Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 4

-Аат.е.степеньюbитен-Ап.=векторыбазису,A.140)A.141)всегдаможнопредставитьраз-видевсуммыбазиса:вектороваАт.•вообщеичтоследует,диадномуВт=А3,=ис-многократноранга:В)т•тензоратензоры:А-А-АA.127)илюбомупоразложитьдиадкубомА2,=следующие(Аследующие55второгоАта,=тензора,АтензораявляютсятензорамисаАполейтензорныхРанееA*jматрицыR,0a'bjR1'=Rj.0A.142)тензора§1.1вa'VR,-=былопонятиевведеноОпределение1.23.детерминантДетерминантомТкаком-либотензорасмешанныхего(определителя)детерминантаA.8).формулеповзятыхкомпонент,вназываютба-базисе:detT=det{Tij).Детерминанттого,пустькакомR,-ибазисеименнодвеимеетсябазисамиопределенныйтензора,вRJ-,aTXjиспользуя1.4.6),свойствосистемыRj0Т=T1) RJ0преобразованияправила(P'fc)detdetинвариантностибазисабазисах:этихвR'>,A.144)компонент(здесьиспользованы(см.тензорат.е.представитьсdetT=)=помощью^к€тп1ГтТ\Т)(T'fdetупр.1.1.6,длявыражение)A.145)егонезависимостирезультатыA.39),формулутеперьможно{T'f(Q'j)detдетерминанта,координатИспользуятензораТ1)К{=деле,локальнымистензорасамомполучаем=-компоненты-XйиотзависитнеВTlj.XхкоординатT'jиобразом,такимкомпонентывзятысистемыТтогда,упр.A.143)1.1.7).детерминантаЛеви-Чивиты:символов.A.146)отГлава56дополнениемАлгебраическимЛ,тматрицуВычислимфаТгатот,или/.ссимметричной€ijk\^ь^п1Т^Ткг=называютмат-^€тп|ГвТ'пТ*,=свойствампоПусть,A.147).Л,т:иА{тТапТгткомпонентыдляпроизведениеЕслиалгебравида:АГсТензорная1.emnlсимволанапример,а=аA.148)вТгаТ*а,матрицейиндекстогдап,A.148).чтосовпадатьдолженвозникаетA.37)посвертканеминуемодастнуль:^T^T)Тожесамоеполучаемафтприа1ео*е^Га(Т>,Т*=Заметим,чтопо€а^71,=индексамчетнаяиможноА{аГа==детерминантТаким1,2,3Т^)иA.8),выраженияdetматрицыобразом,алгебраическогоа,detсверткусдругим(Г;).нетрудноA.151)A.151)чтоувидеть,действительнослучаяа=mиафлюбыхприобразу-всегда(Т^).обаобъединяя=т,получаемдополнения:(AmT'a)=CdetТ./3,7Тог-получим:Т«-A.151)формулыаидля{1,2,3}.а^Сравниваяобразомрезультатеинет,изиндексов\ТаазначенияхегоA.150)суммированияявнымВпреобразуят,=афЦф1фа.подстановкарасписатьЛеви-Чивиты.символомаприТ'7Г*,),-греческимсоответствуетA.148)произведениеA.148)произведениетеперьвсегдасвойствоСледовательно,образом:А(аГаобразуютI.A.149)нулю.равноВычислимследующимТогдапривсегда=0.=A.152)§ 1.4.ЕслиТтензорполейтензорныхнеособенным,являетсяобратныйсуществуетАлгебраdetт.е.Ттензор57ф О,A.96)):T(определенныйпотодляТ^Т^Е,компонентнойвилинегоA.153)записи{Т-%1СW0TklRk•(T^^T^R*0R/0=R/R*=R*A.154)Rb0Rfc,0отсюда(T-1),^'^^.СA.152)свойствапомощьюбытьвычисленыалгебраическогообратного1.4.1,компонентыИспользуярезультатыд%3матрицыупр.имеетэлемента1.4.1).упр.чтопоказать,дляобратнойl-g-,A-156)совпадаеталгебраическимсдопол-gij.Обращениескалярного(см.образомследующимможно=dg/dgijпроизводнаячастнаядополнениеммогутдополнения(см.тензораформула:место,«гдеA.155)тензоровпроизведенияследу-производится1.4.3):упр.(A-BJ-^B^.1.4.4.чтобыТензорныеПустьпризнакиимеютсяпопытатьсяоднойпрямымлисистемыкомпонентамикомпонентамипопы-A.129)законаТакойдругую.приспособчто-тогоможнотензора,пере-называетсяпризнаком.можноввДляобъекта.некоторогокомпонентамитензорногокоординаттензорнымОднакоонивыполнимостьпроверитьизучаствуютТикомпонентыявляютсяустановить,переходеA.157)поступитькаком-либоеслипо-другому,алгебраическомBtJ,тензора,CIJидр.,произвестно,которыеTIJкомпонентысуравнениитензорномчтоониучас-другимиявляютсянапример:илиTijBjk=Cik.A.158)Глава58Тогдабезнепосредственнойобратнымтензорнымобратногоочевидна,перейдемможноTIJчтоутверждать,способТакойто-обрат-называетсяпризнаком.Справедливостьсложенияалгебрапроверкитензора.компонентамиявляютсятожеТензорная1.A.158)ввновуюQ*fc,Qn{наQ\PkiQniОтсюдаоперацийдлясло-A.129),Используясвертки.пе-координат:системуTijPktДомножаяпризнакатензорногооперациюпроверимQmj BlmР\Р%Csp.=A.159)получаем:Qmj TijBlmдействительночтонаходим,Qmj Т>ВгтQn{==Cnt.A.160)новуювпереходеприсистемукоординат:tnmTIJобразом,такимпреобразуютсяпотензорномуУпражненияУпражнение1.4.1.чтоTтообратногокомпонентыгр-1J.__—){ir>« Л.Тт>Q9<о>ЛлУпражнение1.4.2.Показать,УпражнениеУпражнение1.4.3.Доказатьранга1.4.4.ивекторааимеет1.4.5.1.4.Ттензоркомпонентыимеетследующийимеют(Т'г\\1.}{iвид:—г-—J*PTП2detXпmTР"чтоA.137),формулыПоказать,длячтоместоA.140)A.157).ипроизвольноготензораXсоотношение:аУпражнениееслизакону.i;iRt'®Ri,=тензора\(Т~1\±§кПоказать,A.161)Qmj T*>,Qni=•ТПоказать,•а<g>a=aвсякаячтоТ.•диадатензором:det(а0Ь)=0.а0ЬявляетсяособеннымвторогоСобственные§ 1.5.1.4.6.Упражнениесистемыкоординатследующимобразом:ЦУ прРк-=Т!j1.4.7.вх1.5.говоряЕслиеа•jеаА.еаА1AxjRiRJ,0влевыйавидеи•ипоA.162)уравненияа=Атензоравек-обеспечива-вA.162)1, 2,3.А«^)Ксобойпредставляют0(A'j0,A.163)виде:компонентномA.164)\а6Г)С}ао-уравненийлинейныхсистемыпред-еаQ",R'f=в=еа,базисыдляопределенияо.существуют-е"записатьRt:базисенекоторомбазису:этомуККЪ,=можно(A'jPJaАтройкикоторыесобственныйправыйразложения°тоиирангавтороготензора0=АаАа,комплексные)Ааеа,=компонентыеанулютензоразначениямиговоря,(вообщекомплексно-значных),Ааеа,=известныпредставлены0тензораусловий:выполнениеААвекторR1".значенийеа,числа(вообщенатензоразначениявекторамитакиевекторовQ\Q\Tkl.=0Собственными1.24.собственнымииy/g€ijkTmjakRm=собственныхОпределениеобеспечиваютаСобственныеОпределениеназываютсле-виде:Т1.5.1.преобразуютсяпроизведениевекторноечтоТтензораТ*криволинейнойоднойиз<?,Tfe',Р*=59переходеприкомпонентыПоказать,представить§чтоX1хдругуювЦт,ажнениеможноПоказать,XхтензоразначенияQajфиксированномпритолькоприНенулевыеа.