Кое-что о рентгеноструктурном анализе, электромагнитном излучении, рентгеновских лучах, их свойствах и дифракции, страница 7

е. скорость колебаний заряданерелятивистская, а амплитуда колебаний значительно меньше длины волны. Вэтом случае мощность рассеяния плоской неполяризованной волны под углом αк направлению распространения первичной волны в единичный телесный угол Ω(или эффективное сечение рассеяния) можно выразить с помощью второго законаНьютона довольно простыми формулами 1), соответственно:dP1e4E 2 (1 + cos 2 α)(1.12)=dΩ8πmc3 0 21)Вывод формул, описывающих томсоновское рассеяние, можно найти, например, в книгахИверонова и Ревкевич, 1978; Потылицын, 2005 или § 1.7.1 данной главы.38Гл.

1. Кое-что о рентгеноструктурном анализеили для дифференциального сечения рассеяния (т.е. для усредненной мощностирассеяния в единицу телесного угла) 2 2 1 dPdσdPe1=1 + cos2 α = re2 1 + cos2 α ,(1.13)=2dΩdΩdSmc22или для эффективного сечения рассеяния1 2re 1 + cos2 α dΩ.(1.14)2Здесь c — скорость света, dΩ — элемент телесного угла для рассеянного фотона, α —угол рассеяния, а через re, как обычно, обозначен классический радиус электрона[re = e2 /(mc2 ) ∼= 2,818 · 10−15 м], понятие о котором было введено Дж.

Дж. Томсоном.Множитель (1 + cos2 α)/2 в этих формулах учитывает поляризационную зависимостьмощности и называется поляризационным множителем. Если проинтегрировать формулу (1.7) по телесному углу в пределах полной сферы с центром в точке взаимодействия, то можно получить полное сечение:dσ =8 2πr ,(1.15)3 eкоторое называется сечением томсоновского рассеяния. Понятно, что полное сечениетомсоновского рассеяния является константой (σT ≈ 6,65 · 10−25 см2 ) и не зависитот длины волны или энергии фотонов рассеиваемого света.В рассмотренном выше классическом случае томсоновского рассеяния на покоящемся электроне электрон колеблется с вынуждающей его колебания частотой νпервичной электромагнитной волны, но при этом остается на месте.

Поэтому излучаемая электроном рассеянная волна всегда имеет ту же частоту ν, что и первичнаяволна, которая заставляет его колебаться. Данный критерий области существованияклассического томсоновского рассеяния можно выразить соотношениемσT =hν mc2 ,(1.16)1)сравнивающим энергию рассеиваемого фотона с энергией покоя электрона . Еслиэтот критерий нарушается, т. е.

энергия рассеиваемой волны сравнима с энергиейэлектрона, то необходимо учитывать передачу импульса и энергии свободному электрону и проводить рассмотрения процесса в рамках квантовой электродинамики.1.5.1.3. Рэлеевское (упругое) рассеяние. Другим примером упругого рассеяниясвета является рэлеевское рассеяние. Рэлеевское рассеяние — это частный случайкогерентного рассеяния света на более крупных и тяжелых по сравнению с электроном неоднородностях, таких как атомы, молекулы или оптические неоднородностисреды. Условием рэлеевского рассеяния является достаточная малость рассеивателей,их размеры должны быть значительно меньше длины волны рассеиваемого света.Рэлеевское рассеяние исторически было описано раньше томсоновского. Данноеявление было впервые проанализировано применительно к видимому свету (рассматривалась простейшая модель рассеяния волн на гармоническом осцилляторе с массойm и зарядом e) английским физиком Дж.

Рэлеем, который в 1871 г. получил формулувида 2 2 4νe8πσR =(1.17)23 mcν01)Энергия покоя электрона me c2 = 0,5110034 МэВ.1.5. Корпускулярные свойства рентгеновских лучей39для полного сечения рассеянного излучения. Дифференциальное сечение dσR рэлеевского рассеяния зависит от угла рассеяния α между направлениями падающей ирассеянной волн (кинематическая схема рассеяния полностью аналогична рис.

1.9),как3dσR (α) = σP (1 + cos2 α) sin αdα.(1.18)8Теоретически рэлеевское рассеяние рассматривается в дипольном приближении, гдеисточником рассеянного излучения считается рассеивающий электрический диполь.При этом предполагается, что частота рассеиваемого излучения существенно меньшеосновной собственной частоты колебаний рассеивающей системы (т.

е. ν ν0 ) 1).В отличие от томсоновского рассеяния, сечение рэлеевского рассеяния зависит отдлины волны рассеиваемого света. Основной особенностью этого типа рассеяниясвета, как видно из формулы для сечения, является пропорциональность полногосечения эффекта четвертой степени частоты излучения 2) или λ−4 . При ν → ν0(что практически всегда имеет место в случае рассеяния на электронах) сечениерэлеевского рассеяния превращается в рассмотренное выше сечение томсоновскогорассеяния.1.5.1.4. Комптоновское (неупругое) рассеяние.

Наконец, третим видом рассеяния электромагнитного излучения являетсянеупругое рассеяние с изменением длины волны, известное как эффект Комптона иликомптоновское рассеяние. Свойство рентгеновских лучей менять свою энергию (длинуволны) в результате эффекта Комптона, 3) яв- Рис. 1.10.Кинематическая схемаляется чисто корпускулярным свойством. Дан- комптоновского рассеяния фотонаный тип рассеяния может быть объяснен с по- с импульсом k1 и энергией ω1зиций классической или квантовой электроди- на покоящемся электроне.

