Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 13

ФункциячтоRn+1черезARn,—>се-параметромпроходящаяцентральнымцентромсx(t))функциейокруженаизэкстремалей=(г,называетсяточканазываетсяt\],Г^графикаточки?='такаясуществуеттоА)функционалаС1 ([to,полемфункциях(т,что?семейства,существуеттакая,—А)экстремальТочнее,классаокруженаGлюбойдляединственнаяточку.х(-,х(-)чтосуществуетимеетсяА)},ис-вариационногоэтогоэкстремаль{#(-,говорить,классическогозадачинекоторая—экстремалейеслиАх(-)иэкстре-x(t,A)—92Гл.И.Классическое1<Ж(х(-))Пример.исчислениевариационное=г(х2-2х2)—(гармоническийdtосциллятор).ооЭкстремалиСовокупностьt.экстремалейполесx(t)?),экстремальи(т,поляполя,0 <Rn)окружить(центральным)Ах(-,экстремалей=x(t*)А),А,+экстремалитоПустьфункционаласопряженные??.ВобПодробнеебудетLр(т,гдеи(т,х(-))Оговоря,см.,A)=экстренадорешить[1,внапример,67].с.х(-)экстремаль?)),x(t,A(r,(приуказанныхSО),Н(т,О=х(-,полявышефункции?, и(т,?)))dt.А).надопущенияхимеетвид(р(т,О,u(t,О)Цт,~?,0).Ввышерассмотренномтамвведенного5.6.2.ОсновнаяфункциейназовемГеометрическийх')таков:(оизначением{;)осцилляторе)=пf(x')=Пустьf(x)-(f(x),х'аффиннойхг)—Rn/.Геометриче--^R—-х)A)соответствующей<?(#,/:Функциюпеременных.-для-yctgr.Вейерштрасса.Вейерштрасса,смысл/S(r,поляформулафункция?{х,(гармоническомпримерецентральногодифференцируемаязначениемпересеченияИначецентральногодифференциалLi(T,=A(r,чтодоказано,иэкстре-x(t*,окружающееS-функциейназываютгладкостьполеA) =x(U),точкиэтомполе,центральноеп=\.близких»Положимфункцию10.3.1п.этосемейства.(?, x(t,Эту?можноприцентральноеx(t*,—полученного0.х(-)точкирассмотретьточки=x(-)«бесконечноусловиям—=выполненыиэкстремальпересеченияеслиименно,x\(t,А)х(-, А)уравненияточкаудовлетворяющееогибающейсэто—?)($f),Се3?сопряженнойсмыслточкаи(т,экстремалей.полемгеометрическийСопряженнаяэкстремалей.Lтовычислитьобразом,еслиЯкоби,иэкстремальифункционалаэкстремальнаклонавзятьТакимчточастности,Функция^sint/sinr),т.доказано,центральноевтг.надо(т.е.точкеестьt <<C\sint-\-=включающее,0?)вЛежандраусловияОтметим(г,экстремалиусиленныеAsint=так:точку—А)вычисляетсятг,будетt\],точкеx(t)видполосучерез10.3.1C3([to,<гэтойп.x(t,@,0),покрывающеепроходящуюВимеютвцентром0,=производнуюGфункционалаэкстремалейэтогоэтофункции,вразностькасательнойх'точкекграфикумежду/5.§взадачиЭлементарныеточкеОтсюдах.классическогочтоясно,чтопоказать,LПустьклассическогох,х)и,L(t,=функциейназываетсяA)сопоставленияхфункцииИз(Iх)L(t,и—>видно,х),х,Lt,х,х)и,(п.х,и)х,-,-,)х,—играюткласси-задачи(LA(t,-ИзВейерштрассафунк-(регулярность)инте-х^и)) eV,Пустьэкстремальх(-,экстремалейЛ)которойх(-)иврасположенx(to)этомприх(-)КС1GRn)малойx(t\)=полемx(t\).экстрема-функция,графиканекоторая—GR2n.(u,x)центральнымt\],достаточноx(to),=окружена([to,(Г)сопоставле-чтотому,0,>и)-параметров.равносильнах)х&.квазирегулярностьи,и),х,функционалафункцияроль5.5.1)(?