НадежностьТС_РезервВосстан (Раздаточные материалы), страница 5

Этот метод удобен тем, что при приблизительно одинаковой эффективности требует значительно меньшегообъема вычислений, чем методы динамического программирования.Рис. 7. Блок-схема алгоритма для метода наискорейшего спуска30Алгоритм метода заключается в следующем:1) для каждого i-го участка резервирования системы в некоторый фиксированный интервал времени t0 при различном числе резервных элементов xi вычисляют значения вероятностей безотказной работы Pi ( xi );2) cоставляют сводную таблицу значений Li ( xi ) при различных значениях xi , где Li ( xi ) = − log Pi ( xi );3) используя составленную в п. 2 таблицу значений Li ( xi ) иизвестные значения «весов» элементов wi составляют таблицу значений gi ( xi ), которые рассчитывают для всех значений i и различных значений xi по формулеgi ( xi ) =Li ( xi ) − Li ( xi − 1);wi4) все значения gi ( xi ) в составленной в п.

3 таблице перенумеровывают в порядке убывания;5) осуществляют многошаговый процесс, пример которогоприведен ниже.На шаге 1 выполняют следующее:а) выбирают g (1) = g (1)j – максимальную величину из величинgi (1);б) отыскивают соответствующую величину L j (1);в) вычисляют значение L(1) = L(0) − L j (0) + L j (1), где L(0) – начальный логарифм вероятности безотказной работы системы;г) вычисляют значение W (1) = W (0) + w j , где W (0) – начальныйсуммарный «вес» системы.На шаге 2 выполняют следующее:а) выбирают g (2) – максимальную величину из оставшихся величин gi (1) для i ≠ j или g j (2);б) отыскивают соответствующую величину Li (1) (или L j (2),если номер 2 имеет величина g j (2));31в) вычисляют одно из значений: L(2) = L(1) − Li (0) + Li (1), илиL(2) = L(1) − L j (1) + L j (2);г) вычисляют значение W (2) = W (1) + wi , или W (2) = W (1) + w j .m⎛⎞Этот процесс прекращается на таком шаге N ⎜ max N = ∑ xi ⎟ ,⎜⎟i =1 ⎠⎝когда для задачи (1) оптимального резервирования выполняетсяусловиеP ( N −1) < P0 ≤ P ( N )или для задачи (2) выполняется условиеW ( N ) ≤ W0 < W ( N +1) .Метод наискорейшего спуска при наличии нескольких ограничений.

Алгоритм метода заключается в следующем:1) сначала для каждого i-го участка резервирования системы,так же как для задачи с одним ограничением, в некоторый фиксированный интервал времени t0 при различном числе резервныхэлементов xi вычисляют значения вероятностей безотказной работы Pi ( xi );2) составляют сводную таблицу значений Li ( xi ) при различных значениях xi , где Li ( xi ) = − log Pi ( xi );3) используя составленную в п. 2 таблицу значений Li ( xi ) иизвестные значения «весов» элементов wi и задаваясь векторомприоритетов {a1 , ..., am }, составляют таблицу значений gi ( xi ),которые рассчитывают для всех значений i и различных значенийxi по формулеgi ( xi ) =Li ( xi ) − Li ( xi − 1)m;∑ wi aii =14) все значения gi ( xi ) в составленной в п.

3 таблице перенумеровывают в порядке убывания;325) осуществляют многошаговый процесс (точно такой же, как идля одного ограничения).Векторы {a1 , ..., am } можно варьировать по собственному усмотрению от {1,0,...,0} до {0,..., 0, 1} с произвольным шагом Δ < 1.Легко видеть, что с увеличением числа ограничивающих факторовчисло комбинаций резко увеличивается, а для каждой из них практически приходится делать то же самое, что ранее для одного ограничения. Поэтому рекомендуется определиться в своих приоритетахпо ограничению и варьировать их относительно данной точки.Пример. Рассмотрим систему, состоящую из четырех модулей,для которых известны масса и интенсивность отказов (табл.

1).Таблица 1Номер элементаМасса, гИнтенсивность отказов, 1/ч1234201613185 ⋅ 10 –52 ⋅ 10–56 ⋅ 10–52,5 ⋅ 10–5Время работы системы Т = 10 000 ч. Будем считать переключатели абсолютно надежными. Масса системы не должна превышать350 г. Требуемая надежность составляет 0,999.С помощь программы, реализующей алгоритм поиска оптимального резервирования, рассчитаем четыре варианта резервирования:1) горячее;2) облегченное с коэффициентом облегчения, равным 0,6;3) облегченное с коэффициентом облегчения, равным 0,3;4) холодное.Начальная схема системы представлена на рис. 8.Для рассматриваемых в примере вариантов резервированияпрограмма предлагает один и тот же вариант оптимального резервирования, который приведен в табл. 2 и на рис. 9.Таблица 2ЭлементКоличество резервных элементовЭлементКоличество резервных элементов1253346333Рис. 8.

