НадежностьТС_РезервВосстан (Раздаточные материалы), страница 3

Тем не менее резервирование – один из наиболее распространенных методовповышения надежности, так как оно позволяет сравнительно просто получить требуемую безотказность системы. Проблемы, которые приходится решать при этом, значительно проще проблем,возникающих при разработке принципиально новой нерезервированной системы требуемой надежности, поскольку стоимость такого технологического «скачка» на много порядков превышаетстоимость резерва, а во многих случаях такой скачок вообще невозможен в ближайшем будущем.Под избыточностью здесь и далее понимается создание некоторых запасов в значении различных характеристик оборудованияпо сравнению с минимально необходимыми значениями этих характеристик для выполнения заданных функций.1.1.

Общее и раздельное резервированиеСравним общее и раздельное резервирование в случае нагруженного резерва. Вероятность безотказной работы при общем резервировании (резерв – нагруженный, см. рис. 4, а), находится изусловия, что отказ всей системы, включающей одну основную и mрезервных цепей, произойдет после того, как независимо друг от16друга откажут все (m + 1) параллельных цепей (переключающиеустройства пока считаем идеально надежными, обеспечивающимимгновенную замену отказавшей цепи резервной).

Вероятность отказа системыm +1Qобщ (t ) = Q1 цеп (t )Q2 цеп (t ) ... Qm +1 цеп = ∏ Q j цеп (t ),j =1где Q j цеп (t ) – вероятность отказа в течение времени t j-й параллельной цепи (основной ( j = 1) или резервной ( j = 2, 3,…, m + 1)).Вероятность безотказной работы системы Pобщ (t ) в течениевремени t составляет:m +1m +1 ⎡n⎤Pобщ (t ) = 1 − ∏ Q j цеп (t ) = 1 − ∏ ⎢1 − ∏ Pij (t ) ⎥ ,⎢ i =1j =1j =1 ⎣⎦⎥где Pij (t ) – вероятность безотказной работы i-го элемента j-й цепи(основной или резервной) за время t.Если все (m + 1) цепей в параллельном соединении равнонадежны, тоm +1Pобщ (t ) = 1 − ∏ Q j цеп (t ) =j =1m +1=1− ∏j =1nn⎡⎤⎡⎤1P(t)11−=−−⎢ ∏ ij ⎥⎢ ∏ Pi (t ) ⎥⎣⎢ i =1⎦⎥⎣⎢ i =1⎦⎥m +1,где Pi (t ) – вероятность безотказной работы i-го элемента одной из(m + 1) равнонадежных цепей (основной или резервной) за время t.Вероятность безотказной работы при раздельном резервировании (резерв нагруженный, см.

рис. 4, б) определяется из условия,что система состоит из последовательно соединенных звеньев, акаждое звено состоит из (m + 1) параллельно соединенных элементов, причем отказы звеньев и элементов в звене – события независимые:17nni =1i =1Pразд (t ) = ∏ Pi зв (t ) = ∏ [1 − Qi зв (t )] =n ⎡m +1⎤ n ⎪⎧ m +1⎪⎫= ∏ ⎢1 − ∏ Qij (t ) ⎥ = ∏ ⎨1 − ∏ [1 − Pij (t )]⎬,⎥⎦ i =1 ⎪⎩ j =1⎪⎭i =1 ⎢j =1⎣где Pi зв (t ), Qi зв (t ) – вероятности безотказной работы и отказа соответственно в течение времени t i-го звена соединения; Pij (t ),Qij (t ) – вероятности безотказной работы и отказа соответственно втечение времени t в i-м звене j-го элемента (основного или резервного).Если все (m + 1) элементов в звене равнонадежны, получимn{}Pразд (t ) = ∏ 1 − [1 − Pi (t )]m +1 ,i =1где Pi (t ) – вероятность безотказной работы одного из (m + 1) равнонадежных элементов (основного или резервного) i-го звена завремя t.Сравнение выражений для общего и раздельного резервирования позволяет установить, что для всех значений Pi (t ), n и m будетвыполняться соотношение:Pразд (t ) > Pобщ (t ).Этот результат очевиден: при общем резервировании отказ любого из элементов той или иной цепи вызывает необходимостьвключения целиком резервной цепи, в то время как при раздельномрезервировании отказ одного из элементов вызывает необходимостьвключения лишь одного элемента.

Однако на практике указанноепреимущество можно получить только в случае применения резервных цепей, не имеющих переключающих органов (резервные цепивключены постоянно, переключение осуществляется техническимперсоналом или резерв включается без применения специальныхпереключающих устройств), а также при надежности переключателей, значительно превышающей надежность резервных элементов.В противном случае большое число переключателей может свестина нет преимущества раздельного резервирования.18Показателями по наработке до отказа следует пользоваться осторожно, применяя их тогда, когда сравниваются различные способы резервирования для одной и той же аппаратуры.Для нахождения средней наработки до отказа резервированнойаппаратуры надо вначале определить значение вероятности безотказной работы в течение времени t резервированной системы( Pрез (t ) ) ,а затем найти среднюю наработку до отказа резервиро-ванной системы T0 рез :∞T0 рез = ∫ Pрез (t ) dt.0Расчеты получаются сравнительно несложными, если потокотказов элементов в основной и резервных цепях считается простейшим, т.

