НадежностьТС_РезервВосстан (1040978), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вероятность безотказнойработы системы за время tэлементов; νi =nPрез22(t ) = e − λ 0t⎡ m (λt )i ⎤⎢∑⎥ ,⎣⎢ i =0 i ! ⎦⎥где λ 0nλi–i =0 n– интенсивность отказов основной цепи; λ = ∑средневзвешенное значение интенсивности отказов элементов.Общую формулу для значения средней наработки до отказаT0 рез в данном случае записать затруднительно. Один из важных впрактическом смысле случай: m = 1, т. е. кратность резервирования равна 1 (дублирование).
Дублирование наряду с троированием(m = 2) наиболее часто применяется в радиоэлектронике, формулудля средней наработки до отказа чаще приходится вычислятьименно для двух этих случаев резервирования.При m = 1 получим следующее соотношение для средней наработки до отказа:T0 дубл =1 n i i!∑ Cn ,λ 0 i = 0 nin!– число сочетаний из n по i.(n − i )!i !Случай раздельного резервирования ( резерв облегченный, основная и резервная цепи равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). Как и для случая общегорезервирования используем коэффициент расходования ресурсаkр и аналогию с горячим раздельным резервированием и получимгде Cni =формулу для средней наработки на отказ:T0 рез =( N − 1)λ(m + 1)m∑ ν (νi =0ii1,+ 1)(νi + 2)...(νi + N − 1)Nλi– средневзвеi =1 Nгде N – число элементов в основной цепи; λ = ∑шенное значение интенсивности отказов элементов, ν =ikp + 1.m +1Cледует отметить, что при оценке надежности аппаратуры,имеющей в составе резервные цепи, но при условии, что резервирование проходит без восстановления основной и резервной цепей, важно учитывать продолжительность непрерывной работы23аппаратуры.
Дело в том, что увеличение времени работы резервированной системы приводит к относительному снижению эффективности резервирования. При длительной непрерывной работеаппаратуры, не имеющей резерва, и аппаратуры, дублированнойпри постоянном включении нагруженного резерва, вероятностибезотказной работы оказываются практически одинаковыми и уженельзя говорить о выигрыше в надежности при применении резервирования.1.2. Оптимальное резервированиепри наличии ограничивающих факторовПри проектировании высоконадежных систем приходитсясталкиваться со следующей дилеммой.
С одной стороны, желательно обеспечить высокую надежность каждого из элементов, но,с другой стороны, нельзя проектировать систему со слишкомбольшими значениями стоимости, веса или объема. Действительно, возможно наличие определенных ограничений по стоимости,весу и объему (или сразу по нескольким факторам). Каким образом в этом случае можно достичь оптимального размещения резервных элементов в системе, т. е. добиться максимальной надежности системы, не превышая некоторых допустимых значенийстоимости, веса, объема и пр.?При рассмотрении вопроса оптимального резервирования ограничимся анализом последовательных систем. То есть будемпредполагать, что структурная схема надежности системы представляет собой последовательность подсистем и поэтому вся система работоспособна тогда и только тогда, когда работоспособныодновременно все ее подсистемы.
В этом случае задача оптимального резервирования включает в себя следующие основные подзадачи:1) выбор принципа включения резерва: нагруженный (резервные элементы активно функционируют), разгруженный или ненагруженный (резервные элементы используются лишь для заменыотказавших основных элементов, причем предполагается, что резервные элементы могут отказывать в ненагруженном режиме);2) выбор размещения резервных элементов, обеспечивающегомаксимально возможную надежность системы при соблюдениитребуемых ограничений (например, ограничения по стоимости,весу, объему и другие, превышать которые не разрешается). Разработаны различные подходы к решению этой подзадачи. Например,24можно выбирать такие варианты размещения резервных элементовдля каждой подсистемы, чтобы каждый из них был бы в определенном смысле оптимальным.
Такое семейство оптимальных размещений продолжает включать в себя очень большое количествочленов, однако резко сокращает общее количество возможныхразличных резервных элементов, которые необходимо проанализировать для принятия решения. Если все возможные ресурсы хотябы по одному из ограничений (по стоимости, весу, габаритам)полностью израсходованы, то при этом достигается максимальновозможное значение показателя надежности при указанных ограничениях.Рассмотрим отдельные математические модели построения оптимальных размещений элементов, а также алгоритмы для их реализации на ЭВМ.Для выбора оптимального размещения резервных элементовдля каждой подсистемы существует несколько алгоритмов, определяющих кратность резервирования каждого конкретного элемента в зависимости от ограничений, наложенных на систему илимодуль. Рассмотрим два основных алгоритма решения задачи оптимального резервирования:1) модифицированное динамическое программирование;2) метод наискорейшего спуска.Сделаем предположение, что общий «вес» системы в целомопределяется по формулеmW ( x1 ,..., xm ) = ∑Wi ( xi ),i =1где Wi ( xi ) – «вес» i-го участка системы при условии, что на немимеется xi резервных элементов.Кроме того, сам «вес» i-го участка системы определяется так:Wi ( xi ) = wi xi ,где wi – «вес» одного резервного элемента, используемого на i-мучастке системы.При наличии одного ограничивающего фактора возможна постановка двух следующих задач оптимального резервирования:1) путем раздельного резервирования системы, состоящей из mучастков, добиться того, чтобы показатель надежности Р (напри25мер, вероятность безотказной работы) был не менее заданногозначения P0 при минимально возможном «весе» системы в целом.Это можно записать следующим образом:W ( x1 ,..., xm )P ( x1 ,..., xm ) ≥ P0→ min;(1)2) путем раздельного резервирования системы, состоящей из mучастков, добиться того, чтобы при максимально возможном показателе надежности P «вес» всей системы не превысил заданногозначения W0.
Запишем это следующим образом:P ( x1 , ..., xm ) W ( x ,..., x1m ) ≤ W0→ max.(2)Модифицированное динамическое программирование (алгоритм Кеттеля). Обозначим Q1k ( xk ) вероятность нехватки элементов k-го типа (k = 1 : s), обусловливающую отказ системы в целом, выразим вероятность нехватки элементов любого типа длясистемы в целом какsQ1 ( x) = 1 − ∏ [1 − Q1k ( xk )] ( x = x1 ,..., xs ).k =1Алгоритм дает возможность упорядоченного перебора на границе допустимых значений, основываясь на принципе динамического программирования.Введем понятие доминирующей (оптимальной) последовательности решений, для каждого из которой большего значениявероятности безотказной работы нельзя достичь при одинаковыхили меньших дополнительных затратах на введение резерва.
Процедура отыскания доминирующей последовательности для системы из s типов элементов разбивается на (s – 1) шагов.Пусть для каждого k-го (k = 1 : s) типа элементов набор возможных вариантов образования резервной группы представляетсятак:Tk = {Q1k ( 0 ) , W1k ( 0 ) ; Q1k (1) , W1k (1) ; ... ; Q1k ( xk ) , W1k ( xk )}.Начав s-шаговый процесс с объединения, допустим, 1-й и 2-йрезервных групп, найдем возможные варианты решений:26T12 = {Q12 ( 0,0 ) , W12 ( 0,0 ) ; Q12 ( 0,1) , W12 ( 0,1) ; Q12 (1,0 ) , W12 (1,0 ) , ...}.Используем при этом следующие соотношения:W12(ij ) = W1 j + W2i , i = 1, 2, ...
