Диссертация (Разработка методов расчета статических и динамических характеристик шпиндельных узлов со сферическими аэростатическими опорами), страница 10

При числах Махаменьше единицы - гипотеза о дозвуковом движении верна.Гипотеза сплошности потока проверена по числу Кнудсена:Kn lphl p a pa t mph,(2.2)где lp - средняя длина пробега молекул, h - зазор в рассматриваемой точке,l pa  6,2 108 м средняя длина пробега для воздуха при нормальных условиях.Если число Кнудсена превышает Kn*  0,01, то газовый слой нужнорассматривать, как разреженный газ, с помощью дополнительных поправок [44,48, 71, 99, 101, 104, 105].Примеры вычисления чисел Маха и Кнудсена для характерныхраспределений давления приведены в приложении П.3.2.3.1.

Геометрические и кинематические упрощения1. Величины, сопоставимые с радиальным зазором h0 отброшены посравнению с размерами, порядка радиуса опор h0  R  1  10 4  1 .2. Проекция скорости воздуха на нормаль опор, пренебрежимо мала посравнению с касательными проекциями. Поэтому давление постоянно потолщине смазочного слоя.3. Деформации опорных поверхностей, их шероховатость и отклоненияформы от идеальной сферы не учтены в расчётных моделях.4. Корпус опор неподвижен.5. Течение газа в пористых вставках направлено вдоль радиуса сфер.572.4. Математическое описание сферического газового слояВ данном разделе сформирована общая расчётная модель сферическойаэростатической опоры с наддувом, вязким сопротивлением тонкого слоя иэффектом "газодинамического клина".

В отличие от других известных работучитывается произвольное сочетание проекций векторов смещений шпинделя иего скоростей (поступательных и угловых).2.4.1. Обозначение и определение векторных и тензорных величинВ данной работе физические законы записаны в тензорном виде,использованнымП.А.Жилином[138].Направленныйотрезок,характеризующий ту или иную физическую величину, называется «прямымвектором» и обозначается жирными буквами. Например, смещение точки А uA; угловая скорость шпинделя, направленная по «правилу буравчика» – ω.Физический тензор, например тензор инерции шпинделя, относительно егоцентра тяжести С обозначается тоже жирными буквами JC.Описание и решение уравнений, приведённых ниже, проводилосьчисленно с использованием векторно-матричных операций.

Для этого прямомувектору ставится в соответствие матрица-столбец размерностью 3х1, изпроекций этого вектора на оси некоторой правой системы координат.Например, физический вектор u A может быть описан вектором – столбцомu Aa  , состоящим из проекций на оси системы координат  A, X a ,Ya , Z a  :uA  uAa   uAXa uAYa uAZa  . При записи проекций вектора первый индексT"А" соответствует индексу физического вектора. Потом следует индексыкоординатных осей «Xa», «Ya» и «Za». Тензор ставится в соответствие матрицаразмерностью 3х3.

Например, тензор инерции шпинделя JC в той же системе J CXaXaкоординат описывается как  J CYaXa J CZaXaJ CXaYaJ CYaYaJ CZaYaJ CXaZa J CYaZa  или кратко  J Ca  .J CZaZa 582.4.2. Системы координат опорыДля расчёта опоры введена правая декартовая система координат A0 , X a ,Ya , Z a  и сферическая  A0 , , , r (Рис. 2.3). A0 - центр сферы корпуса.Ось Z a совпадает с осью вращения шпинделя.

Для наглядности в этой главеопора повёрнута осью Za вверх. Декартова система координат опоры служитдля задания состояния шпинделя и для описания опорных реакций. Описаниевоздушного слоя и расчёт давления воздуха на опорные поверхности выполненв сферической системе координат.Рис. 2.3. Системы координат опорыОрты окружного, меридионального и радиального направлений e  , e  , e rзаданы проекциями в на орты декартовой системы координат ix, iy, iz спомощью матрицы преобразования координат  Ls ,  e   i x e   i y e   i z   cos  cos  cos  sin   sin  cos 0 . Ls   e   i x e   i y e   i z     sin e  i  sin  cos  sin  sin  cos  eieiryrz  r xДля описания состаяния воздуха по толщине зазора(2.3)ввыденавспомогательная координата y, отсчитываемая вдоль радиуса от сферическойповерхности шпинделя: r=R+y.592.4.3.