Посленамики 4), если рассматривать излучение как столкновения рассеянный электронпоток фотонов с импульсом (моментом коли- получает импульс p2 , а у рассеянногочества движения) k = hν/c. При рассеянии на кванта остается импульс k2 иэнергия ω2покоящемся электроне высокоэнергетическогоэлектромагнитного излучения, энергия квантовкоторого приближается к энергии покоя электрона mc2 , фотон может передаватьчасть своего импульса электрону и смещать его из исходной позиции (схема1)В то время, когда Дж. Рэлей проводил свои исследования, еще не было теории строенияатома и не было известно, что могут быть такие легкие частицы, как электроны, которыеэлектромагнитная волна может раскачать до частоты своих собственных колебаний.2)Зависимость сечения рассеяния от длины волны, описываемая формулами (1.17) и (1.18),позволила Дж.

Рэлею объяснить причину голубого цвета неба. Из полученных формул следует,что из спектра солнечного света на молекулах атмосферных газов сильнее рассеиваются волныс более высокой частотой, т. е. голубые, и поэтому небо вдали от солнечного диска выглядитголубым.3)Название эффекта носит имя его открывателя — американского физика Артура Комптона, лауреата Нобелевской премии 1927 г., который обнаружил эффект неупругого (т.

е. сизменением длины волны) рассеяния рентгеновских лучей и дал ему научное объяснение(Compton, 1923). Он же при этом впервые ввел понятие «фотона».4)Для полного описания эффекта Комптона необходимо рассматривать его в рамкахквантовой электродинамики, хотя многие его свойства легко получаются и с помощью классической теории.40Гл.

1. Кое-что о рентгеноструктурном анализерис. 1.10). Характеристики процесса неупругого рассеяния можно определить иззаконов сохранения энергии и импульса при реакции взаимодействия двух частиц:фотона с энергией ω1 и начальным импульсом k1 и покоящегося электрона с энергиейε1 = mc2 и начальным импульсом p1 равным нулю.Для рассматриваемой на рис.

1.10 системы частиц законы сохранения энергии иимпульса можно записать соответственно в видеω1 + mc2 = ω2 + ε2.(1.19)k1 = k2 + p2Здесь и далее индекс 2 относится к энергии и импульсу электрона и фотона послеакта рассеяния, а также к телесному углу рассеяния квантов 1). Если из данныхуравнений выразить энергию и импульс электрона после взаимодействия из формул(1.19), возвести полученные выражения в квадрат и воспользоваться соотношением 2)p2 )2 c2 = (mc2 )2 , то можно получить формулу Комптона в шкале энергий:(ω2 )2 − (ω1.(1.20)ω2 =1 + (ω1 /mc2 )(1 − cos α)Из формулы (1.20) следует, что при нулевом угле рассеяния α энергия фотонане меняется, тогда как при рассеянии назад (угол рассеяния α = π) электронупередается максимальное количество энергии и его энергия становится равной:ω1εmax= mc2 + 2ω1 2,(1.21)2mc + 2ω1а энергия рассеянного фотона падает до минимального уровня:ω1.ω2min =1 + 2(ω1 /mc2 )(1.22)В случае низкоэнергетических фотонов, т.

е. при ω1 /mc2 → 0, выполняется условие (1.16) и формула Комптона (1.20) дает классический результат томсоновскогорассеяния, при котором ω2 → ω1 и рассеяние происходит без изменения исходнойчастоты фотона.1)П р и м е ч а н и е: При описании теории комптон-эффекта сложилась традиция обозначатьв формулах энергию фотонов символом ω, а энергию электронов (обычно выражаемую вединицах энергии покоя) символом ε, во избежание путаницы между электронами и фотонамии употребления для различения множества их подстрочных индексов. По этой же причинеимпульс фотона обозначается буквой k, а импульс электрона буквой p. Эти обозначенияне совсем обычны, поскольку в большинстве случаев в физике через ω обозначают циклическую частоту, но, тем не менее, мы будем придерживаться этой традиции при описаниикомптоновского рассеяния, чтобы не заниматься переобозначениями в формулах, взятых изпервоисточников, и не вносить ненужных опечаток.

Но просим читателей обратить вниманиена особенность этих обозначений и их отличия от обозначений, используемых в другихразделах.2)Это одно из фундаментальных соотношений для описания столкновения и реакциичастиц в релятивистском случае (см. Фейнман и др. 1976. Вып. 2, гл.

16, § 5). Например,при столкновении двух частиц на короткое время возникает новое составное тело с массойM , которое может распадаться на две новых части. Чтобы не разбираться, какую частьэнергии этой частицы считать энергией покоя тех частей, на которые она распадается, принятоговорить просто о полной энергии E этой составной частицы. Полная энергия связана с массойM , импульсом p и скоростью v соотношениями E 2 − p2 c2 = (M0 c2 )2 и pc = Ev/c, где M0 —масса покоя составной частицы.1.5. Корпускулярные свойства рентгеновских лучей41Дифференциальное сечение рассеяния фотона при эффекте Комптона в общемслучае (для неполяризованных первичных фотонов) выражается формулой КлейнаНишины 1) 2 ω2ω21ω1dσ= re2+− sin2 α ,(1.23)dΩ22ω1ω1ω2где ω1 и ω2 — энергии (или частоты) падающего и рассеянного квантов, связанные соотношением Комптона (1.20). Эту формулу в 1929 г.