НадежностьТС_РезервВосстан (Раздаточные материалы), страница 6

е. оно является дифференциальным уравнением перехода из одного состояния в другое.2.2. Правила получения уравнений Колмогорова – ЧепменаПредполагая, что состояние X(t) может принимать только дискретные значения Xi, причем смена этих значений (состояний)происходит в некоторые случайные моменты времени, приведемпошаговую последовательность составления уравнения Колмогорова – Чепмена.Шаг 1. Определение количества дифференциальных уравнений по графу функционирования ТС. Выделим дискретные состояния ТС, которые она может принимать с точки зрения работоспособности. Представим процесс функционирования ТС в видеграфа перехода.

Кружки на графе означают состояние системы(Xi; i = 1,…, N), а стрелки – направление переходов системы и параметры соответствующих потоков λij. Количество состояний будет определять количество дифференциальных уравнений в уравнении Колмогорова – Чепмена. То есть для N состояний будет Nдифференциальных уравнений:⎧ dp1⎪ dt = ...

;⎪⎨...⎪ dp⎪ N = ...⎩ dtШаг 2. Определение структуры дифференциальных уравнений. Выделим состояние Xi, для которого pi – вероятность нахож41дения в этом состоянии, и по количеству входящих и выходящихстрелок определим структуру дифференциальных уравнений.В i-м дифференциальном уравнении количество выходящих стрелок n1 определяет количество слагаемых со знаком минус, а количество входящих стрелок n2 – число слагаемых со знаком плюс.То есть структура i-го дифференциального уравнения имеет видn1dpi n2= ∑ ... − ∑ ... .dt11Шаг 3. Определение членов алгебраической суммы по графу.Для составления членов алгебраической суммы необходимо рассмотреть все входящие и выходящие из вершин графа стрелки.Каждый член алгебраической суммы равен произведению вероятности нахождения в состоянии, из которого выходит стрелка, ипараметра соответствующего потока.

Например для графа, приведенного на рис. 16, член алгебраической суммы в дифференциальном уравнении примет вид λ ji (t ) p j (t ).Рис. 16. Пояснение к определению членовалгебраической суммы в дифференциальных уравненияхПример. Пусть поток отказа и восстановления изменяется позакону Пуассона, а ПЭВМ работают на участке стационарной работы, т. е. λij(t) = const.Структурная схема ПЭВМ представлена на рис. 17.Рис. 17. Структурная схема ПЭВМ42Данные о частоте отказов и времени восстановленияПЭВМ, полученные фирмой DELL (США) во втором квартале2002 года, приведены в табл.

3, где время ремонта и время работыдо отказа указаны в днях.Таблица 3№п/п12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334Причина неисправности ПЭВМПроцессорМатеринская платаHDDHDDМатеринская платаFDDCD-ROMРайзер-картаHDDПамятьPSUHDDМатеринская платаПамятьCD-ROMPSUHDDРайзер-картаFDDHDDPSUМатеринская платаCD-ROMPSUFDDПамятьPSUPSUHDDPSUHDDМатеринская платаHDDPSUВремяремонтаВремя работыдо отказа116137111111411211112171121311212111370253156759349863155747264271239845768359344561169470144030171269947858367167946370759471158871266465743Окончание табл. 3№п/пПричина неисправности ПЭВМ35 Материнская плата36 Райзер-карта37 Материнская плата38 PSU39 HDD40 HDD41 Материнская плата42 PSU43 Материнская плата44 Память45 CD-ROM46 Райзер-карта47 HDD48 VRM49 HDD50 Материнская плата51 Процессор52 HDD53 CD-ROM54 Райзер-карта55 Материнская плата56 Материнская плата57 HDD58 FDD59 Память60 PSU61 Материнская плата62 HDD63 PSU64 HDD65 Материнская плата66 CD-ROM67 FDD68 Материнская плата69 PSU70 Материнская плата71 HDD72 VRMИтого: 72 заявки на отказ44ВремяремонтаВремя работыдо отказа3124121111311511172112131212546141191121594497701703302579544683409284567705496503709457679634587492704539648712219562587424476532578632662397693502712689Обобщенные статистические данные по количеству отказов каждого из модуля, приведенные в табл.

