Кое-что о рентгеноструктурном анализе, электромагнитном излучении, рентгеновских лучах, их свойствах и дифракции, страница 8

вывели О. Клейн иИ. Нишина, используя математический аппарат квантовой механики, учитывающийспин электрона. Формула Клейна-Нишины указывает, что комптоновское рассеяниепреобладает под малыми углами рассеяния, и хорошо согласуется с экспериментом.Так как в пределе низкоэнергетических фотонов (hν1 mc2 ) величина ω1 ≈ ω2 , тоуравнение (1.23), аналогично формуле Комптона, начинает описывать классическоетомсоновское рассеяние с сечением (1.14).Интересно рассмотреть пространственное распределение интенсивности комптоновского рассеяния и его зависимость отэнергии первичных фотонов в сравнении сэнергией покоя электрона 2). Для наглядного представления этого распределенияпри рассеянии света (и рентгеновских лучей) принято пользоваться полярной диаграммой, называемой также индикатрисой рассеяния, которая показывает распределение относительной интенсивностирассеянного излучения по направлениям.Индикатрисы для разных значений относительной энергии y = ω1 /(mc2 ) первичных квантов можно рассчитать с помощьюуравнения (1.23), учитывая сечение эффекта (1.14).

Подобные диаграммы, рассчитанные для нескольких сильно отлича- Рис. 1.11. Полярная диаграмма пространющихся значений относительной энергии ственного распределения дифференциального сечения комптоновского рассеяния непоy = ω1 /(mc2 ), показаны на рис. 1.11.Из приведенных графиков видно, что ляризованных фотонов на свободном покоящемся электроне для различных значенийпри увеличении энергии фотонов, во-пер- отношения y = ω /mc2 ) (значения указаны1вых, сужается угловое распределение, и, около кривых); α — угол рассеяния фотоновво-вторых, уменьшается полное сечение относительно направления распространениярассеяния. При y 1 (жесткое гамма- первичного фотона.

График взят из статьиМитрофанова (1986)излучение) сечение рассеяния уменьшается, а диаграмма дифференциального сечения теряет симметрию и вытягиваетсявперед. При y 1 (мягкие рентгеновские лучи) сечение стремится к томсоновскомупределу, и угловое распределение (индикатриса) дифференциального сечения, подобно индикатрисе томсоновского рассеяния, становится симметричной относительноплоскости α = 90◦ .1)См., например, Терентьев М. В. Физ. энциклопедия. Т.

2. М: М.: «Большая Российскаяэнциклопедия» — (1990), С. 375.2)Энергия покоя электрона mc2 ≈ 511 кэВ.42Гл. 1. Кое-что о рентгеноструктурном анализеТаким образом, процессы комптоновского и томсоновского рассеяния кванта напокоящемся электроне переходят друг в друга при изменении частоты (или энергии) рассеиваемого излучения. Для низкоэнергетических фотонов, удовлетворяющихусловию (1.16), рассеяние является преимущественно томсоновским, т. е. рассеяниерентгеновских лучей происходит без изменения длины волны, его интенсивностьопределяется сечением (1.15), а пространственное распределение характеризуетсяиндикатрисой тип 0 на рис.

1.11.Рис. 1.12. Пример спектрального сдвига из-за эффекта Комптона при рассеянии характеристического излучения рентгеновской трубки с Мо анодом в графите. Пунктирной линией показанспектр излучения рентгеновской трубки, а сплошной линией спектр после рассеяния под углом90◦ . Длина волны рассеянного излучения составила λθ = 0,730 Å по сравнению с длинойволны λ0 = 0,708 Å первичного излучения Mo Kα. Спектр был измерен с помощью угловогосканирования монокристаллом кальцита (брэгговское отражение).

По абсциссе указаны значения угла θ отражения от поверхности этого монокристалла, которые можно легко пересчитатьв значения длин волн по формуле Брэгга–Вульфа, которая рассматривается далее в настоящейглаве (угол θ, указанный на абсциссе, равен брэгговскому углу для формулы Брэгга–Вульфа(1.53), или половине угла θ, обозначенного как угол рассеяния на рис. 1.10).

Рисунок взят изпервой публикации Комптона на эту тему (Compton, 1923)Насколько сильно эффект Комптона проявляется при исследовании веществ спомощью рентгеновских лучей? В первом исследовании этого эффекта, результатыкоторого были опубликованы в 1923 году (Compton, 1923), при рассеянии характеристического излучения рентгеновской трубки в графите было обнаружено заметноеувеличение длины волны (рис. 1.12). Приведенные данные показывают, что изменение длины волны λ (а следовательно, энергии ω или частоты ν) фотонов в результатекомптоновского рассеяния составляет около 3 %, т. е. не очень большое.

При подстановке энергии фотона в виде ω = hc/λ из формулы (1.20) можно получить изменениедлины волны рентгеновских лучей Δλ = λ2 − λ1 , вызванное комптон-эффектом:αα2hΔλ =· sin2= 0,0485 sin2[Å],(1.24)mc22где угол рассеяния α определяется кинематической схемой рис. 1.10. Из полученноговыражения следует, что изменение длины волны Δλ фотона при комптоновскомрассеянии не зависит от исходной длины волны фотона. Оно целиком опреде-1.5. Корпускулярные свойства рентгеновских лучей43ляется углом рассеяния при столкновении и достигает максимального значенияΔλmax = 0,0485 Å при обратном рассеянии (на угол θ = 180◦ ), т.

