопустимойвыполняетсясильныйвloc?любойклассическомвклассЭкстремумх(-)для5,<рассматривается2Г.дифференцируемыхБудем—х(')\ \слабыйдоставляетписатьичтотакое,экстремумомрасширяетсяфункционал(з),задачеО>\ х(-)традиционнонесколькодля5которойдляНарядуисчислениивсуществуетх(-),х(-)функциядопустимая(максимум)минимумвзадаче??задачеБольцаextr—>изаписываютсяявляются5.§задачиЭлементарныеклассическогообразом:следующимАо(-|4.3,[ikЕслиЛок0,=ЛагранжаЭйлера,0,=равныанамввыбратьНаборнихДлячтоэтихконстанткуравнениювоз-даюти/ioдопустимыекото-/i ,экстремалинет.являетсяэкстремалиуравнениевторогонеизвестныеимеютсядвавсегочащемножителионирешениядвесодержитобразом,всеприходимдопустимойдифференциальное—решениеТакимконцах.найтипоказать,нахожденияобщееинеинформативны,ЛагранжаОсталосьилиЭйлераопределениянанужны.дляЕго1=нерешениеусловийУравнениепорядка.Лочтоследует,чтотому,множителинепринципео,трансверсальностинеизвестныеизполным.условийизтрансверсальностиотыскатькоторые?*(*))=+противоречитПолагаемнулю.условия?*(*)тоЭто1.О,=возможностьи79исчислениявариационногоконстанты.уравненияусловия—допустимаяединст-экстремальединственна.Мысформулировалиправилоклассическогозадачинеобходимыеизменениявх\,хп,.

.,условия(з)задачехп). .,простейшейвпростейшейУкажемнеобходи-наслучая.х(-)5.2.1п.—одномернойдляисчисления.векторногодляПустьрешениявариационного2пфункциявекторной(х\(-),=хп(-)),. .,L1 переменных.+x\,НеобходимыесостоятзадачеL(t,=из..усло-уравненийсистемыЭйлера-^LA.(t)Доказательствоодномерном5.2.3.К3,в%L:%%ПустьR—>вместесосвоими(?, x(t),чтоx(t))Тогда,еслизадачепростейшейLx(-)С1 ([to,Еt\])х(-)Vte[t0,<\п.Рассуждаем5.1.3.VAфункцияGlocextrGзR.следует,х(-)чтов%5.2.3в[to,t\]функциялокальный+(р(Х)OGlocextr^.х(-)—такая,^i])-тоЭйлераLx{t)=O.кактому,Тогда=вэкстремумисчисления,уравнениеCq([?o,пространст-непрерывныйиЬ%,иLxаналогичноПоложимп.редуцируется.вариационноговыполненоGнемунаслабыйклассическогосовершенноПустькti].-±L±(t)ввпроведемотрезкедоставляети5.1.3,множествона%п..

.,определенныйпроизводнымичастнымиeI,экстремума.дифференцируемаянепрерывноп.открытое—интегрант,—вi=тривиальноусловиеТеорема.пространствеивекторныйНеобходимое0,=кактеоремы,ибослучае,Lx.(t)+^(х(-)х(-)++Хх(-)).ПользуясьмыХх(-)рассуждалидопустимая—Изусловиядифференцируе-х(-)G80Гл.И.функциимостьюизвср5.1.3,п.Классическоеисчислениевариационноеинулевыражениемфункционалавариациидляполучаем»,х(-))\(Lx(t)x(t)=Lx(t)x(t))+dtO=*0ИзДюбуа-РеймонаЭйлера.леммывыполненоуравнение5.2.4.ИнтегралыL(t,Эйлерах)х,=независит1.ЕслиявнокболеекуравнениюLсводится2.Еслиt\]),ивы-=изLинтегрантпеременных,тоуравнениетоуравнение=уравнениям.L(t,x)L(t,Lx(t)x)=LинтегрантинтегралоднойотпростыминтегрантЭйлераС1 ([to,GЕслиЭйлера.