Аа,техАа,которыеdet(Ах)системэтихрешенияобеспечиваютравенствоопределителей:det(A'j-Ав^.)=0,-\а6х))=0.(Ы65)ГлаваАаПосколькуто,АаиТензорная1.всеохватываютАаединственноеуравнениетретьейзависятотA.167)вfadetодноАаЕ)-действительно,тотензор,системеXaSij)=еа-{Aijопределены,АазначенияXQgij)-будетфактаеаинеизт.е.A.168)0,=даноп.4.5.3.вопределяютсясобственныйдейст-неоднозначно,кеатовектор,-собственныйтожеобычнонеоднозначностиустранениясобственныенормируют:ев-еаСобственныеделе,векторыумножаяпервое1,=еае^ивуравнениеа-онаониA.167)0вектороввекторыеа=собственныеегоdet0,этогоДляАа^)координатсобственных(к ф 0).-чтодоказательствоесли(А*;det=частности,-Собственныевекторвекторы-какойСвойства1.5.2.уравнениеуравнением.втого,следует,еще(AАаЕ)—собойпредставляетхарактеристическим(АкакA.166)Аа:det=называетсяТакуравнений,этихАа,=A.165)вотносительностепениV{Xa)икорнеймножествочтоочевидно,аалгебраA.169)=1,2,3.взаимноВортогональны.A.162)еРнааслева,второесамом-де-справае-ea)получаем,чтодолжновыполнятьсясоотношение(Ав-А/,)е"-еЛОткудапринекратныхA.170)корняхУ-^=^в.=Ааф А^A.171)0.следует,чтоA.172)§1.5.СобственныеРазложение1.5.3.бытьможеттензорасобственномупотензораАТензорзначенияпредставленбазисуразложениемсобственномупобазису:АA.173)УмножаяслеваиА*&®е>.=A.173)еанасправаинае^,A.170)основаниииоA.172)получаем,значениячтосовпадаютАидиагональная,-ненулевыееезначениями:Аа<??,=рAljматрицасобственнымисАу=Ааеаj%еA.174).а=1Разложение1.5.4.обратногобазисусобственномуПустьАтеперьнеособенный-А-1-АУмножимслеваиэтосправаА"азатемdetтензор:подставимсюдаA.175)А•Е=е^зАвместособственныйнасоотношение••его=е^векторЗдесьмыA.174)разложениесобствен-поA.176)а=1свойствоиспользовалиАрПереносявправуюэтоготензораатакжевыраженияА"собственнымисзначениямиможнопредставитьокончательно:\р%.=A.177)собственныечтоследует,совпадаютA.172).ортонормированностиполучаемчасть,А-г.ерИзе^:е/з,^=е^а=1негодлятогдаЕ.=базису:собственномуф О,АA.153):формуламестоимеетпотензорасобственнымиА*А71.являютсяпоразложениемсобственномутен-А,тензораисходноговекторамиуобратноговекторыТогдаАтензорбазисуввиде:А-^^А-^Ое*.A.178)а=1ви-Глава62Разложение1.5.5.А•степенейпобазисуРассмотрим=алгебратензорныхсобственномуА2Тензорная1.АтеперьквадратX) ЕА«*«=А2тензора*°®Х№*A.141):«"®Е А^°=т.е.собственнымисобственныевекторы(•"-®а=1а=1/3=1значениямиА2тензорасовпадаютсОчевидно,еа.А2,являютсячтоимееткакотрицательного,п-ойсобствен-аместоследующаятеорема.Теорема1.12.тензоралюбогоДляположительного,второгоцелогоместоимеетп,разложениеитакдлястепенитен-ранга:а=1§Симметричные,1.6.Симметричные1.6.1.икососимметричныетензорыортогональныеиположительно-определенныетензорыСогласно1.15,определениюТтензорназываетсясимметричным,еслиТДлясимметричногобазисеномтензораТ=ОпределениеТ,тензорматрицаTijRi01.25.длякоторогоTijRj,любогоДлявектораa,-R'=симметричногоаслевавлюбомсправаTijф=диад-A.182)Tji.определенным=Т*Ч-суназы-A.183)>00.ТтензораиTj\=Положительноа-Т-адляA.181)компонентегосимметричной:являетсяназываетсяТТ.=результат(см.одинаковТа=аТтскалярногонаумноженияA.140)):=а-Т,A.184)§ 1.6.симметричногоA.162)).саесличастности,вСимметричныетриэдртензораон,Такимобразом,всякогоеатензорысобственныйлевый-очевидно,-63справым:еаединственныйсуществует=сим-ортонорми-A.172):силуA.185)еа-ер=8ар.ЎДействительно,гдеiл/—1L=тоА'х=собственные1=былнапример,тензо-симметричного—быбысоответствовалемуAiAi,быеслиАгeiАазначениявещественны.=кореньсопряженныеСобственные1.13.Теоремавсегдатензора Т(ср.еасобственныйявляющийсятензора,длятовектор,совпадаетсимметричноговрованным,еа=ортогональныеиiA",комплексно-сопряженныйбысоответствовалиимакомплексным:о'.о"-75(ei+lei)'1оe2о'о',".о"-^(e1-ie1),=перемножаявзаимнойпротиворечитчтополучаем,которые,=1,=1,.,A.186)оei•собственныхортогональности||exоскалярнокомплексно-векторы:егвекторов:чтопротиei*в2=АСимметричныйразложеннымТ,тензорпоA.174),подобнобазису:собственномураз-представитьможнозТTijRi=R,0=Y^A«ea0A.187)ea,a=lгдеследующимкомпонентыобразомсобственномвибазисахлокальномсвязаныследую-A.163)):(см.AaK^Q.A-188)a=lТеоремаположительно-определенноготензора1.14.ТДлявсеположительно-определен-симметричногособственныеположительны:значенияХа>0.A.189)0.Глава64ЎДействительно,A.188)Тесличтоследует,Тензорная1.алгебраположительно-определен,A.183)изтоивыполняться:должноa«J>0,а'аР*а<ц=A.190)а=1дляа'а,всехСоаэтовсякимтольковозможносимметричнымповерхностьпорядка,второгоДляэтогоТTijкотораяв/привестиихA.189),вA.191)Xхлибообразуетэл-вырождение.чтополучим,диагональномукформа:const,=координатлибоA.188)Подставляяможноповерхностью.квадратичная=гиперболоид,центральнуютензорнойпространстветрехмерномлибоАсвязатьсоставляетсяhrijXiXjэллипсоид,0.>можноназываемуюкомпонентампоАапритензоромформуквадратичнуювиду:3•/Ха(Х'аJ,\2A.192)"а=1а=1есливвестиновыеХ'аЕслиТсобственные-координаты:собственные-=PiaX\PiaP*aflf,'*.=положительно-определенный,значениятоиположительны,вA.193)A.189)силусобст-всеописываемаяповерхность,уравне-уравнением31/=2^Aa(X«JAЛ94)C°nSt'=a=lсобойпредставляетсовпадаютсЕслитовсеосейсобственныеСимметричныеми,сферы,уравнениемтензорыихАасовпадают:являетсясовпа-которогоХ'а.координат=дляА,а1,2,3,=всекоторогоглавные.-еслинаправлениясобственныхзначенияA.194)уравнениенаправленияглавныеэллипсоид,направлениямивторогоАрангаеа=Sa=lВназываютсясоосны-совпадаютззАиобазисысобственныеАа*<*0®а>в=Sa=lВа*<*0^»'AЛ95)§ 1.6.