е. когда фотон послестолкновения с электроном отлетает назад 1).В отличие от изменения длины волны, интенсивность (дифференциальное сечениерассеяния) комптоновского рассеяния рентгеновских лучей в веществе увеличивается с ростом отношения (sin α)/λ, что подтверждается данными, показанными нарис.

1.11, а также зависит от силы, с которой рассеивающий электрон связан с атомом. Эффект комптоновского рассеяния максимален для почти свободных внешнихэлектронов легких атомов. Вероятность эффекта возрастает с увеличением энергииизлучения. Его интенсивность пренебрежимо мала при длине волны рентгеновскогоизлучения больше 1 Å, но уже на излучении Mo Kα(λ = 0,71069 Å) эффектКомптона можно наблюдать экспериментально.

В некоторых случаях интенсивностьэтого эффекта становится настолько высокой, что ее необходимо учитывать при рентгеноструктурном и рентгеноспектральном анализе. Существуют специальные методыисследования структуры веществ с использования свойств эффекта Комптона 2).1.5.1.5. Обратный комптон-эффект. Большой практический интерес представляет неупругое рассеяние фотонов на электронах, движущихся с высокимискоростями, например, в ускорителях или в космосе (см., например, Арутюнян, Туманян, 1964; Сюняев, 1986).

Интересно, что при таком рассеянии может происходитьтак называемый обратный комптон-эффект (ОКЭ), в результате которого энергияпередается от электрона фотону и длина волны рассеянного кванта становитсянамного меньше, чем она была у первичного до рассеяния. Результат обратногокомптоновского рассеяния может очень сильно отличаться от рассмотренных толькочто классических случаев рассеяния фотонов на покоящемся свободном электроне.Это отличие особенно велико в случае релятивистских или ультрарелятивистскихэлектронов.Общий случай кинематики рассеяния при столкновении фотона и движущегосяэлектрона изображен на схеме рис.

1.6.Для начала рассмотрим рассеяние фотонов видимого света (энергия квантаω1 = hν1 1 эВ) на релятивистском электроне 3), обладающем большой энергией, на1)Указанное максимальное изменение длины волны при Комптон-эффекте (Δλmax == 0,0485 Å) при рассеянии назад в физике принято выражать в виде Δλmax = 2λC = 2h/(me c)через физическую константу λC , называемую комптоновской длиной волны электрона. Комптоновская длина волны используется в качестве характерной меры длины для релятивистскихквантовых процессов.

Согласно принципу неопределенности, на расстояниях меньше этойдлины частицу нельзя рассматривать как точечный объект. Из-за использования в формулахклассической и квантовой электродинамики разных значений постоянной Планка, величиныλC в этих теориях различаются между собой на 2π. Поэтому при вычислениях для электрона– ≈ 3,9 · 10−11 см.могут использоваться два значения длины волны: λC ≈ 2,4 · 10−10 см или λCКомптоновская длина волны точно так же определяется, например, и для протона, но из-заразницы масс она будет примерно на три порядка меньше чем у электрона.2)Вследствие зависимости интенсивности комптоновского рассеяния от прочности связиэлектронов в атоме и его чувствительности преимущественно к валентным электронам,исследование профилей интенсивности комптоновского рассеяния эффективно используетсядля изучения электронной структуры твердых тел, состояния ионов, энергии электронов ит.

д. Информация, получаемая с помощью измерения эффекта Комптона в этой области,более точна, чем при брэгговском рассеянии, в силу его некогерентности и независимости отсовершенства кристалла3)Релятивистскими называют частицы, движущиеся со скоростями v близкими к скорости света c. Релятивистскими электронами принято называть движущиеся электроны сэнергией сравнимой с удвоенной энергией покоя, т. е. электроны с энергией ε 2mc2 .44Гл. 1. Кое-что о рентгеноструктурном анализепример, εe 100 МэВ (или γ > 1 · 102 ). Этот случай соответствует условию ω1 εe .Для простоты будем рассматривать случай лобового столкновения (θ1 = π).

Прирассмотрении целесообразно воспользоваться уже проторенным путем, который былпроложен нами при знакомстве с рассеянием этого типа на покоящемся электроне.Формулы, описывающие классическийкомптон-эффект можно применить к рассеянию на движущемся электроне, если перейтив систему отсчета, где электрон покоится.

Такой переход осуществляется с помощью релятивистского преобразования Лоренца (см.,например, Потылицын, 2005). После перехода в систему координат электрона 1) привыбранных параметрах электронов и фотоновэнергия фотона здесь тоже будет намногоменьше энергии электрона, но уже энергиипокоя, что можно выразить соотношениемРис. 1.13. Геометрия комптоновскогорассеяния. Кривой линией обозначенаплоскость столкновения (плоскость, вкоторой лежат направления движенияпервичных фотона и электрона). Сплошные прямые линии указывают направления движения электрона до и послерассеяния, а волнистые линии то же дляфотона. Рассеянные фотоны и электроныимеют право распространяться под любыми углами в пределах 4π стерадиан.Начало отсчета углов для рассеяния выбрано от направления движения начального релятивистского электрона. Энергия фотона ω = hν и электрона ε до ипосле рассеяния различаются подстрочными индексами 1 и 2.