е. надежность работы элементов находится по экспоненциальному закону (для каждого элемента системы вероятностьбезотказной работы в течение времени t равна Pi (t ) = e− λit , где λi –интенсивность отказов i-го элемента основной (резервной) цепи).Приведем примеры нахождения T0 рез для случаев общего ираздельного резервирования.Случай общего резервирования (резерв нагруженный, основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны).

Здесь и дальше будем считать,что отсутствие переключателей эквивалентно постоянному подключению резерва. Тогда(Pобщ (t ) = 1 − 1 − e −∑ λit)m +1,где λi – интенсивность отказов i-го элемента основной (резервной) цепи.nОбозначим λ 0 = ∑ λi и получимi=1∞T0 рез = ∫ ⎡⎣1 − (1 − e − λ 0t )m +1 ⎤⎦ dt.019При подстановке y = 1 − e − λ 0t в данную формулу она принимает следующий вид:T0рез =1λ01=11 − y m +1∫ 1 − y dy =011(1 + y + y 2 + ... + y m ) dy =∫λ0 0λ0m1∑ i + 1 yi+1i =01,0илиT0 рез⎛⎜1= ⎜⎜ n⎜ ∑ λi⎜⎝ i =1⎞⎟ mm11⎟T=⎟ ∑ i +1 0 ∑ i +1 ,i =0⎟ i =0⎟⎠где T0 – средняя наработка до отказа основной (резервной) цепи.Из этой формулы следует, что увеличение кратности резервирования каждый раз вносит все меньший вклад в общее повышение надежности. Замедление роста надежности в данном случаеобъясняется тем, что при нагруженном резерве резервные цепирасходуют свой ресурс постоянно вместе с ресурсом основной цепи, и чем позже включается резервная цепь (чем больше кратностьрезервирования), тем большую часть своего ресурса она вырабатывает «вхолостую».

В этом, кстати, состоит один из основныхнедостатков нагруженного резерва.Случай общего резервирования ( резерв ненагруженный, основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). Для данного вариантарезервирования справедлива формула⎛ −tPрез (t ) = ⎜ e T0⎜⎝i −1⎞ m +1⎟ ∑ 1 ⎛⎜ t ⎞⎟ ,⎟ i =1 (i − 1)! ⎝ T0 ⎠⎠где Т0 – средняя наработка до отказа основного (нерезервированного) устройства.Находим величину T0 рез для данного случая:20T0 резгде⎛∞ − t= ⎜ ∫ e T0⎜⎝0T0i Г(i ) =∞∫m +1∑i =11 ⎛ t ⎞⎜ ⎟(i − 1)! ⎝ T0 ⎠i −1−t∞⎞ m +11Ti−1⎟dt = ∑t e 0 dt ,⎟ i =1 (i − 1)!T0i −1 ∫0⎠−tTi−1t e 0 dt.0Отсюда с учетом того, что Г(i ) = (i − 1)! – гамма-функция, получаемT0рез = (m + 1)T0 .Этот результат очевиден: до отказа работающей цепи резервныесохраняют свой ресурс полностью и начинают его расходоватьтолько при включении в работу взамен отказавшей цепи.

Следуетзаметить, что ненагруженный резерв практически реализовать почти никогда не удается, так как значительная часть аппаратуры (автомобильная, корабельная, самолетная, ракетная) подвергается механическим нагрузкам или неблагоприятному воздействию внешних факторов (влажность, повышенные температуры, проникающаярадиация и др.). Эти факторы даже при отсутствии электрическойнагрузки приводят к более или менее быстрому старению элементов, т.

е. к расходованию ресурса. Кроме того, в электронных схемах при отказе работающей цепи при ненагруженном резерве неизбежны перерывы в работе аппаратуры, что во многих случаях недопустимо, и поэтому применяется облегченный резерв (резервныецепи работают в «дежурном» режиме). В связи с этим во многихслучаях даже при электрически ненагруженном резерве целесообразно оценивать надежность резервированной аппаратуры по формулам облегченного, а иногда и нагруженного резерва (с учетомвоздействия внешних факторов).Случай общего резервирования (резерв облегченный, основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны).

Этот случай в математическомплане наиболее сложен. Введем коэффициент kр расходованияресурса (при ненагруженном режиме kр = 0, при нагруженном режиме kр = 1, при облегченном режиме 0 < kр < 1). Запишем итоговое соотношение для средней наработки до отказа резервированной системы с облегченным резервом:21T0рез =1 m1.∑λ 0 i =0 1 − ikp1, где Т0 – средняя наработка до отказа основной цепи.T0Уменьшая коэффициент kр , можно повысить эффективностьЗдесь λ 0 =облегченного резерва, однако практически это не всегда удается.Случай раздельного резервирования (резерв нагруженный,основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны).

Вероятность безотказнойработы системы за время tnm +1 ⎫⎧⎪ ⎛−λt⎞⎪Pрез (t ) = ⎨1 − ⎜1 − e ∑ i ⎟⎬ ,⎠⎪⎩ ⎝⎭⎪где m – кратность резервирования каждого i-го элемента основнойцепи; n – число элементов в основной цепи.Интегрируя выражение вероятности безотказной работы прираздельном резервировании в пределах от 0 до ∞, получим соотношение для средней наработки до отказа:T0 рез =(n − 1)λ(m + 1)m∑ ν (νi =0ii1,+ 1) (νi + 2)...(νi + n − 1)nλi– средневзвешенное значение интенсивности отказовi =1 nгде λ = ∑i +1.m +1Случай раздельного резервирования ( резерв ненагруженный,основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны).