Глава 5 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами), страница 2

(5.22) осевой скчметрией будут отсутствовать аберрации первого порядка, линейно зависящие от нормированных коордшат У,"))"„,)(,)(„. Аберрации второго порядка оптической системы с нарушенной осевой симметрией согласно формулам (4.6),(4.8),(4.9) можно представить в виде : б' х — ~ )*х,,Я,.,Б.... (5.24) где А~,' ,АС,' — меридиональная и сагиттальная составляещие поперечной геометрической аберрации второго порядка в плоскости изображения; у„ =у„ (Е), х„ =х„ (Е) — координаты луча в плоскости изображения; б'у„ ., .,, б'х„ ..

., — координаты в плоскости изображения ЛДЯП, построенного на луче, совпадающем с ссьх) О,Е,, и ЛД1П (б))...;бТ...), (бй...,"бТ...). В качестве примера рассмотрим расчет ЛД2П (б К„ „;о т„ „ ). Параметры ЛД1П в Формулах (5.~г)-(ж.г()) заменим на эквивалентные им параметры нулевых лучей: бх „, бх„=(); бу,, =буА =1>; бр„,=бр,=О; бц„,=бд„=-п а; б>'>1 ! б>>> е б>>> — О* бп'' — бп'' = бп' — -и'а' > 12>111 > А111 > А111 112>111 1А111 1А111 О бх, „=бх,=Э, бу„,=бу,=Ь; бр„,=бр,=0; ба„, =бс>, =-и р; бл'' > > 3>111 > 3111 > В111 ~$ 3>111 13111 >В111 О> Б результате формулы (5.14)-(5.19) приобретах>т вид: б'х,',', = ~Ь(ар-р) — (ра+ф)р'1> ; (5.2б) (5.27) б'р,',', = -2п,(ар-р)НЙ + р(ар-р)~й(п,-п,' ) — 8В,апН(п -и' )+ +2рп,'(а+о)Н1> + рп' (ра+ф)Нй — рп (ра-р)Н)> + 2п,'(ра+ф)ЬН+ и -и' р(ар-у) и ан + р' п,дна — р'а (и -и') НЬ ; (5.28) О б'ц,',', = Э; (5.29) 3 >Х~ > П> > б Уьиз 1 >>>(ъ>АВЬ Ь' »>111 >»>< '.

> АВЬ ц9 9 (»» с»» ьИЗ Линейные координаты б'у ,б'х „ ЛДЗП в плоскости изображения согласно Формулам (4.41),(4.42) описываются выраженияии: (5.32) где представляют собой квазиинварианты, обусловленные преломлением на поверхности й; 1 ,, „, , 1 ,, „„ квязиинварианты, обусловленные переносом ЛДЗП через среду ( оптической систеьи; Ь ,, „„, Ь ,, „„ — квазиинварианты, обусловленные преломлением ЛДЗП на поверхности (.

При вычислении формулам (4.43),(4.44),(4.48),(4.49) в качестве параметров ЛД1П бу„, бх,, бс„, бр„, бу,, бх,, бц,, бр,, бу,, бх,, бц,, бр, используются параметры ЛД1П бу, , бх, , бд„ , бр, , бу бх, , бс, , бр, , бу ,бх,, бц,, бр, соответственно. ЛД1П (бН,;бТ ) можно представить в виде бв, = Абя„, + МВ,„,; бт, = Абт„, + Мт„,, (5.33) где Ач =д'и,' ~а+В)-н[пура~п-п,' ):-и' ф1 вт= -а'и,' ~а~а)ю~(~у-ражип;и,' )~и,'~) Ч=п,'(а'Н-~Ъ) — инвариант Леграна-Гельмгольца.

На основании Формул (4.52),(4.53),(5.31)-(5.35) можно записать: — 151 >» ( ( > АВ>> 1=2+ 1 »><1>(2,2,З> + »><1 >АВ» 1 =><+1 1=2+1 ь . +В~ь + »>(1>(2,2,2> ((>((>(2„2,4> ~ В В ~Ь,(„,,„; 1 а >(+1 1» В('>АВ>> 1=2+ 1 2<1>АВ(> = <<) В(1>(2,2,В> ~А7Ь +В~1 + 2<1>(2,2,2> У 2<1><2,2,4> В(1>(2,3,4> (ам+1 22(><<1>(2,2,Э> ,<~ 1.2 В<1>АВ» ~~~ В<1>АВ» ~Ь',„. + Ь1 — А ~~~. Б ., ~ В Ь, <„+,, „, „, — В ~~~ Б., — В ~~', Б .,; ~5.38) 1 =>< ~1 Ь .

+ 7Ь . = АХ' + (<><1>АВ>> ~ в<1>АВ>> 2гп(>(+1> (2,2,Э> 1а2+1 1 а >< ~- 1 В соответствии с таолицами Я и 3 квазиинварианты в Формулах (5.36), ~5.37) можно заменить на коэффициенты аберраций третьего порядка: +ВЬ 1 д> С Й <. 1 > С 2, 3, 4 > Из выражений (4.56),(4.57) следует: Хв<~< ~>(а„а,з> Хи<<<~1><а,З,Д> А1 1>>><><>й><2,2,3> 1ю<]<< 1 > <2,3,4 > (5.41) Окончательно, из выражений (4.б), (5.25) †(5.30), (5.38) †(5. 41 ) получим: из д'~„ — б'х„ „ „ = и,(ра-ф)(рЬНа'+ари-риНс<)- <г> <э> -(ра+ф) и' а'~'Ь вЂ” а(8В,— р')Ь'Н(п -п')-2(ра-ф)п,Ь Н+ +2(ра+ф)п'Ь~Н+ 2(а+Ь)рп<Ь~Н вЂ” (ра-ф)р Ь~Н п + (ра+ф)р Ь~Ни'+ ~[п <~-<>~(~~-~~> ~~~<>](~~'~'- >>>- 1 АБ.