собственныеэтомприиВиСкалярноеАсовпадаютпроизведениесимметричныйортогональныеАазначенияАтензорытоСимметричныеВаи65тензорыразличны;АажееслиБа,=В.=соосныхАтензоровВиобразуетсиммет-тензор(А.В)ТэтопоэтомускалярноеA.196)А-В,=произведениеперестави-т.е.коммутативно,-переставимо:ВАКососимметричные1.6.2.A.197)ВА.=тензорыОпределение1.26.ftТензорназываютскосимметрич-оеслисимметричным,ПВсякийпроизвольныйАтензоркососимметричногоисимметричногосуммы-пТ.=AA.198)впредставитьможновсегдавидетензоров:T=+A.199)ft,гдеTОбозначим<g> RjR,=i(AП=1-(А-АТ).AT),+компонентыftтензоракососимметричноговбазисекакn=n'' R,-®Ri9A.200)тогдаП1'Изопределениянулю:Qaaпоэтомувектор0,=наосновесо,ftвсякого1.15.векторсвязаныТензорноеисчислениену-равныпо-компоненты,независимыеможнотензорапостроитькососимметричномусопутствующимвектором):=w,R\=ы{Кососимметричный-\y/geiikuik.тензорследующимA-202)исопутствующийсоотношением:H33тольковектором,ТеоремаQIJкомпонентыдиагональныеимеетаксиальнымиемуA.201)кососимметричногоназываемый(илитензоручтоследует,тензори-Uij.==wxE.A.203)ГлаваЎДействительно,поТензорная1.алгебрац>:определениюn-jл/z9 €ijkUjgnk*R.i=R*0fif*Rt=ЗдесьиспользованоНайдемСвойствозначения/=fi230-П23{Uijflfdet-\gij)/A.167):-Л(А2=-fa;2)=(S—1CJ,=wl9aa2(a;ia;2^12+A31CJ,=^Л2W2W3023+0,=+^3^i(/13)/\a=lОртогональныеСогласноA.206)0,значения:Ai1.6.3.A.205).0уравнениесобственные4Пи-fi13\ft120характеристическоеV{\)Свой-тензора.компонентыегочтоозначает,-fi12fi13=\=иматрицу:П*u*-A.33)произведениякососимметричногоA.201),следующуюнаходимRfc0A.204)векторногокососимметричностиСоставляяУ**сцрп'*Ъ=Асобственныеобразуют=П.=определениеA.36).свойстваRk0Rn0J.A.207)тензоры1.17,определениюОтензорортогональным,называетсяеслиОтДляортогональноготензоракомпоненты=ОтензораO=A.208)соотношение:выполненовсегдаОТ.ОВведемО.=О.ОТв0liRi®Ri,=локальномA.209)Е.диадномбазисе:A.210)§Симметричные1.6.иортогональныетензорытогдаООт.=O'jO,!=ER,W0R/•R*0O^OjRi=®Rfe=^Rt-0Rfe,=A.211)илиO'jOjA.212)Из=компонентдевятьнезависимых(Е)Отензораналоженыортогональныйтензора(Отdet=A.212)тензоркомпонент.ортогональногоdet4.=произвольныйтрехОпределитель1наб1'^=следовательно,болеенеимеетчтоследует,связей,шестьOfcj=О)•(От)det=±1,равен•(О)detкактак(О)J,(det=A.213)откудаdetБелибазисныйновыйпомощьюсA.214)±1.=базисныйнекоторыйвыбратьпреобразование(О)R,триэдрортогональногоиприменитькО,тензоратонемуполучимRJ:триэдрA.215)который•обладаетУглыф\±д^матрицыд'ц•свойствами.следующимиМетрическиеrpijR(.=•RJR,=•О•Всовпадают.gijбазиснымимеждумеждуR^иОтR,-•R,.=R,-векторамиделе,R,иДействительно,одинаковы.