уравнениясводитсяLx(-)чтоследует,>независитявноотх,0.=независитявнооттох,имеетместоимеетместоимпульсаLx(t)3.ЕслиLинтегрантинтегралL(x,=(обаэнергииconst.=x)неназваниязависитявноt,отвзятыинтеграловтоклассическойизмеханики)xLx(t)5.3.ВПримеры.соотношенияэтоммеждупримерахрассмотримпростейшейрешениямииразличныеклассическогозадачива-экстремалями.(допустимая1Примерэкстремальиединственнасуществует,экстремум).глобальныйдоставляетconst.=напунктеисчислениявариационногоL(t)—2dt^inf;ж@)=0,хA)1.=о2.УравнениеЭйлера:3.Общееэкстремаль:C\tC^.+Единственнаяглобальныйдоставляетх(-)пустьх(-)=0.=допустимаяэкстре-t.=4.ЭкстремальМ-)хрешение:хДействительно,х=-е?(¦)еС1([0,1]),С^([0,1])=вминимумх@)0,=[z(-)х(\)С1([0,е1.=Действи-задаче.Тогда1]) | *@)=^A)=1ilЗГ(х(-))=&(х(-)+/*(•))=J(1 +hfdt=Jdt 2j/i+dtJ/i2+0001dt=0},5.§задачиЭлементарныеВэтомпримерахслабый,доставляетэкстремальнонеЬ3 dtx@)inf;—>единственна,существует,экстремума).сильногодоставляетх(\)0,=Вобразом.осложнения.различные(допустимая2Примерблагополучнымсамымвстречаются81исчислениявариационногообстоитвсепримередальнейшихклассического1.=о2.УравнениеЭйлера:3.Общееэкстремаль:Зх2<^>х4.ЭкстремальCit=С2.+<^>хЕдинственнаяслабыйдоставляетh(-)пусть1]).Cq([0,econst.=допустимаяэкстре-локальный1fAAK+d*k=1t+lh2(:3md;0Отсюдачтовидно,h(-))+Покажем,что| /i(-)||iх(-)если&(х(-)),ж(-)^е.т.неДействи-минимум.Тогда1i=^(ж(-)С=t.=Действительно,0=cutрешение:хЗх2—loc1h(t)3 +то0>значит,и,min.сильногодоставляет=03,<еh)dt3 +Рассмотримэкстремума.функцийпоследовательность-Vi,t 6[0,l/n),t9n(t)0,t=eпонять,^оо.Положимхп(-){хп(-)},функцийС([0,вhn@)что1])1/2],/in(t)\gn(j)dr,2,>n6A/2,1].*Легко[l/n,=hn(\)=ж(-)=+которыхдля0=hn(-).хп@)| ftn(*)lloиПолучим0,=0—>п^ПРИпоследовательностьжпA)жп(«)1,=ж(-)—>и111/п00ОоQ|/\+—n1/25т1пт.е.3В.М.Алексеев(экстремаль)d?существует,ноэкстремум,функцией).6n-v/n/=—л/п0A)+-^—ооприп—>оо,-00.=Примерглобальный—=идр.неявляетсяединственна,непрерывнодоставляетдифференцируемойгло-82Гл.И.Классическоеисчислениевариационное11.&(х(-))\t2/3x2=dtx@)inf;->хA)О,=(пример1=Гиль-оберта).2.Уравнение3.ОбщеехCit1/3=наусловиям4.Ясно,что^ С([0,глобальный1]).х(-),функцийвS?интеграл=являетсятемзадачеС=^^хЕдинственнаяxС1([0,классачтоменее,она1]),доставляетабсолютновсехкраевымCt~2^.=экстремаль,tx^.функциейнесредиудовлетворяющихнепрерывныхусловиям,ин-которыхдляДействительно,конечен.МО)даже|*2/3=(решения4ПримерсуществуетC^.+Покажемминимумt2^x^^концах:неэкстремальх(-)как0=atрешение:удовлетворяющаятак^-B?2/3ж)Эйлера:допустимойизадачиабсолютносрединеэкстремалисуще-функций).непрерывных11.3?(х(-))\t2x2=dtx@)inf;—>х(\)0,=(пример1=Вейер-штрасса).2.УравнениеЭйлера:3.Общееж@)условию4.Очевидно,х(-)ntjarctg0,=3?{х(-))0=C\/t+несуществует.HПокажем,0.