Уравнение РейнольдсаПри принятых гипотезах аэростатический слой описан на основанииизвестного в теории газовой смазки уравнения Рейнольдса [44] h3     p 2   K1  ps 2  p 2  (2.4)p12 2Vr p  pVt    h   h   pVt   24h,tгде h – зазор в рассматриваемой точке; p – абсолютное давление воздуха всмазочном слое; µ – коэффициент динамической вязкости воздуха; K1 –коэффициент, учитывающий наличие наддува;  - оператор Гамильтона;Vr  V  e rпроекцияскоростиповерхностиVt  V  V  e r  er  V  e e   V  e  e  векторшпинделяVкасательнойнанормаль;скоростиповерхности шпинделя (Рис. 2.4), t - время.Рис.

2.4. Проекции скорости поверхности шпинделя V на орты e  , e  , e rКоэффициент K1, учитывающий наличие наддува, определяется толщинойвставки δ и коэффициентом проницаемости материала вставки kpk p 0 ,  0, для точек вставки,, k p 0 ,   (2.5)k p , там, где нет вставки,где kp0 - переменный коэффициент проницаемости материала стенки корпуса.K1  12Независимые переменные в уравнении (2.4) это φ, Θ и t.2.4.4. Начальные и граничные условияРасчётнаяобластьявляетсяпрямоугольникомвсферическихкоординатах с границами   1 ,   2 и   min ,   max .

На сторонах60  co nstзаданы граничные условия Дирихле p  patm . На сторонах   c o n stp 0 (соответствующееможно задавать граничное условие Нейманаотсутствиюперетока)илиусловияциклическойсимметрии p  , p ,  p  1 ,    p   2 ,   .1 2Для расчёта в постановке «2D+t» должно быть задано начальноераспределение давления p ,   t 0 и временной интервал 0≤ t≤tk .2.4.5. Описание коэффициентов уравнения РейнольдсаСтатический поворот шпинделя не меняет геометрию смазочного слоя.Состояние смазочного слоя определено векторами линейной и угловойскоростью и смещением шпинделя.

Эти векторы, задаются проекциями вдекартовой системе координат  A, X a , Ya , Z a  .- Проекции скорости центра сферы A VA  VAa   VAXa VAYa VAZa  .T- Проекции смещения центра сферы A uA  uAa   uAXauAYa uAZa  .- Проекции угловой скорости шпинделя ω  a   XaYa Za  .TTПоступательная скорость VA необходимо учитывать для определениявязкого сопротивления, а угловая скорость ω - для моментов сопротивления ициркуляционных сил, возникающих в опоре. Во многих случаях скоростивращенияможнопринятьнаправленнойXa Ya Za   0 0 Za TTвдольосишпинделя, но для общности расчётов это не сделано.Коэффициенты уравнения (2.4) могут быть вычислены в зависимости отуказанных кинематических факторов для всех точек опорной поверхности.612.4.5.1.

Проекции и компоненты скоростиПроекции скорости Vr ,V ,V точек опорной поверхности шпинделявычисляются в соответствии с Таблицей 1.Таблица 1.Выражение проекций и компонент скоростейПроекция скорости поверхности шпинделя(скаляр)Компонента вектораскорости (вектор)Vr  VA  e r VAXa sin  cos   VAYa sin  sin   VAZa cos V   VA  ω e r R  e  VA  e  R( Za sin Ya cos  sin  Xa cos  cos )V  VA  ω e r R   e  Vr  Vr er(2.6)V  V e V VeVA  e   R  Xa sin   Ya cos Vt  V  Vr Vt  V 2  V 2V e  V e 2.4.5.2.