самом=A.216)дФуглысоответствующиепоA.32)A.14):и(L217)•Длиныизменяются:невекторовA-218)ЭтообразомвокругеслизеркальнымО =detбез-поворотасопровождатьсяплоскости,поворот.помощьюс"жестким"преобразованиеA.215)преобразованиечтоозначает,осуществляемоеизмененияосиотражением—1.ЕслижесиО=сз,1,этот.е.длин,векторомпреобразоможеткотороенекоторойотносительноdetпроисходиттензора,угловнекоторойтриэдра,произвольногоортогональноготопроисходитсо-плос-собственноГлава68Выберемдвадлявектору сз,осуществляетвектораиciвекторыиqобразом"осиОт1.=векторомсз•тосз,векто-Отензоризменяется:несзA.219)сз,=своейвповорачиваютсяуголсгс=ортогональнойПосколькуплоскости,|са|"жесткимплоскостиобра-tp:c'Qтаквсгвокругнекоторыйнаалгебраположимопределенностиповоротс'3аТензорная1.OT.ca,=A.220)чтос^Очевидно,cfaчтоТогдаtp +cosci=тензорsinсгбудуттакжеОс'2у?,можноsin—ci=у? +cosсгA.221)(p.ортонормированы.видевпредставитьввс^ПодставляяО(ci0=ci=(Ci=Ecosy?-fc3Здесь0мыip +cos+Ciполучаем:C2)сзA®C20tp)sinc2вТакимввсякийxsin+0c3tp +C3сз0=C3=A.223)c^smtp.при-произведения,значения/sincosy?-sin=у?VА*})-=тензора.компоненты:имеет0cosy?A.224).1/0A.167),А)(А2-можновсегда0\у?0AОортогональногоОтензоруравнение(О1',-Ci)тензорсахарактеристическоеdetE0C2tp)cosc2векторногобазисев(О1,)=—собственныечто07>(А)C2ортогональныйA.223).видеследует,Составляя0ip +—1.2.8.теперьA.223)(Ciсвойствамиобразом,Вычислимsin(—ciC2cosy>)—1.2.7,упр.представить+tp +COSвоспользовалисьприведеннымиИзA.221),сюдаA.222)а=1а=1-получаем2Acosy>+1)=0,A.225)откудаА3такимобразом,доказана=Ai1,следующая=е-1*,А2теорема.=eiv?,A.226)§ 1.6.Симметричныеи69тензорыортогональные_Теорема1.16.собственноедействительноеОртогональныйвсегдатензорравноезначение,1,дей-одноимеетвообщедва,иговоря,комплексных.A.219)Изсобственных1,=собственныйчтоследует,АзначениюсовпадаетвекторасзаписываяОe-^ei=+0е2)0е2A.227)Сравниваяе2=cosе1 +е*е2<рi(eii=(ClО-е2 +®е10произведениидвух1.6.1.Атензорове20S1=к§-°e2ic2),Показать,Внаходим,ихбазису:с3=е2)sin(ехеЧ0<p +0с3A.227)с3.находим-и0собст-другихсобственномупос3=УпражненияУпражнениезна-Двас3.=комплексными,тензораA.223),и=е3е3=говоря,A.174)разложениеехс3,вообщеявляются,соответствующийвектор,т.е.чтоизодинA.228)ic2).+1.6.веслитензоров-~(С1двойномпроизведе-скалярномтовторой^(А+симметричен,можнотожесимметризовать:А--ВУпражнениенеимеетТ=Ат).изтензоракососимметричногодляУпражнение1.6.5.значениямчтоавекторПоказать,такжесоответствующие собственныме3гдевообщекомпонент,Показать,1.6.4.можновчтосмешанныхдляпроизвольныйнаУпражнениепредставленыВТ,=A.201)соотно-этоговоря,места.кососимметричного тензора=но1.6.3.ftтензораВиПоказать,—^'и=Упражнениее3Т--В,1.6.2.Q{jследуетсоотношение=виде:кососимметрич-длявиде:собственныечтоЛаA.203)соотношениевПоказать,впредставитьчтопредставитькососимметричногоумножениескалярноеможносоответствую-еа,векторыf c,тензоракососимметричногомогутбытьпред-виде:=—,е1=е2=-=(сх-ic2),е2=е1=-Wei+ic2),Глава70CiгдеС2ивещественныенекоторые-Упражнение1.6.6.