, + ВБ. т АБ. + ВБ. д уиз 2 Из<2,3> <г> <з> дй М Аналогичным образом были определены все остальные производные в формулах (5.23),(5.24). В результате получены выражения, оглсывающие геометрические аберрации второго порядка оптической системы с малыми нарушениями осевой симметрии: 2А~' п а' = Я (Зй +й ) + 2(ЗЯ +Я )й (<>' + Г (ЗЯ +Я ) + (5. 42) где В,= (ра-у) (рЬ'а '+а'Ь-рЬ'а)п,- (ра+ф) и,' (а ' )'Ь— -а( 83,— р') Ь'(и -и')-2(ра-~р)п,Ь'+2(ра+ф)п,'Ь' + 2(а+Ь)рп,'Ь'- + (п и-ра~п;и,') +и'Ф)Ь~а')*- АБ,+ ВБ. , "(5*44) -(ра-~р)рЬ'и + (ра+ф)р Ь'и,' АБ. ,+ВБ. и) и)- Н АБ +ВБ . — АБ . +ВБ . , "(5.

45) пО В,= — У(ра-~)) рЬ вЂ” — а — рЬ вЂ” (ра+ф)Ча'- и! -ВЧ' Б,, — ВЧ' Б",,; Я,=(ра-р) (рЬН~)'+УРН-рЬНр)п,-(ра+ф) и,' а'р'Н— В,=(ра-у) (рЬНа'+арЬ-рЬНа)п,-(ра+ф) и' а'р'Ь— -а(ЕВ,-р' )Ь'Н(п.-п. )-2 (ра-~)п,Ь'Н+2(ра ф)п, Ь'Н+2(а+Ь)рп, Ь'Н- -~ра р)р Ь*Н и -:-)рани)пи*Ни' -:-(и.д-па~и.-и')~ и'ф)ЬЬ'р'- -а [8В,-р' ) ЬН' [и -и,' )-2 фоа-ф)п, ЬН'+2 (ро+ф) п1ЬН'+2 [а+Ь) рп,'ЬН'- -(ра р)рпН*п ~ (раер)р ПН*п' ~ [п,а-ра(п;П)еп,'ф]П(р')*- 7п тп- Н АБ. +ВБ. — АБ. + ВБ.; (5.47) 3=1 е1 3=1 п В = У [ра-~р) ~ рн — — Р— рН + (ра+ф)У]~'- 6 П' -А У Б.

— А ')(' ~5.48) В случае, когда в оптической системе нет градиентных сред и асферических поверхностей и параметры а,Ь,ф,ф связаны соотношениями а=-Ь; ф=ф=0, Формулы (5.22),[5.42)-~5.48) являются эквивалентом Формул ~2.45)-[2.52), полученных в работе [25,271. При расчете аберраций второго порядка оптической системы с малыми нарушениями осевой симметрии не учитывались эФФекты, возникающие в результате изменения апертурных характеристик оптической системы с нарушенной осевой симметрией.

Но такие изменения не будут иметь место в случае, когда апертурная диафрагма расположена до поверхности й оптической системы с нарушенной осевой симметрией [27,59]. В случае, когда в оптической системе нарушения осевой с~иметрии имеют место не только для поверхности й с прилегающими к ней й и 1+1 градиентными средпи, но и для й,,й,,й,, ... поверхностей с пригнкакщими к нам средами, смещение центра изображения и аберрации второго порядка могут быть вычислены как [бб~. ~у з ~уиз<~> где Ау„' ..., А~,'..., ЬС,'... — смещение изображения и составляющие геометрической аберрации второго порядка в плоскости изображения оптической системы, вычисленные по Формулам (5.22), ~5.42)-(5.48) для поверхности ~. И в ятом случае апертурная диафрагма должна предшествовать поверхности ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 5 С использованием теории лучевых диФФеренциалов первого, второго и третьего порядков проведен анализ оптических характеристик градиентных оптических систем с малыми нарушениях осевой симметрии в параксиальном приближении и с учетом аберраций второго порядка.

Получена Формула для расчета в параксиальном приближении координат точки пересечения луча с плоскостью изображения. Доказано, что в параксиальном приближении предметная плоскость и плоскость изображения оптической системы с нарушенной осевой симметрией оптически сопряжены. Получена Формула, связывающая смещение изображения с оптической оси второй части оптической системы с нарушенной осевой сиииетрией с параметражи, определяющими отступления от осевой симметрии.

Определены козФФициенты аберраций второго порядка, показана их связь с коэКпциентами аберраций третьего порядка исходной осесишетричной оптической системы. Для однородных оптических систем полученные Формулы превращаются в известные. .