Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 5

å.ïîëàãàþòq≡0òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðèíÿòà ìîäåëüèqm ≡ 0,(1.3.1)àäèàáàòè÷åñêèõïðîöåññîââæèäêîñòè.Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî àäåêâàòíî îïèñûâàòü ìíîãèå ðåàëüíûå ïðîöåññû â ãàçàõ, â ÷àñòíîñòè, áûñòðîïðîòåêàþùèåïðîöåññû: óäàðíûå âîëíû, çâóêîâûå âîëíû è äðóãèå.Äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òåïëîâîé ïîòîêçàíèìàþùåé îáëàñòüV,Qêî âñåé ñïëîøíîé ñðåäå,ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóë (ò.

2, (2.4.6),(2.4.10)) è (ò. 1, (3.5.13)) ïîëó÷àåìZQ = Qm + QΣ =ZZρqm dV − q · n dΣ = (ρqm − ∇ · q) dV ≡ 0.VΣ(1.3.2)VÂñïîìíèì îá óðàâíåíèè èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè (ò. 2, (2.12.1) ïðèα = 4),õî-òÿ îíî è íå âõîäèò â îñíîâíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé èäåàëüíîé æèäêîñòè. Äëÿ32Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûàäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â èäåàëüíîé æèäêîñòè óðàâíåíèå (ò. 2, (2.12.1) ïðèα = 4)ïðèíèìàåò âèäθρdη= −∇ · q + ρqm + w∗ ≡dt(1.3.3)0,η = const.(1.3.4)Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1.3.1.Ïëîòíîñòü ýíòðîïèèηäëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ âèäåàëüíîé æèäêîñòè íå èçìåíÿåòñÿ.Ïðîöåññû ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ýíòðîïèèηíàçûâàþò èçýíòðîïè÷å-ñêèìè (ò.

å. ñîõðàíÿþùèìè ýíòðîïèþ).1.3.3. Àäèàáàòà Ïóàññîíà ñèëó (1.3.4), äèôôåðåíöèàë ïëîòíîñòè ýíòðîïèè ðàâåí íóëþ:dη =0.Âû÷èòàÿ èç óðàâíåíèÿ (1.3.3) óðàâíåíèå ýíåðãèè â ôîðìå (1.1.22), ïîëó÷àåìñîîòíîøåíèå ìåæäó ïðèðàùåíèÿìèdη , deèdρ:pθ dη = de − 2 dρ = 0.ρ(1.3.5)Çäåñü èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (1.1.22).Åñëè ââåñòè óäåëüíûé îáúåìâ âèäåV = 1/ρ, òî ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòüθ dη = de + p dV.(1.3.6)Ïîñêîëüêó ýíòðîïèÿ èäåàëüíîãî ãàçà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéρèθ:∂η(ρ, θ) = −ψ(ρ, θ),∂θòî (1.3.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ ôóíêöèþ â êîîðäèíàòàõρ ∼ θ,çàäàííóþ íåÿâíûì îáðàçîì:η(ρ, θ) = η0 = const.Îòìåòèì, ÷òî òàê êàê äàâëåíèåp(1.3.7)ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåéθ: p = p(ρ, θ), òî ìîæíî òåìïåðàòóðó θ ïðåäñòàâèòü êàêρ: θ = θ(p, ρ).

Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ ýòó ôóíêöèþ â óðàâíåíèåèôóíêöèþpρè(1.3.5), ìîæíîïåðåïèñàòü åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:η(p, ρ) = η0 .(1.3.8)Óðàâíåíèå (1.3.7) îïðåäåëÿåò ñâÿçü ìåæäóïðîöåññîâ, à óðàâíåíèå (1.3.8) ñâÿçü ìåæäóìåæäópèVpρèèV.θäëÿ àäèàáàòè÷åñêèõÓðàâíåíèå (1.3.8) ñâÿçèíàçûâàþò àäèàáàòîé Ïóàññîíà.Åñëè ââåñòè óäåëüíûé îáúåìV̄ = 1/ρ(1.3.9)33Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõρ íådm/ρ =(íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äëÿ îäíîðîäíûõ ïðîöåññîâ, äëÿ êîòîðûõçàâèñèò îò êîîðäèíàò, ïîëíûé îáúåì ãàçà âû÷èñëÿþò êàê= M/ρ,à óäåëüíûé îáúåì ýòîìîæíî çàïèñàòü â âèäå (÷åðòó íàäV =V̄ = V /M = 1/ρ), òî àäèàáàòóV äàëåå áóäåì îïóñêàòü):η(p, V ) = η0 .ÄëÿñîâåðøåííîãîãàçàñRïîñòîÿííûìèVÏóàññîíà(1.3.10)òåïëîåìêîñòÿìèñîîòíîøåíèÿ(1.3.7), (1.3.8) è (1.3.10) ëåãêî íàéòè â ÿâíîì âèäå.

Ïîêàæåì ýòî.Òåîðåìà 1.3.2.Äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â èäåàëüíîì ñîâåðøåííîìãàçå óðàâíåíèå ýíåðãèè (1.1.71) äîïóñêàåò ïåðâûé èíòåãðàë â ôîðìåZθcv (θ0 )dθ0 + Rθ0lnρ0= ∆η =ρ(1.3.11)const,θ0ò. å. òåìïåðàòóðà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþcv = const, òî äëÿ ëþáûõK1 = K(t1 ):◦◦θ/θ1 = (ρ/ρ1 )k−1 .Åñëè êðîìå òîãîK(t)ðàöèéè ÷àñòíîñòè, êîíôèãóðàöèÿHρ, ∆η = η − η0 .äâóõ àêòóàëüíûõ êîíôèãó-(1.3.12)◦K1ìîæåò áûòü è îòñ÷åòíîé K.Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â èäåàëüíûõæèäêîñòÿõ ïëîòíîñòü ýíòðîïèè ïîñòîÿííà, òî, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (1.1.64)äëÿη,ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîâåðøåííîìó ãàçó, ïîëó÷àåì, ÷òî èìååò ìåñòîñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäóZθθècv (θ0 ) 0dθ + Rθ0ρ,lnÿâëÿþùååñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì (1.3.7):ρ0= η − η0 =ρconst.(1.3.13)θ0Ïîêàæåì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (1.3.13) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ïåðâûìèíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ ýíåðãèè (ò.

2, (2.4.17)).  ñàìîì äåëå, äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ñîâåðøåííîì ãàçå óðàâíåíèå (ò. 2, (2.4.17)) èìååò âèäρcv (dθ/dt) = −p∇ · v.(1.3.14)Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (1.1.23) è âûðàæåíèå (1.1.66)äëÿp,íàõîäèìcvdθRθ dρ=.dtρ dt(1.3.15)Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (1.3.13).Åñëècv = const,òî, âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë â (1.3.13), èìååìcvlnθ=Rθ0lnρ+ ∆η.ρ0(1.3.16)34Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÎòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1.1.70) ïîëó÷àåìθ= A0θ0³ ρ ´k−1ρ0A0 = e∆η/cv = const.,(1.3.17)Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå (1.3.17) äëÿ íåêîòîðîé äðóãîé àêòóàëüíîé êîíôèãóðàöèèK1 = K(t1 )ρ1 ,ñ ïëîòíîñòüþäàâëåíèåìp1è òåìïåðàòóðîéθ1 ,◦θ/θ1 = A0 (ρ1 /ρ0 )k−1 .Ïîäåëèâ (1.3.17) íà (1.3.18), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (1.3.12).èìååì(1.3.18)NÏîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (1.3.12) â óðàâíåíèå (1.1.66) Ìåíäåëååâà Êëàïåéðîíà, ïîëó÷àåìp1ãäåp/p1 = (ρ/ρ1 )k , äàâëåíèå â êîíôèãóðàöèè(1.3.19)K1 :p1 = R θ1 ρ1 .(1.3.20)Ñîîòíîøåíèå (1.3.19) íàçûâàþò àäèàáàòîé Ïóàññîíà äëÿ ñîâåðøåííîãîãàçà, îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé àäèàáàòû Ïóàññîíà â ôîðìå(1.3.8). ÷àñòíîñòè, åñëè êîíôèãóðàöèÿKÿâëÿåòñÿ îòñ÷åòíîé, òî àäèàáàòà Ïóàñ-ñîíà (1.3.19) ïðèíèìàåò âèä◦◦p/p = (ρ/ρ)k ,◦pãäåè◦ρ(1.3.21)◦ äàâëåíèå è ïëîòíîñòü âK:◦ ◦◦p = R θ ρ.(1.3.22)Åñëè ïåðåéòè ê óäåëüíîìó îáúåìó (1.3.9), òî àäèàáàòà Ïóàññîíà (1.3.21)èìååò âèä◦◦p/p = (V /V )k ,(1.3.23)ò.