особенным,является1.6.7.стоQтензорс'х=тоэтиСа,и+sinС2=можноQ=¦§произведенияиR,базисавекторовпреобразованием:ортогональнымимеютсяесли•1.7.sin—ciф-fспомощьюсвязатьНайтиСа.ортонормированныхдваф,cosC2этогоФизическиеСз0ез,=некоторогокомпоненты^ ф ^ 2тг,ортогональногобазисевтензоракомпонентыОртонормированныйВRtбазисавекторныхдваполученногочтос'2ф,такжес!аQ:1.7.1.яв-соотношениями:базисадватензораГЪQ:тензорногоПоказать,связанныхфcosciесливидеR/1,1.6.8.С^базисачтовконечноготензорR".®=икососимметричныйтензорапредставитьR,-R,QУпражнениеПоказать,можноисходного-1.=0.—ортогональногопомощью\са\векторывсякийчто(П)detалгебранормированныеПоказать,т.е.УпражнениесвязаныТензорная1.Са.тензоровбазиссистемахортогональныхОХккоординатметрическаяматрицадиагональной:являетсяR,=дцВведемRj•={ГО/т.е.,.дляназываютaвдортогональных=дОбратная°0д22\.дх*матрицавычисляютсяA.230)-1,2,3,Ламе.параметрамиОпределителькоэффициенты°компонент:ее=#a,На9ij=A.229)обозначениягдеf911 01фз'следующимимееткоординатахdetтоже{9ij)=вид:(Я!Я2ЯзJ.A.231)диагональной,являетсяееикоэффици-образом:A.232)Введемеоединичные=Ra/|Ra|векторы=Ra/V^,базисовлокальныхe°=Ra/|Ra|eQ=Ra^^,ие°:A.233)Физические§ 1.7.обозначеныгдеВ(Ra=RaI/2•тензоров71базисавекторовдлины|Ra|компоненты(gQQI/2=—!==4--=силу=eaединичныечтополучаем,Очевиднобазисавекторычтотакже,еабазисбазисавихсторонуconst=Произвольныеа=авекторa'R,-кнормаликвтензоровбазисеортонормированномпоA.236)Q.касательнымпособой:по-координатнымлиниямкоординатнымвозрастания.Компоненты1.7.2.иA.245),совпадают.междуортонормированнглм.направленыеаХаповерхностямХаявляетсяеаВекторыeaиeaортогональны-=т.е.e=итензорбазисеортонормированномТможно=a,R'представитьвортонор-образом:следующим==aс^е,-=a=la=lA.237)a=l/3=lЗдесьвведеныкомпонентывекторабазисеортонормированномЯф,итензорае,-:A.238)т?"или=сиспользованиемпараметровЛаме:A.239)Глава72.1,26.Рис.базисОртонормированныйалгебрасистеме1,27.Рис.ба-цилиндрическойвТензорная1.коор-ЗисОртонормированныйсферическойвба-системекоординатдинатОпределение1.27.КомпонентыТ$тензорабазиселокальномтонормированномивекторавЯффизически-называютсяе,ор-физическими.A.238)Изчтоследует,Т^,компонентыТф,^,такТ^икакже,Упражнения1.7.1.УпражнениеаУпражнение(см.1.7.2.1,=чтодля#2=erпричемцилиндрическойсистемы#зГ,координат:1,=вбазиссистемыеакоординатследующийимеетвид:ez,=каждойМ,точкеOzосьвдольцилиндрическойдлячтоортонормированный=соединяющей-Показать,1.1.14)упр.1.1.11,=прямой,и1.7.3.1.1.13егвекторМ.,точкуПоказать,и1.1.15)=erЪфsinдcosпо1.26).