3, представлены в табл. 4.Таблица 4Наименование модуля ПЭВМОбщее количество отказовМатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаНакопители:FDDHDDCD-ROMPSU162525518613Рассчитаем коэффициенты готовности модулей ПЭВМ фирмыDELL.Каждый модуль графически может быть представлен, как показано на рис.

18.Рис. 18. Графическое представление модуля ПЭВМСостояние Х1 соответствует рабочему состоянию модуля, Х2 –состоянию восстановления.Численные значения наработки до отказа Тλ= 1/λ и временивосстановления Тμ = 1/μ (в днях) приведены в табл. 5.Таблица 5Наименование модуля ПЭВММатеринская платаПроцессорПамятьТμ4,7542Тλ60969049745Окончание табл. 5Наименование модуля ПЭВМVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSUТμТλ1111212596573623563544612Для того чтобы определить коэффициент готовности, составимуравнение Колмогорова – Чепмена по правилам, приведенным вразд. 2.2.Шаг 1. Определим количество дифференциальных уравненийпо графу функционирования ТС.

Так как граф функционированияданной ТС содержит две вершины (два состояния), то в уравненииКолмогорова – Чепмена должно быть два дифференциальныхуравнения.Шаг 2. Определим структуру дифференциальных уравнений. Для этоговыделим состояние X1, для которого p1 –вероятность нахождения в этом состоянии. На графе рис.

19 видим, что в вершину X1 входит и выходит по однойРис. 19. Составление пер- стрелке, значит, в дифференциальномвого дифференциальногоуравнении для этой вершины будет двауравненияслагаемых: одно со знаком плюс и односо знаком минус, т. е. структура первого дифференциальногоуравнения будет иметь видn1 =1dp1 n2 =1= ∑ ... − ∑ ... .dt11Аналогичную структуру имеет и второе дифференциальноеуравнение.Шаг 3. Определим члены алгебраической суммы дифференциального уравнения по графу функционирования ТС. Для составления членов алгебраической суммы необходимо рассмотреть всевходящие и выходящие из вершин графа стрелки. Каждый членалгебраической суммы равен произведению вероятности нахождения в состоянии, из которого выходит стрелка, и параметра соответствующего потока, т.

е.46dp1= −λp1 + μp2 .dtАналогично (выполнив шаги 2 и 3 для вершины X2) получимвторое дифференциальное уравнение:dp2= λp1 − μp2 .dtТаким образом, уравнение Колмогорова – Чепмена запишем ввиде⎧ dp1⎪ dt = − λp1 + μp2 ;⎪⎪ dp2 = λp − μp ;12⎨ dt⎪⎪ p1 (t ) + p2 (t ) = 1;⎪ p (0), p (0).2⎩ 1Заметим, что коэффициент готовности K г = p1 (∞). Тогда длярасчета коэффициента готовности уравнение Колмогорова – Чепмена примет вид⎧ − λp1 (∞) + μp2 (∞) = 0;⎪⎨ λp1 (∞) − μp2 (∞) = 0;⎪ p (t ) + p (t ) = 1.2⎩ 1Решим полученную систему, для чего из первого уравнениявыразим p2 (∞) :λp2 (∞) = p1 (∞).μПодставим p2 (∞) в условие нормировки:λp1 (∞) + p1 (∞) = 1.μТогдаp1 (∞) = K г =11+λμ=1.Tμ1+Tλ47Рассчитаем коэффициент готовности для каждого модуляПЭВМ на основе статистических данных табл. 3.

Результат приведен в табл. 6.Таблица 6Наименование модуля ПЭВМКоэффициент готовности K гМатеринская плата1 (1 + 4, 75 609 ) = 0,99266Процессор1 (1 + 4 690 ) = 0,99425Память1 (1 + 2 497 ) = 0,99599VRM1 (1 + 1 596 ) = 0, 99832Райзер-карта1 (1 + 5 573) = 0,98117FDD1 (1 + 1 623) = 0,99840HDD1 (1 + 2 563) = 0,99646CD-ROM1 (1 + 1 544 ) = 0,99816PSU1 (1 + 2 612 ) = 0,99674Данные о вероятности выхода из строя каждого модуля приведены в табл. 7.Таблица 7Наименование модуля ПЭВММатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSUВероятность выхода из строя0,007740,005750,004010,001680,008650,001600,003540,001840,00326Посредством коэффициента готовности мы оценили возможность восстановления системы при возникновении отказа, что позволяет судить о том, насколько успешно функционируют сервисныецентры фирмы.

