Кое-что о рентгеноструктурном анализе, электромагнитном излучении, рентгеновских лучах, их свойствах и дифракции, страница 4

Очевидно, что по формуле Эйлера для комплексныхчисел eiz = cos z + i sin z это уравнение можно выразить с помощью синусоидальныхтригонометрических функций 2). Для описания классических волн обычно выбирается либо действительная, либо мнимая часть этого выражения, но в приложениях кквантовомеханическим волновым функциям, таким как волновые функции свободнойчастицы, обычно используется комплексное представление волны в экспоненциальном виде.Все бегущие волны характеризуются скоростью распространения в среде V , периодом колебаний T , длиной волны λ, частотой колебаний ν = 1/T , измеряемой в [1/с]или герцах, или связанной с ней циклической или угловой частотой ω = 2πν [рад/с],а также амплитудой E0 , которая указывает максимальное отклонение поля волныот нулевого (равновесного) значения.

Соотношения между всеми этими характеристиками легко установить из основного уравнения движения, говорящего, что«расстояние = скорость × время». Отсюда, если за расстояние принять, например,одну длину волны, очевидны такие соотношения, как λ = V T или основное волновоесоотношение V = νλ.Волны бывают продольным и поперечными. В продольных волнах смещениясреды происходят параллельно направлению распространения волны. В поперечных волнах колебания среды или поля волны перпендикулярны направлению распространения волны. Наглядным примером продольной волны может быть волнаколебаний длинной спиральной пружины, а поперечные волны можно видеть наповерхности воды или на колеблющейся натянутой струне.

Поперечные волны неспособны распространяться в газах или жидкостях, так как нет механизма для вынужденного движения этих сред в направлении перпендикулярном распространениюволны. Поэтому волны, распространяющиеся в таких средах, могут быть толькопродольными (это относится, например, к звуковым волнам).

Из физики известно,что электромагнитные волны, к которым относятся и рентгеновские лучи, являютсяпоперечными волнами, то есть векторы напряженности электрического и магнитногополей электромагнитной волны синхронно и периодически изменяются во времени ипространстве в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.Далее мы будем рассматривать только поперечные волны.Электромагнитное излучение характерно тем, что электрическая и магнитнаяволны в нем существуют одновременно и распространяются синхронно. В электро и магнитного H полеймагнитной волне векторы напряженности электрического E1)Волны с одной частотой колебаний называют гармоническими или монохроматическимиволнами.2)Очевидно, что в уравнении волны с одинаковым успехом можно использовать, как косинус, так и синус, поскольку эти две функции различаются только сдвигом по фазе на π/2, чтолегко√ учесть в аргументе функции, добавив или отняв этот фазовый сдвиг.

Мнимая единицаi = −1 в уравнении волны всегда указывает на то, что реально существующая компонента,содержащая эту единицу по фазе на π/2 отличается от действительной компоненты, котораятоже реально существует и может быть обнаружена экспериментально.1.3. Математическое описание бегущих волн (волновое уравнение)29располагаются взаимно перпендикулярно, а также перпендикулярно к направлению волны. Векторы Z, E иH образуют правовинтовую систему, т. е.распространения Z относительно вектора E располагается против хода часовой стрелки, есливектор H (см.

рис. 1.6).на них смотреть с конца вектора ZРис. 1.6. Схематическое представление мгновенной фотографии бегущей монохроматическойэлектромагнитной волны (а) с линейной поляризацией. На рисунке (б) показано распределениеэлектрического вектора волны с эллиптической поляризациейНесмотря на то, что электромагнитная волна является комбинацией электрической и магнитной волн, в случае дифракции рентгеновских лучей в кристаллахс электронной плотностью заметно взаимодействует только ее электрическая составляющая, которую и имеет смысл рассматривать.

Однако, следует отметить, чтоматематически описание изменения магнитного поля электромагнитной волны ничемне отличается от электрического.1.3.1. Параметры волнового уравнения. Для общего случая распространениямонохроматической (гармонической) волны от стационарного источника 1) уравнениедля ее поля в точке наблюдения, положение которой относительно источника задается вектором r в трехмерном пространстве (координаты x, y, z), можно записать ввиде действительной функции, какили как t) = E 0 (r) cos [ωt − ϕ(r) + ϕ0 ]E(r,(1.6) 0 (r) cos ω t − |r| + ϕ0 .

t) = EE(r,v(1.7)1)Стационарный источник испускает волны с одними и теми же параметрами длительное 0 (r). 0 (r, t) = Eвремя, а главное, что амплитуда испускаемых волн не зависит от времени, т. е. E30Гл. 1. Кое-что о рентгеноструктурном анализеЭто уравнение определяет характер изменения напряженности поля волны в точкенаблюдения в произвольный момент времени t через его значение в точке старта.Выражение аргумента косинуса в уравнении (1.6) определяет полную фазу волны вточке наблюдения.Физический смысл полной фазы [ωt − ϕ(r) + ϕ0 ] состоит в том, что с ее помощью можно определить перемещение волнового фронта волны из исходной точкив любую точку определяемую вектором r за промежуток времени t. Особенностью гармонической волны (1.6) является зависимость полной фазы ее колебанийϕs = ωt − ϕ(r ) − ϕ0 , как от времени, так и от положения точки наблюдения впространстве.В выражении полной фазы величина ωt, называемая мгновенной фазой, показывает, как меняется со временем фаза колебаний поля в точке старта.

Поле волныприходит от источника в точку наблюдения с запаздыванием на время |r|/v, врезультате чего фаза волны в точке наблюдения оказывается сдвинутой относительномгновенной фазы на величину ϕ(r) = ω · |r|/v, которая является пространственнойсоставляющей фазы.

