Диссертация (Разработка метода расчета сопротивления качению и теплообразования в массивных шинах при стационарных режимах движения), страница 14

Закон изменения деформации образца при гармоническом нагружении можно представить в виде (Рисунок 2.5): 1 = 1 (1 − cos( − )), где – фазовый угол, на который отстаетзакон изменения деформации от напряжения. В эксперименте при постояннойчастоте, но разных амплитудах напряжений этот угол оставался неизменным.Последнее наблюдение дает возможность, исходя из структуры выражения (2.6)для рассеянной энергии, предположить существование приближенной зависи-88мости(︂≈)︂+1−(2.7),или, что тоже самое,ln(︂≈ ( + 1 − )ln)︂.(2.8)Приведенное соотношение выполняется тем точнее, чем ближе к линейной зависимость амплитуды деформации 1 от амплитуды напряжения , при неизменном виде функций напряжений и деформаций. Экспериментально полученнаякривая, показанная на Рисунке 2.10(б), в исследуемом диапазоне деформацийхорошо удовлетворяет этому условию.Из Рисунка 2.10(a) видно, что зависимость (2.8) приближенно справедливапри значении показателя степени немногим меньше, чем 2.

Принимая в первомприближении + 1 − = 2, в дальнейшем полагаем в законе ползучести (2.3)и последующих уравнениях (2.5) - (2.6), показатель степени = − 1.По результатам эксперимента энергия, рассеянная за один цикл гармонического нагружения, практически не зависит от частоты в исследованномдиапазоне частот от 1 Гц до 20 Гц. При расчете удельной рассеянной энергиипо формуле (2.6) имеем√2f ( , 1 ) , = √ +1 3( + 1)где1f ( , 1 ) =2∫︁(2.9) | | sign ( ) ()(ℎ − 1 + 0 )0является средним значением подынтегральной функции на периоде; –частотапроцесса в Гц; , 1 – амплитудные значения напряжения и деформации.Чтобы приблизить математическую модель к результатам экспериментов,будем полагать, что в случае монохроматического гармонического нагруженияпараметр модели A зависит от частоты, а именно ей пропорционален = ˜ ,(2.10)89˜где –искомаяпостоянная модели.Тогда расчетное значение рассеянной энергии остается постоянным прилюбых изменениях частоты.Численные эксперименты по интегрированию системы уравнений (2.1) (2.3) показывают, что малый параметр 0 практически не влияет на деформационные и гистерезисные характеристики процесса, если его значение удовлетворяет условию 0 ≪ |ℎ − 1|.

Исключая этот параметр из числа искомых,принимаем 0 = 10−5 .Оставшиеся неизвестные параметры модели определяем из условия минимума относительных отклонений теоретически подсчитанных размахов деформации ℎи рассеянной энергии ℎ от результатовэксперимента11{︁}︁˜ и составими . Введем вектор искомых постоянных = , , ,функцию отклонений(︃ (, , ) =ℎ− 111)︃2(︂+ ℎ − )︂2.(2.11)Для поиска вектора , обеспечивающего минимум функции отклонений (2.11), используем метод Нелдера-Мида.

Поиск будем осуществлять средидопустимых значений вектора из области{︀}︀ = ∈ 4 : 6 6 ,(2.12)где – i-я компонента вектора .Для этого к функции отклонений (2.11) добавим штрафную функциюФ (), не позволяющую параметрам поиска выходить за границу области .Штрафная функция может быть сформирована различными способами.

В работе использовалась следующая ее формулировка. Сначала определялись степени выхода каждой компоненты за допустимую область1 − ,= − 2 − = . − 12Если компонента находится в допустимой области, то 6 0, 6 0; в12противном случае или > 0, или > 0. Далее штрафная функция вычис90лялась по формуле4∑︁[︀ (︀ 1 )︀(︀ 1 )︀(︀ 2 )︀(︀ 2 )︀]︀Ф () =H exp +Hexp ,(2.13)=1(︀ 1 )︀ (︀ 2 )︀где H , H – функции Хевисайда.Модифицированная функция цели имела вид (, , ) = (, , ) + Ф () .(2.14)При фиксированной амплитуде цикла напряжений функция (, , )зависит от частоты воздействия и достигает минимума при различных векторах (). Чтобы получить единый вектор , компоненты которого обеспечивают аппроксимацию закона вязкоупругости резины в диапазоне частотот 1 Гц до 20 Гц, еще раз изменим функцию цели.