Однако рассмотренная классическая методика оцен48ки этого коэффициента для импортных устройств не позволяет учитывать специфику российского рынка, так как основополагающимпредположением для этой методики является то, что потоки отказови восстановления изменяются по закону Пуассона. Опыт показывает,что если нет доминирующего влияния (устройство не находится,например, под действием радиоактивного излучения), то на периодфункционирования поток отказов можно принять изменяющимся позакону Пуассона. Сложнее дело обстоит с потоком восстановления.Он не может быть достаточно адекватно описан законом Пуассона.Это связано прежде всего с особенностями развития сервиса в России (т. е.

с вопросами поставки запчастей, удаленностью фирмыпроизводителя, таможенными трудностями и т. д.).2.3. Уравнение Колмогорова для поиска интенсивностиотказов (восстановлений) при законе распределения ВейбуллаДля учета специфики восстановления зарубежных ТС, применяемых в России, введем коэффициент k, который входит в законраспределения Вейбулла, и определим следующие параметры:функцию частоты отказовf λ (t ) =⎛ tk ⎞⎜− ⎟kt ( k −1) e⎝ Tλ ⎠Tλ;вероятность безотказной работы без учета восстановления1;p1 (t ) =k⎛ t ⎞⎜− ⎟e⎝ Tλ ⎠поток отказовλ12 (t ) =⎛ tk ⎞ ⎛ tk ⎞⎜− ⎟ ⎜ ⎟kt ( k −1) e⎝ Tλ ⎠ e⎝ Tλ ⎠Tλ;функцию частоты восстановленийfμ (t ) =⎛ tk ⎞⎜− ⎟⎜ T ⎟kt ( k −1) e⎝ μ ⎠Tμ;49вероятность восстановления без учета отказовp2 (t ) =1⎛ tk ⎞⎜ ⎟⎜T ⎟e⎝ μ ⎠;поток восстановленийλ 21 (t ) =⎛ tk ⎞ ⎛ tk ⎞⎜− ⎟ ⎜ ⎟⎜ T ⎟ ⎜T ⎟kt ( k −1) e⎝ μ ⎠ e⎝ μ ⎠Tμ.Решим уравнение Колмогорова – Чепмена:⎧ dp1 (t )⎪⎪ dt = −λ12 (t ) p1 (t ) + λ 21 (t ) p2 (t );⎨⎪ dp2 (t ) = −λ (t ) p (t ) + λ (t ) p (t ).212121⎪⎩ dtНайдем вероятность безотказной работы с учетом потока восстановлений (рис.

20):(Tλ+p1 (t ) =Tμ + Tλ⎛ t k Tμ +Tλ⎜−⎜TλTμe⎝) ⎞⎟⎟⎠TμTλ + Tμ.(5)Рассчитаем вероятность восстановления с учетом потока отказов:(p2 (t ) =TμTμ + Tλ−⎛ t k Tμ +Tλ⎜−⎜TλTμe⎝) ⎞⎟Tλ + Tμ⎟⎠Tμ.Вычислим вероятность безотказной работы и вероятность восстановления, определим изменение коэффициента готовностив зависимости от параметра k в законе распределения Вейбулла(рис. 21).50Рис. 20. Типовое изменение вероятности безотказной работыот параметра закона распределения ВейбуллаРис.

21. Динамика изменения коэффициента готовности в зависимостиот параметра распределения по закону Вейбулла51Пример. Покажем, что значение K г , определенное при k = 1(закон Пуассона), отличается от значения K г , вычисленного приk = 0,5 (закон Вейбулла). Воспользуемся статистикой частоты отказов и времени восстановления, приведенной в табл. 4.Численные значения Tμ и Tλ (в днях) приведены в табл. 5.Для расчета коэффициента готовности используем формулу(5). Положив t = Tλ и k = 0,5, подставим численные значения вформулу (5) и получим коэффициент готовности (табл. 8).Таблица 8Наименование модуля ПЭВММатеринская платаПроцессорПамятьVRMРайзер-картаFDDHDDCD-ROMPSUКоэффициент готовности K г0,9869800,9928910,9959780,9983250,8743770,9983970,9964530,9981650,996739Вероятность выхода из строя каждого модуля приведена втабл.