(t,0>хL(t,-чтоследует,Vобластивх)t,гдепростейшейФункциях,ВейерштрассачтоSit,сказанногогранта2Гисчисления.вариационногоSit,\/x,xfeRn.иобратное.функционалаверноинтегрант—товыпукла,xf)^0g{x,Можно/если93исчислениявариационногоокрестностиграфикГ^,иТогдаd(p(t,+x(t)),x(t)})dtd^J(L(t,x(t),x(t))-(P(t,ад,ад)*o(P(t,-ад),ад)+dtОтсюдач-fdS(t,=f(L(t,x(t),u(t,x(t)),Lr.it,x(t))x(t))L{t,-x(t),u(t,*o*o(ж--x(t),u(t,x(t)))})dt=t\\g(t,=x(t),u(t,x(t)),x{t))dt.*oЭтуВx(t)формулу=0,вышеto-))<=примереi| (x2(t)Вейерштрасса.осцилляторе)длятождествополучаемтгформулой(гармоническомосновнойназываютрассмотренном-x2(t))dt=\\(x(t)-ctg(t+e)x{t)fdt,94Гл.И.местоимеющее=ж(Tq)5.6.3.еслитолькох(-)функциигнастолькоКС1То?чтомало,Гамильтона-Якоби.Уравнениефункционал,([to,+в5.6.1,п.сt\]),<ерегулярнымх@)=тг.Якоби.ТеоремаопределенныйТогдаисчислениевариационноелюбойдля0,=Классическое??Пусть—L.интегрантомсоотношенияp(t,-H{t,вполученныеФенхеляфункцииобладаеттемx)свойством,x))х),it,x,Жчтоx),u(t,x)},Лежандра-Юнга-pit,x,x))Hit,=Ноx).удовлетворяетit,Жобозначиммыкоторуюполяцентральногох)),(pit,-преобразованиечтоLit,—>u(t,х,u(t,x,означают,х^-функциячтоLx(t,=Lit,=5.6.1,п.х)x,этор),значит,уравнениюotЭтоназываетсяуравнениеуравнениюудовлетворяютобязательно(неполямВЯкобисокрестноститочкидругимобщегонахожденияуравненияПустьGaпараметра(to,xo)осцилляторе)урав-видинтегрированияЯкоби.от(гармоническомпримереметодпомощьюТеоремазависящееЭтомупопостроенныеприобретаетпринадлежитЭйлера^-функции,центральным).вышерассмотренномГамильтона-ЯкобиуравнениеГамильтона-Якоби.уравнениеммногиеуравненияS(t,функцийсемействоRn,решенияГамильтона-Якоби.удовлетворяета),х,некоторойвзави-окрест-Гамильтона-ЯкобиуравнениюotуохдлязначенийвсехЕслиSфункциянекоторойVокрестностиdetфокрестностипредставляютвЭйлераВполныйТогданекоторой[2,Сd2SR2n+1внекоторой(to,точки0,точкиокрестностидифференцируеманепрерывнотовao)xq,иtoобщееац.некото-этомприSaсоотношенияточкиокрестностис.вэтойC представля-=решениеуравнения95].вышерассмотренноминтегралапараметрадваждыуравненияпримереГамильтона-Якоби(гармоническомосцилляторе)ввидеSищем=git)+f(x).5.§ИззадачиЭлементарныеуравненияSa=/3iu(//9o7nkjМы5.7.)решениеLL±xрешение•здесьЯкобисТочкиТ0<02 >/i@)кОтвет.Изt/sinточканулюToдопустимыеSmin2absmin;0нульToэтоТо<Csint,=0.0.=тг.x(t)тотг,ТоПри—00.=x(t)видАфsin?—еслиSm[nтотг,имеютэкстремаличтоследует,>уравненияAsint,=toточке5.5.1п.еслиУравнениеhуравнениянули—cost.выполнено,h(t)естьсопряженная—теоремыGфточкойссопряженныеh@)C2+РешениеЭйлера.0;=0.=Якоби.условияуравнениемхsintЛежандравыполнимостьсусловиямиБлижайшаяsinПроверимС\=Условиеусловия.+хж(?)Эйлера:уравнения0.Эйлерауравнение—совпадает—0х(Т0)=?,х2.—достаточные=Якобих2=условие4.Применимибож@)=0,1.2.Необходимое3.Общее^7)+осциллятор).Решение.?(?sin1.(гармонический0С=Эйлера.уравнения2-rVt^inf;=хПримеры.Пример=95исчислениявариационногополучаемобщееполучиликлассического=#mm==тг,?0;при=-00.=2.