Расчёт переменного зазораПеременный зазор определён по смещению сферы шпинделя uAh  ,    h0  u A  e r  ,  ,(2.7)где h0 – номинальный зазор.2.4.5.3. Коэффициент проницаемости материала стенкиВоздух в смазочный слой нагнетается через пористые вставки, поэтомукоэффициент проницаемости материала стенки корпуса задан переменнымk , если  ,   rvstr ,k p 0 ,    p 0, если  ,   rvstr ,(2.8)где rvst радиус проницаемой вставки;   ,   R sin   расстояние от оси ближайшейвставкидорассматриваемойточки,sin   1 cos  2или62sin   1  e r ,   e r i , i   синус2угламеждунормалямикповерхности в рассматриваемой точки и в центре ближайшей i-той вставки Ci скоординатой i  N2round   (Рис.

2.5). 2 NРис. 2.5. Расстояние ρ(φ,Θ) от текущей точки до нормали er(φi,Θi), проведённойв центре ближайшей вставки Ci2.4.5.4. Толщина пористой вставкиОдна стенка пористой сферическая, а другая вставки плоская, из-за чеготолщина вставки не постоянна и зависит от расстояния до оси ближайшейвставки ρ(φ,Θ). Зависимость толщины вставки описывается функцией δ(φ,Θ) всферических координатах  ,    min  R 1  cos   ,где δmin –толщина вставки на её оси (Рис. 2.6).(2.9)63Рис. 2.6. Вычисление переменной толщины вставки δ(φ,Θ)Расчёт толщин производился для всех точек поверхности корпуса, новеличина δ(φ,Θ) имеет значение лишь для точек пористой вставки, так как длядругих точек коэффициент проницаемости материала стенки k pI ,  равеннулю.ПоэтомукоэффициентK1  12k p 0 ,  , вычисляетсясучётомпеременной толщины вставки δ(φ,Θ), для точек, где есть наддув воздуха, илиравен нулю для непроницаемой части опорных поверхностей.2.4.5.5.

Производная давления во времениДля «2D+t» задачи вычислялась производная давления по времениp , , t  p , , t   p , , t t ,tt(2.10)где t - шаг дискретизации времени.2.4.6. Уравнение Рейнольдса в сферических координатахУравнение (2.4) с учётом (2.6), (2.7), (2.8) и (2.9) записывается всферических координатах φ, Θ64  3p 2    h 3 p2  h sin    A,  ps2  p 2       sin   p  hh  B 2sin Vr p  V sin VR   h    pV   sin pV  2 p24sinhR,R  tгде A,   12 R 2 sin Длячисленногоk p 0 , и B  12R 2  переменные коэффициенты. , расчёта(2.11)уравнение(2.11)можетбытьприведеновбезразмерный вид, делением на h03patm2 и введением безразмерных параметров,отмеченных штрихом в Таблице 2.Таблица 2.Переход к безразмерным параметрам для шпинделя НШУС 110Безразмерная величинаДавление смазочного слоя p’Безразмерный зазор h’Скорость опорнойповерхности V’Связь с размерными величинамиp  ppatm1Характерная физическаявеличина для НШУС 110h  hh01RV Vpatm h0 2h0  105  мpatm  101325 [Па]мpatm h02 5,188   с R рад patm h0 247,2 с R 2Скорость вращения ω R 2ω ωpatm h0 2Толщина вставки  Коэффициент проницаемостивставки k  p 0   R1Rk  p0  3 k p0h0h03 9,0915 [м2 ]RСила F  .F  Fpatm1R2patm R 2  1230 [Н]Момент M  .M  Mpatm1R3tt t0patm R 3  135 [H  м]Время t’Расход воздуха Q’Q'Qatmh0 patm3R  0,11 [м]R 2t0  0, 216 [c]patm h0 2 м3 h0 3 patm 5.60 105   с  65При исследованиях цилиндрических газовых подшипников скольжениячасто (например, [40, 44, 48]) используются безразмерные критерии.