длясферическойбазисортонормированный=-(см.рис.что<^>ei-fрадиальнойвдольнаправленвекторOzпараллельнойУпражнениеупр.1.1.12,всесферической:дляе2ё,,1.7.§кПоказать,#1базиседекартовомвсовпадают.sind sinполупрямой,системыеа<^в2осивокругокружности+cosт9ез,a(см.координатследующийимеетOz,вид:§е2е#=тЗcos=е3каждойвпричемисходящейначалакКромеегиможнокмеридиану,высшихранговn-готензораранга(скаляры),нулевогот.е.n-гопроизвольного1.28.Тензором(гдеранга[ё1П"Л51ё2пЛ12ёзп'Пз],=получаемявляетсяA.104)третьеготензорГ)},-ПТчислонаумноженияA.240)тензоровдля[ё'41-1==<рппБазисныеT(tJ)второгоё,- ®ejё2®et- ®eiё3®ё,- О eiтензорыДля®.®ранга.====способом,3T(ltj)3TBti)3TCti)A.113)=пвво-nS,A.242)рекуррентнымвведемeiбазисные[e'V1-1^)].=произведениятензорного-ф™-1^]=такжетензорызнакпA.241)A.105):аналогичнопприПриранга.второготензорап-готензорA.240)Изранга.ранга.исложения1)-го—nfl,-,[ёхПхёгПзёзПз],=второготензорыОперациификсирорангаранга:3П-\)-го—рекуррентным:(птензорыопределениеA.240)трех(пnfl.тензорачерезна--трехмерномвсовокупностьтензоровтрехочевидно,определение,определяютполучаемикаждогодляЭторангаё,-п^ 2,пупорядоченнуюсобойбазисавекторовиндивидуальныхпПрангап-огоформевобъектназовемпространстве(век-первогоспособом,число).фиксированныхтензорполупрямой,касательнойпо-1.27).рис.тензорыпредставляющийЗдесьрадиальнойвдольв$sin—<?cos"геометрическим"ввестипПиспользуя<?е2направлентензороврангов,Определениеевклидовомвводим+определениевторогонатуральноегде<?eiТензоры1.8.73д sincossinвектор(см.рангов+—векторрассмотренных(векторы)A.104),2=Геометрическое1.8.1.фе\ефпараллели§высшихcosкоординат,касательнойпо=МточкеизТензоры1.8.=3исполь-имеем:[eiT(o)e20e30],=[ei0e2TW)e30],=[ei0e20e3T(o)].второгоA.243)ранга,а0-этонулевой=3Глава74ОпределениеКаждаябазиснаявсякийибазисныхё& 0 ё,- 0 ej&,фиксированныхприсобойпредставляетранга,третьеготретьеготензоровбазисом.триадатензоралгебраA.243)Набор1.29.триаднымназываютрангаТензорная1.j,г,как27совокупностьвекторов.ПродолжаякA.243)построениебазисныхопределениюспособом,рекуррентнымn-готензоровприходимобозначимкоторыеранга,сле-образом:следующимeiё2ё,-20ё3(птензор0®1)-го—ё,пможноскладыватьввестиобобщеннуюкомпонентып2k)-го(etlвё,ппрификси-n-горангаA.245)базисе.n-гоКромечисло.тогоихможнонихпроизведениемполиадубазиснуюk-кратнымт-готоранга,дляпроизведения.Скалярныминазываюттензортензорамискалярногоn-го0..ё,п,0..полиадномнаумножать1.31.0всякийявляютсяоперациюполиад—0тензораибазисных("'"ё^полиадыОпределениедвухнуль--базису:fi'1=базисные1.10:иполиадномупППоскольку1.7теоремыпоA.244)etlполиадами.аналог-п"0ранга,тензоровтензорысамиаразложитьП*1—1п1)-го—базисныхНабор-базисными,inместоможно(птензоры1.30.i\.A.244)[ё1п-10ё2п-10ёзп-1Т(|-2..