; j = 1, 2, ... ;(ij )Q12= Q1 j + Q2i − Q1 j Q2i ,где i – номер строки; j – номер графы в таблице вариантов.Обозначим доминирующую последовательность решений*T(12 ) , а операцию ее отыскания на множестве всех вариантов решений T12 символом D. Тогда для системы из s типов элементовможно записать:T1* = D (T1 ) ,..., T(*s ) = D(Ts );* = D (T + T );T2* = T(12)21* = D (T * + T );T2* = T(12)(1)2** + T ) = D (T * + T );T3* = T(123)= D(T(12)223.....................................................................**Ts*−1 = T(1,2,..., s −1) = D (T( s − 2) + Ts −1 );**Ts* = T(1,2,..., s ) = D (T( s −1) + Ts ).Приведенные рекуррентные соотношения соответствуют принципу оптимальности Беллмана для динамического программирования. Заметим, что операция D означает просто перебор решенийна каждом из (s – 1) шагов процесса с целью отыскания последовательности решений, обладающих свойствами оптимальности.
Решение отыскивается на результирующей последовательности оптимальных вариантов в точке, соответствующей заданному W01или заданной Q0.Алгоритм Кеттеля не накладывает никаких дополнительныхограничений на вид функции надежности, поскольку в его основележит последовательный перебор решений на каждом шаге многошагового процесса.Таким образом, алгоритм Кеттеля позволяет найти точное решение (если оно существует), так как перебор осуществляется на27границе допустимых значений х. Но, как правило, этот алгоритмтребует большого числа вычислений.
Блок-схема алгоритма Кеттеля представлена на рис. 6.Рис. 6. Блок-схема алгоритма КеттеляРассмотрим случай нескольких ограничений.В случае m ограничений для каждого k-го типа элементов набор возможных вариантов резервной группы представляется так:⎧Q1k (0), W1k (0), W2k (0), W3k (0),..., Wmk (0);⎫⎪⎪Tk = ⎨Q1k (1), W1k (1), W2k (1), W3k (1),..., Wmk (1); ⎬ ,⎪Q ( x ), W ( x ), W ( x ),..., W ( x ); ⎪1k k2k kmk k⎩ 1k k⎭28k = 1: s.Начав s-шаговый процесс снова с объединения, например 1-й и2-й резервных групп, получим:1 (0,0), W 2 (0,0),..., W m (0,0); ⎫⎧Q12 (0,0), W121212⎪⎪⎪⎪12mT12 = ⎨Q12 (0,1), W12 (0,1), W12 (0,1),..., W12 (0,1); ⎬ ,⎪⎪12m⎩⎪Q12 (1,1), W12 (1,1), W12 (1,1),..., W12 (1,1);...
⎭⎪причем теперь( n )W (ij )12=( n )W1j+ ( n)W2i ;( n )W1j= w1n x1 ( j ), i = 1, 2,..., j = 1, 2,... ;(ij )Q12= Q1 j + Q2i − Q1 j Q2i .Вектор-решение x1 доминирует над x 2 , если Wn ( x1 ) < Wn ( x 2 ),в то время как Q1 ( x1 ) < Q1 ( x 2 ), причем теперь m ≠ 1. Доминирующая последовательность векторов-решений отыскивается из указанного условия доминирования, а рекуррентные соотношения,соответствующие принципу оптимальности Беллмана для динамического программирования, сохраняют свою силу. Только еслиранее перебор велся по одному ограничению, то теперь нужноосуществлять перебор по всем m ограничениям. Естественно, что вдопустимые множества решений, из которых отыскиваются доминирующие последовательности, не должны включаться решения,нарушающие хотя бы одно из ограничений.
Очевидно, что объемвычислений существенно увеличится по сравнению со случаемодного ограничения.При двух ограничениях (m = 2) можно воспользоваться приемом, предложенным Беллманом и Дрейфусом. Для того чтобы нерассматривать последовательности функций, зависящих от двухпеременных, вводится множитель Лагранжа Θ, и исходная задачасводится к следующему:ssmax ∏ [ R1k ( xk ) ] e−Θ∑w2 k xkk =1k =1при наличии ограничения29sI1 ( x) = W10 − ∑ w1k xk .k =1Метод наискорейшего спуска. Этот метод (рис. 7) позволяетполучить не все возможные варианты оптимального определениярезервных элементов, однако получаемые с его помощью решенияявляются оптимальными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