Постоянная величина 1) ϕ0 здесь обозначает начальную фазу,с которой колебания стартуют от источника излучения. Значение начальной фазыϕ0 волны зависит от выбора момента начала отсчета времени и/или от положенияцентра декартовой системы координат. Поскольку, как правило существует свобода ввыборе системы координат, то ее обычно стараются выбрать так, чтобы можно былосчитать ϕ0 равной нулю 2).Множество точек в пространстве, в которых полная фаза волны имеет постоянноезначение, называется фронтом волны или волновым фронтом.

В физике и математике для простоты определения положения поверхностей в пространстве очень частопользуются единичными векторами, перпендикулярными к плоскости, касательнойк поверхности в данной точке, — единичными направляющими векторами n,модуль которых |n| = 1. Этот же подход применяют для определения положенияволнового фронта, который характеризуют вектором, перпендикулярным к поверхности волнового фронта и направленным вдоль распространения волны.

Очевидно,что в случае волн со сферическими и цилиндрическими фронтами, направляющиевекторы будут продолжением их радиусов, а в случае плоского фронта — нормальюк фронту, направленной в сторону распространения волны. Однако физически иматематически фронт волн оказывается эффективнее характеризовать не простоединичным вектором нормали, а вектором нормали, выраженным в единицах длиныволны. Поэтому для характеристики волновых фронтов принято использовать такназываемый волновой вектор k = n · 2π/λ перпендикулярный к волновому фронту,который не только указывает направление распространения волны, но и содержитинформацию о ее длине 3). Абсолютную величину этого вектора называют волновымчислом k = |k| = 2π/λ, которое характеризует данную гармоническую волну.1)В общем случае начальная фаза может зависеть от времени, но в рассматриваемом здесьслучае стационарного источника такой зависимости нет.2)Хотя не всегда просто определить, какова начальная фаза и где расположить началотакой системы координат, которая может обратить ее в нуль.

С этой проблемой мы столкнемсяеще не раз при рассмотрении экспериментальных методов структурного анализа.3)При рассмотрении дуалистической природы электромагнитного излучения волновой вектор удобен тем, что он фактически равен моменту количества движения (импульсу) фотона,который даже принято обозначать в формулах тем же знаком k. В оптике и спектроскопиичасто волновым числом называют величину обратную длине волны (1/λ), и тогда волновойвектор равен импульсу фотона с точностью до постоянного масштабного множителя 2π.1.3. Математическое описание бегущих волн (волновое уравнение)31В общем случае амплитуда волны E 0 (r) может меняться с удалением от источника, и известен широкий класс волн, в том числе электромагнитных, где этопроисходит.

Наиболее простыми примерами волн, амплитуда которых меняется помере распространения, являются цилиндрические и сферические волны. Представление о цилиндрических волнах можно почерпнуть из наблюдений волн на поверхности воды в водоеме, после того, как в него брошен камень. Амплитуда ифаза колебаний четверки векторов цилиндрической волны имеет постоянное значение на концентрических поверхностях вдоль оси симметрии которых расположеныисточники колебаний. На достаточно большом расстоянии r точки наблюдения отисточника колебаний амплитуда,создаваемой им цилиндрической волны, убывает√обратно пропорционально r . Амплитуда и фаза колебаний сферической волныимеют постоянные значения на концентрических сферических поверхностях, в центресимметрии которых расположены источники колебаний.

На достаточно большомрасстоянии r точки наблюдения от источника колебаний амплитуда, создаваемой имсферической волны, убывает обратно пропорционально r.Упрощенная кинематическая теория дифракции рентгеновских лучей, на которойоснован рентгеноструктурный анализ, в основном работает с еще более простымклассом волн — с плоскими электромагнитными волнами. Плоской называетсяволна, амплитуда которой неизменна на любом расстоянии от источника, т. е.

длянее E 0 от r не зависит. Физически это можно представить как рентгеновское излучение, состоящее из параллельных лучей, или можно сказать, что в плоской волнеплотность потока энергии, переносимой волной через единицу площади неизменнана любом расстоянии от источника. В таком случае уравнение плоской волны можнозаписать в виде r , t) = E 0 cos [ωt − ϕ(r) + ϕ0 ] = E 0 cos ω t − |r| + ϕ0 .E((1.8)VЭто уравнение отличается от (1.7) тем, что здесь амплитуда E 0 не зависит отрасстояния до источника. Для рассматриваемого случая плоской волны волновымфронтом является любая плоскость перпендикулярная направлению распространенияволны.1.3.2.

Поляризация плоской волны. Обычно в реальной жизни чаще всеговстречаются электромагнитные волны, излучаемые некогерентными источниками,в которых вектор поля имеет направление, случайным образом меняющееся вовремени. Это относится и к электромагнитным волнам естественного света илихарактеристическому рентгеновскому излучению рентгеновских трубок. Такиеволны называют неполяризованными. Однако до наблюдателя они чаще всего доходят после рассеяния на каких-либо препятствиях, в результате чего распределениевектора напряженности в волне приобретает некоторую закономерность, при которойвектор напряженности преимущественно ориентирован по определенным направлениям.

Такие волны называют частично поляризованными и характеризуют степеньюполяризации. Количественно степень поляризации частично поляризованной волныизмеряется величиной отношения средней по времени интенсивности поляризованной части излучения к полной интенсивности излучения, переносимого волной.При этом считается, что интенсивность (плотность энергии, переносимой волной)пропорциональна квадрату модуля поля, а при усреднении по времени интенсивность равна квадрату модуля амплитуды поля волны. Поляризация является оченьважной характеристикой электромагнитной волны, определяющей ее взаимодействиесо средой.