>Рассмотримнулю.=ЗГ(х(-))чтофункции=хрешение:краевомуBt2i;)—С2.и=С<^>Экстремали,чтохC/t2.=удовлетворяющейлюбойдляабсолютнонижняяпоследовательностьarctgt2x<^>непрерывнойвграньзадачеравнаxn(t)функцийдопустимых/п111dtAи01/nnJarctg2n2t2J+5(допустимаяэкстремума).Примернедоставляетarctg2экстремальnJ n2t2aarctg2nноединственна,существует,Зтг/211.t-SТ(т(Л)—\JU\\JU<JUJJJ\(г2—T2)dtJх+—>UjvtгГО")inf1111,—Jb\\JJ02.УравнениеЭйлера:3.Общееэкстремаль:=Имеемn.хрешение:х=0.=C\x=sint0.+C2cost.Единственнаядопустимая5.§4.задачиЭлементарныеРассмотримОчевидно,вС1 ([0,классическогочтохпЗтг/2]),функциидопустимые—нопринеобходимое,нообсуждениюэтогоВ5,примеранев-sin—.—>х(-)О=0-частности,чтовидно,достаточноеусловиевпримеразаключениеи=этомгтAИзxn(t)хп(-)функцийпоследовательность83исчислениявариационногоЭйлерауравнениеМыэкстремума.необхо-—обсуж-квернемся5.7.п.ещеприведемважныйодиннетгдезадачи,примеррешения.6.Пример1&(х('))J@=±2f~x2)+dtх(°)->inf'х({)°'=°-=оНижняяфункционалаграньдостаточноэтом,функцийКС1изздесьравнарассмотреть([0,Чтобынулю.убедитьсявпоследовательностьминимизирующую1]):txn{t)2imrsinsign=dr,n1, 2,=..охп(-)Функцииисключениемравномерноконечногокстремятсячислаточек,нулю,3?(хп(-))т.е.и|жп(?)|—>0.Сто3?(х(-))1,=задругойисклю-стороны,1xo(t)если0,=3?(хо(-))тоI=аx(t)еслиф 0,\х2^dt>о>0.однойТакимобразом,чтовпричины5.5.3С1инаводятнамысльговоря,исследоватьрешениявОтсутствиеимеетсяп.б*не«своем»вдалеерешения(обсуждение9.10ви9.11;об5объясняетсяпримереточка(обэтомзадачинегладкости4примере3примеровЛежандраусловиитем,см.п.5.6).связана4исм.чтонаОивообщеследует,жевпрост-даннойзадачурешения(см.—оочтоПричинаотсутствияЛежандразадачахчтопространстве.ипримереусловияравноестественнымиГильберта),отпримерах.объясняется—оо,3 показывает,дляПримерявляютсявравнотождественноБоголюбова).(идущуюэтомсопряженная5.5.3.нанидостигаетсярассмотренныхзадачиинтегрантаКС1нарушениемвзначениетеорему—пространствапродолжаетсячисленноеовыпуклениеп.нерешенийотсутствия2примеречтотем,далеефункционалаграньфункции.допустимойРаскроемТо,нижняяпримереспродол-5.5).п.экстремали6см.84Гл.И.5.4.Задачи5.4.1.сКлассическоеподвижнымиконцами.ПостановканазываетсяисчислениевариационноеЗадачейзадачи.взадачаследующаяподвижнымисС1 (А)пространстве(t, x(t),x(t))dtifo(t0,+x(t0),на-концамиR2:хx(tx))tu-(з)Фг(Ь0,AЗдесьipiaтрех,отличиевариационногоБольцазадачих(-)ЗначенияфункциинеtoС1 (A),БудемслабыйПриt\)intA,будемt\)to,будеттакжевыписыванииto,что(з)вПравилоt\)t\)GGlocminlocзextrз,to,t\)доставляет(впространст-любойдля<другой\t\ —1\\5,(locmaxтолюбаядопустимая[to,нах(-)задаватьt\]совпадаетПоэтомуэкстремум.достаточнотолькопри[to,наЛагранжа:функцию*im&{х(-),А)U,t0,jA0L(t,=х,x)dt+t0г=0Агде=(Ao,2.Выписатьа)уравнениеAi,Am).