å. ýòî ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ.Âíóòðåííþþ ýíåðãèþ â ôîðìå (***1.3.10) èäåàëüíîãî ñîâåðøåííîãî ãàçàñ ïîñòîÿííûìè òåïëîåìêîñòÿìè ñ ó÷åòîì ôîðìóë (1.1.65) è (1.1.60) ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäåe = e0 + cv (θ − θ0 ) = ee0 + cv θ,èëèe = ee0 +ee0 = e0 + cv θ0 ,(1.3.24)cv pp= ee0 +,R ρρ(k − 1)(1.3.25)pV.k−1(1.3.26)èëèe = ee0 +1.3.4. Áàðîòðîïíûå æèäêîñòè è ãàçû35Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÈç ôîðìóëû (1.3.19) ñëåäóåò åùå îäèí âàæíûé âûâîä: äàâëåíèåîäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé òîëüêî ïëîòíîñòèêîíôèãóðàöèè:ρè çíà÷åíèé◦ρè◦pp ÿâëÿåòñÿâ îòñ÷åòíîé◦ ◦p = p (ρ, ρ, p).Æèäêîñòü, óäîâëåòâîðÿþùóþ ýòîìó óðàâíåíèþ, íàçûûâàþò áàðîòðîïíîé âøèðîêîì ñìûñëå.Åñëè äàâëåíèåpçàâèñèò òîëüêî îòρè íå çàâèñèò îò◦ρè◦pâ îòñ÷åòíîéêîíôèãóðàöèè, òî òàêóþ æèäêîñòü íàçûâàþò ïðîñòî áàðîòðîïíîé èëè áàðîòðîïíîé â óçêîì ñìûñëå.

Åñëè æèäêîñòü íå ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíîé íè âóçêîì, íè â øèðîêîì ñìûñëå, òî åå íàçûâàþò áàðîêëèííîé.Äîêàçàííûé ðåçóëüòàò (1.3.19) ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåéòåîðåìû.Òåîðåìà 1.3.3. ñëó÷àå àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñîâåðøåííûé ñæèìàå-ìûé ãàç ñ ïîñòîÿííûìè òåïëîåìêîñòÿìè ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíûì òîëüêîâ øèðîêîì ñìûñëå.Ïðèìåðîì æèäêîñòè, áàðîòðîïíîé â óçêîì ñìûñëå, ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíûéñîâåðøåííûé ãàç ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå, ïðè êîòîðîì âìåñòî óñëîâèÿ(1.3.1) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà òåìïåðàòóðûθ = const. ýòîì ñëó÷àå, äåéñòâèòåëüíî èç (1.1.66) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñîâåðøåííîãî ãàçàäàâëåíèåpçàâèñèò òîëüêî îòρâ àêòóàëüíîé êîíôèãóðàöèè.1.3.5.