Начальная схема системыРис. 9. Система с оптимально подобранными резервирующимиэлементамиМасса резервированной системы составит 347.Надежность системы равна:0,98908 – для горячего резервирования;0,99355 – для облегченного с коэффициентом облегчения 0,6;0,99590 – для облегченного с коэффициентом облегчения 0,3;0,99798 – для холодного.Результаты работы программы подтверждают теоретическиевыводы.342. НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,РАБОТАЮЩЕЙ В УСЛОВИЯХ НАЛИЧИЯ ОТКАЗОВИ ВОССТАНОВЛЕНИЯПри изучении сложных ТС используют математические модели, основанные на марковских процессах. Основные понятия марковского процесса: состояние и переход системы из одного состояния в другое.

Сложные ТС в любой момент времени находятсяв одном из возможных состояний. Состояние системы часто описывается числом работоспособных элементов. Если рассматриватьпереходы системы из одного состояния в другое и точно пронумеровать их во времени, поведение системы можно представить какпроцесс с дискретным временем.Пусть ТС находится в одном из X1, X2,…, XN возможных состояний, где номер состояния системы j = 1,…, N.

Переход из одного состояния в другое называется шагом процесса. Для описанияповедения ТС достаточно ввести набор условных вероятностей pijтого, что осуществится переход из Xi в Xj, и задать исходное состояние, в котором находилась система в начальный момент времени. Обозначим p (ti, Xi, tj, X) вероятность того, что система, находясь в момент ti в состоянии Xi, в момент tj окажется в одном изсостояний множества X. Если дополнительные знания о системе вуказанные моменты не изменяют этой вероятности при любых ti,Xi, tj, X, то мы имеем дело с марковским процессом.

Марковскаямодель применяется в случаях: 1) если каждый из элементов системы имеет приблизительно экспоненциальное распределениевремени безотказной работы; 2) знание какой-либо предысториисистемы не представляет большой ценности для предсказания ееповедения в будущем.При анализе надежности ТС их функционирование обычно рассматривается как случайный процесс перехода ТС из одного состояния в другое, обусловленный отказами и восстановлениями составляющих систему элементов. Этот процесс при определенныхусловиях может быть достаточно строго описан дискретно-непрерывным марковским процессом.

Наибольшее распространениепри анализе надежности ТС получили поэтому марковские процессы с непрерывным временем и конечным числом состояний.35Отдельную реализацию дискретного марковского процессаможно представить графически в виде ступенчатой функции. Процесс X(t) может принимать только дискретные значения X1, X2, …,XN. Смена этих значений – состояний процесса – происходит в некоторые случайные моменты времени ts.Рассмотрим дискретно-непрерывный случайный марковскийпроцесс Х = Х(t), где X принимает дискретные значения Xi, i = 1, 2,а время t изменяется непрерывно.Процесс функционирования ТС можно описать ступенчатойкривой вида (рис.

10), т. е. состояние ТС X(t) может приниматьтолько дискретные значения X1 (ТС работает) и X2 (ТС не работает), причем смена этих значений (состояний) происходит в некоторые случайные моменты времени. Введем вероятности pi(t) нахождения ТС в состоянии Xi. Очевидно, что p1(t) + p2(t) = 1.Рис. 10. Представление функционирования ТС в виде ступенчатойкривойПоведение системы с точки зрения работоспособности опишемграфом перехода (рис. 11). На рис. 11 кружки означают состояниесистемы Xi и соответствующую вероятность нахождения в этомсостоянии pi(t), а стрелки – направление переходов системы и параметры соответствующих потоков λij.Рис. 11.

Представление функционирования ТС в виде графа362.1. Уравнение Колмогорова – ЧепменаФормализуем функционирование системы в условиях наличияотказов и восстановления. Рассмотрим поведение системы в некотором интервале времени [t, t + Δt]. Тогда ТС в момент t + Δt будет находиться в рабочем состоянии X1 (обозначим это случайнымсобытием A, рис.

12), если она в предшествующий момент t находилась в этом же состоянии X1 и за время Δt не наблюдалось отказов (случайное событие B, рис. 13, а), а также если ТС в моментвремени t находилась в состоянии X2 и за время Δt был окончен ееремонт (случайное событие C, рис.13, б). Тогда по формуле полной вероятности получимp1 (t + Δt ) = p ( A) = p( B) + p(C ).Рис. 12.