Примерт0{ х\^2+dtB%\%2)+extr;-^гРешение.1.условиеХ\3.Общее+chС2t +сматрицасистемойQcost,достаточныеАуравнений=I"х'[=ВЭйлера.tsht"Х2t +x\(t)C2cht—sintsintC3Лежандра0)возьмемC\sht-\C4=sint—выполнено,ЯкобиуравненийH(t,—#2-=Эйлера:shкачествеshЭйлераХ\,=Системаединичная.2ж1Ж2.Условиеусловия.—+уравненийуравненийCiX2(t)ж|+=^Х\=системырешениеsint +С3Х2i;2=система—Х2,=4.ПрименимибоLИнтегрант:2.Необходимое=1,2.совпадаетматрицуcost.96Гл.И.ПриКлассическоеисчислениевариационноеэтомdeti/(O,10)Сопряженные1точки:Ответ.гТоПридоставляющаяабсолютныйтребуетдополнительного1<-1kkir,=0)-2=единственнаяТоприминимум;sht sint.N.eсуществуеттгH(t,det0,=достав-экстремаль,>Sm-mтг5тахисследования,Случай—оо.=Тотг=оо.=3.Примертг/2JРешение.2.1.НеобходимыеЭйлерарешениеДопустимыес^/3—=0>Gс0=с/г-i(тг/2)0,=h=Рформатого,иформакраевыми1-\-QположительноявляетсяО2-G-Ответ.а=0иcost.еслиэкстремалей,Эйлера./io(tt/2)урав-/io(O)0,=/iqфункцииявляютсяЛежандраквазирегулярен.Решением/11cost,==sint.=вид2/30>априопределеннойа/3иприG—0<аIJ—илиа>О,>О<0.а/3иа/3Lусловиямиопределенаа>0>=условиеуравнениемимеетнеотрицательноа/3+C20;+ж(?)тоинтегрант27-2неsintдопустимыхУсиленноеболеесовпадаетКвадратичнаяЭтаC\=ф 0,су/3—условия.и,h +/м@)IJ—семействополучаетсявыполнено,Якобииx(t)Эйлера:еслитоЯкоби1ах2@)=0;=достаточныеУравнениеуравнения/терминант:параметра.4.Применим2журавнения0,=отзависящее=х2;—ж:экстремали:IJLxx+хпо3.Общее—х2=условия:а)уравнениеб)трансверсальностьGLИнтегрант:-G-—IJG<—0J1или0>x(t)=^0<а=О Gabsmin;^locextr;x(t)=>Sm-in=—00;а>0требуетсяиа/3-G-1Jдополнительное=0исследование.илиа=0иа/3-G-IJ>0=>5.§задачиЭлементарныеклассического97исчислениявариационногоЗадачиРешить5.1-5.7.Больцазадачи15.1.Jx2d?о15.2.J(i;2+х2)5.3.[(i:2+х2dt2х(-1) sh( 1)extr.->оАхsinж2)dt-t)dt2ж2(О)+2ж(тг)+ж2(тг)--^extr.отг/25.4.[(х2о5.5.(Р)0[ (х2+аж2(Т0)+extr.-^15.6.JUxxi(l 0)ж2A)+Ж1A)ж2@)lt +^extr.0e5.7.iВ|2i;(txx)dt++5.

8-5.10Больцазадачах-3.2A)найтидопустимыеэкстремали.3J4i5.8.:Vdtx4@)-8xC)^extr.+0l5.9.J\exx2 dt4еж(°<+>+32e")dt+x^extr.—>0l5.10.0[e *+\x2Решитьпростейшие5.11-5.ния2x2+задачи2,x(\)(x@)[классического==1,+1)iJ\i :2dt—>Ж@)extr;жA)=0.05.12.0[,dtут*ж@)extr*0,=х(Т0)=?.l5.13.07B.M.Алексеев[( x-x2)dt^идр.extr;х@)extr.вариационного,80.5.11.-^>=хA)=0.исчисле-98Гл.КлассическоеП.5.14.[(х2х)dt->extr;х@)to)dt->extr;ж(О)-исчислениевариационноех(Т0)О,=?.=о15.15.\(х2+x(l)=О.=о1Ut2x5.16.х1)-dtж(О)extr;->жA)=О.=05.17.\x3dt^ж(О)extr;ж(Т0)О,=?.=о3/25.18.[(i;32х)+dtх(О)extr;-^жГ|)О,=о1.=г05.19.[(ж3х2)dt->extr;ж(О)х2)dt-^extr;х@)-=О,ж(Т0)=0,ж(Т0)^=о5.20.[(ж3+С=о\tx25.21.dt^жA)=0,extr;ж(е)1.=115.22.[(l+t)i;2dt^extr;x@)x(l)0,=1.=о5.23.[(to22x)+dtx(\)extr;->x(e)1,=0.=le5.24.Uxto2)-dtжA)extr;->ж(е)1,=2.=25.25.\t2x2dtжA)extr;->жB)3,=1.=з5.26.[(t2l)i;2dt-xB)extr;-^жC)0,=1.=2e5.27.\Bx-\x2x2dt5.28.оt2x2)->dtextr;-+x(l)extr;ж@)=1,ж(е)e,=x(l)=y/2.=О.5.§задачиЭлементарныеклассического99исчислениявариационного4/3(P)5.