Ñèñòåìà óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêèäëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1.3.2, óðàâíåíèå ýíåðãèè (1.1.3) äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â èäåàëüíîì ñîâåðøåííîì ãàçå ìîæíî èñêëþ÷èòü èç îáùåéñèñòåìû óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3), òîãäà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà áóäåò ñîñòîÿòüòîëüêî èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè, óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è îïðåäåëÿþùåãîñîîòíîøåíèÿ áàðîòðîïèè (1.3.19):(∂ρ/∂t) + ∇ · ρv = 0,(∂v/∂t) + v · ∇ ⊗ v = −(1/ρ)∇p + f ,◦ ◦p = A ρk ,A = p/ρk = const.(1.3.27)1.3.6. Ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîââ ñîâåðøåííîì ãàçå36Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÑèñòåìà óðàâíåíèé (1.3.27) èìååò ìåñòî â îáëàñòèρvèV,â êîòîðîé ôóíêöèèÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè.Åñëè âVS(t)èìååòñÿ ïîâåðõíîñòü ðàçðûâàýòèõ ôóíêöèé, òî íà ýòîéïîâåðõíîñòè, â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííîé ⠟ 1.2 òåîðèåé, âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî (1.2.27).Ïðèìåíèì ñîîòíîøåíèÿ (1.2.27) ê ñîâåðøåííîìó ãàçó, êîòîðûé èìååò ïîîáå ñòîðîíû îò ðàçðûâàêîíñòàíòûA, ee0Sîäíè è òå æå îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ, ò. å.è êîýôôèöèåíò Ïóàññîíàñòîðîíû îò ðàçðûâàkîäíè è òå æå äëÿ ãàçà ïî îáåS(t).Ïóñòü ïîâåðõíîñòíûå ýôôåêòû íàòîãäà â ñèëó àäèàáàòè÷íîñòèC30 Σ =S(t) îòñóòñòâóþò, ò.

å. CnΣ = 0, C3Σ = 0,00 = 0, è ñîîòíîøåíèÿ (1.2.27) ñ0 è C3Σó÷åòîì (1.3.26) ïðèíèìàþò âèäρ u = ρ2 u2 , 1 1ρ1 u21 + p1 = ρ2 u22 + p2 ,22 k p1 + u1 = k p2 + u2 .k − 1 ρ1Ïóñòü çíà÷åíèÿρ2 , u2èp2k − 1 ρ22(1.3.28)2ïî îäíó ñòîðîíó ðàçðûâà èçâåñòíû, òîãäàρ1 , u1 è p1γ = ρ2 /ρ1 , òîãäàñîîòíîøåíèÿ (1.3.28) ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü âñå òðè çíà÷åíèÿïîäðóãóþ ñòîðîíó ðàçðûâà.

Ïîêàæåì ýòî. Ââåäåì ïàðàìåòðèçïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.3.28) íàõîäèìu1 = γu2 .(1.3.29)Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (1.3.29) âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåìρ1 γ 2 u22 + p1 = ρ2 u22 + p2 ,(1.3.30)p1 = p2 + ρ2 u22 (1 − γ).(1.3.31)èëèÏîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (1.3.31) â òðåòüå ñîîòíîøåíèå (1.3.28), èìååìk ρ2 2k p2 ρ2γ 2 u22k p2u2u2 (1 − γ) ++−− 2 = 0.k − 1 ρ1k − 1 ρ1 ρ22k − 1 ρ22(1.3.32)Ïðèâîäÿ ïîäîáíûå, ïîëó÷àåì êâàäðàòè÷íîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíîγ(1 − γ) + (γ 2 − 1)k−1p+ 2 2 (γ − 1) = 0.2ku2 ρ2γ:(1.3.33)Ïðåîáðàçóåì ýòî óðàâíåíèå ê âèäóγ2 −ãäåB ≡ p2 /ρ2 u22 .2kk+1(1 + B)γ +2kk+1B+k−1=k+10,(1.3.34)37Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÐåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.34) èìååò âèä1γ1,2 =1+k(k(1 + B) ± (1 − kB)).(1.3.35)Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì äâà êîðíÿγ1 =ïðè÷åì êîðåíüγ2 = 1(ò.