Случайное событие AРис. 13. Случайные события В (а) и С (б)Вычислим вероятность p(В) события В, которое имеет местопри одновременном появлении следующих событий: в моментвремени t ТС находилась в рабочем состоянии X1 (случайное со37бытие B1, рис. 14, а) и в последующий момент t + Δt ТС будет находиться в том же состоянии X1 (случайное событие B2, рис. 14, б)при условии, что за время Δt не наблюдалось отказов. То естьp ( B) = p ( B1 ∩ B2 ).Рис. 14. Случайные события В1 (а) и В2 (б)Тогда по формуле умножения вероятностей получимp ( B ) = p1 (t ) p ( B1 | B2 ).Если поток отказов подчиняется закону Пуассона, то условнаявероятность p ( B1 | B2 ) будет такова:⎡t +Δt⎤⎢ ∫ λ12 (t ) dt ⎥⎣⎢ t⎦⎥p ( B1 | B2 ) =mt +Δt−m!где m – количество отказов за время Δt.В нашем случае m = 0, поэтомуe∫λ12 (t ) dtt,t +Δt−p ( B1 | B2 ) = e∫λ12 (t ) dtt.Применяем теорему о среднем и раскладываем полученнуюэкспоненциальную функцию в ряд Тейлора по степеням Δt (учитывая, что значение Δt мало):t +Δtp ( B1 | B2 ) = e38−λ12 (t* )∫tdt= e −λ12 (t* ) Δt = 1 − λ12 (t* )Δt + Ο(Δt ).Таким образом, получимp ( B ) = p1 (t ) [1 − λ12 (t* ) Δt + Ο(Δt ) ].Теперь вычислим вероятность p(C) события C, которое имеетместо при одновременном появлении следующих событий: в момент времени t ТС находилась в нерабочем состоянии X2 (случайное событие C1, рис.

15, а), в последующий момент t+Δt ТС совершит переход в рабочее состояние X1 (случайное событие C2,рис. 15, б) при условии, что в последующий момент времени отказневозможен (событие C3, рис. 15, в). То естьp (C ) = p (C1 ∩ C2 ∩ C3 ) = p(C1 ) p (C2 | C1 ) p (C3 | C2 , C1 ).Рис. 15. Случайные события С1 (а), С2 (б) и С3 (в)Вспомогательные условные вероятности p(C2|C1) и p(C3|C2,C1)вычисляются аналогично условной вероятности p(B1|B2) также впредположении, что поток восстановления подчиняется законуПуассона:⎡t +Δt⎤⎢ ∫ λ 21 (t )dt ⎥⎢⎥⎦p (C2 C1 ) = ⎣ tm!mt +Δt−e∫λ21 ( t ) dt= ... = λ 21 (t* ) Δt + Ο(Δt );tm =1p (C3 C2 , C1 ) = ... = 1 − λ 21 (t* )Δt + Ο(Δt ).39Таким образом, с учетом условных вероятностей p(C2|C1) иp(C3|C2, C1) получимp (C ) = p2 (t ) [ λ 21 (t∗ )Δt + Ο( Δt ) ][1 − λ 21 (t∗ )Δt + Ο(Δt ) ] ≈≈ p2 (t )λ 21 (t∗ ) Δt + Ο(Δt ).Итак, обобщим полученные результаты для вероятностиp1(t + Δt) нахождения ТС в момент времени t + Δt в состоянии X1:p1 (t + Δt ) = p( B) + p(C ) == p1 (t ) p( B1 B2 ) + p2 (t ) p(C2 C1 ) p(C3 C2 , C1 ) ≈≈ p1 (t ) − p1 (t ) λ12 (t∗ )Δt + p2 λ 21 (t∗ )Δt + O(Δt ).После преобразования получимp1 (t + Δt ) − p1 (t )Ο(Δt )≈ −λ12 (t∗ ) p1 (t ) + λ 21 (t* ) p2 (t ) +.ΔtΔtC учетом того, что Δt → 0 и t* → t , получимdp1 (t )= −λ12 (t ) p1 (t ) + λ 21 (t ) p2 (t ).dt(3)Аналогично выводится дифференциальное уравнение для состояния Х2:dp2 (t )= − λ 21 (t ) p2 (t ) + λ12 (t ) p1 (t ).dt(4)Замечание.

Если бы марковский случайный процесс Марковаимел не два состояния, а три, то получили бы три дифференциальных уравнения.Добавим к дифференциальным уравнениям (3) – (4) начальныеусловия p1 (t = 0) = p1 (0), p2 (t = 0) = p2 (0) и условие нормировкиp1 (t ) + p2 (t ) = 1. Полученная система имеет вид40⎧ dp1 (t )⎪ dt = − λ12 (t ) p1 (t ) + λ 21 (t ) p2 (t );⎪⎪ dp2 (t ) = −λ (t ) p (t ) + λ (t ) p (t );212121⎨⎪ dt⎪ p1 (0), p2 (0);⎪ p (t ) + p (t ) = 12⎩ 1и называется уравнением Колмогорова – Чепмена.Таким образом, уравнение Колмогорова – Чепмена позволяетадекватно описать процесс функционирования системы в условияхналичия отказов и восстановления, т.