Новую функцию образуемпутем суммирования функций отклонений (2.11) для всех экспериментально исследованных циклических нагружений с различными частотами из указанногодиапазона∑︁ (, ) = (, , ) + Ф () .(2.15)Вектор определялся на основе результатов испытаний резин при пульсационном гармоническом и трапецеидальном сжатии с размахом условногонапряжения = 2,55 МПа. Область поиска параметров задавалась неравенствами{︁}︁3˜ = ∈ : 3 6 6 4, 7; 0 < 6 5; 0 < < ∞; 1 6 6 2 .Границы изменения равновесного модуля упругости определялись на основе диаграмм статического и динамического сжатия резины, представленных наРисунке 2.13, путем пересчета модуля упругости ≃ 9 ÷ 14 МПа при выбранном коэффициенте Пуассона = 0,48.

Пределы изменения модуля упругости выбирались одного порядка с равновесным модулем. Возможные значениястепени определялись на основе динамической теории движения макромолекул в полимерном расплаве [47].91Условное напряжение сжатия, МПа3.01.8 с-4-13.4 10 с-12.52.01.51.00.5005101520Относительное укорочение, %2530Рисунок 2.13. Диаграммы сжатия резины 4Э-1386 при различных скоростях относительного укорочения образцаВ результате минимизации функции (2.15) получены следующие значенияпараметров модели = 3,9 МПа, = 3,2 МПа,˜ = 0,36 МПа− , = 2.Найденные значения параметров модели использованы при расчете циклического деформирования резин.

На Рисунке 2.14 показана расчетная установившаяся гистерезисная петля, как результат интегрирования системы уравнений (2.1) - (2.3) при гармоническом изменении напряжений.Условное напряжение сжатия, МПа3.02.52.0121.51.00.500510152025Относительное укорочение, %Рисунок 2.14. Расчетная (1) и экспериментальная (2) гистерезисные петли длярезины при пульсационном гармоническом сжатии с размахомусловного напряжения сжатия = 2,55 МПаНа этом же рисунке представлена экспериментальная кривая, полученнаяпри частоте 10 Гц. Несмотря на некоторое различие в формах расчетной и экс-92периментальной гистерезисных петель, их площади, то есть удельные механические потери , практически совпадают.

Аналогично, на Рисунке 2.15 представлены гистерезисные петли при трапецеидальном пульсационном воздействии.Изображенная экспериментальная кривая, в этом случае соответствует частоте1,429Гц. Сравнительные характеристики циклов для обоих случаев нагруженияприведены в Таблице 2.9.Условное напряжение сжатия, МПа3.012.522.01.51.00.500510152025Относительное укорочение, %Рисунок 2.15.

Расчетная (1) и экспериментальная (2) гистерезисные петли длярезины при пульсационном трапецеидальном сжатии с размахомусловного напряжения = 2,55 МПаТаблица 2.9.Характеристики циклов нагружения. Т – теоретические результаты, Э –экспериментальные данные ,%Тип нагруженияq, Дж/см3ТЭТЭТЭГармонический20,518,80,0630,0650,240,27Трапецеидальный18,319,70,0770,0770,330,30Для дальнейшей проверки математической модели исследована зависимость между удельными механическими потерями и размахами условных напряжений при гармоническом пульсационном сжатии (Рисунок 2.16). Из графиков видно, что при размахах напряжений до 3 МПа наблюдается весьмахорошее соответствие между результатами расчета и эксперимента. Еще боль-93шая точность обнаруживается в зависимости между размахами напряжений идеформаций (Рисунок 2.17).В целом, рассмотренные соотношения вязкоупругости для резины даютдостаточную для практических целей точность в оценке гистерезисных потерь.Расхождение с экспериментом в этом случае составляет не более 10%.0.20Механические потери, Дж/см3120.150.100.05000.51.01.52.02.53.03.5Размах условного напряжения сжатия, МПа4.04.5Размах относительного укорочения, %Рисунок 2.16.

Расчетная (1) и экспериментальная (2) зависимости удельных механических потерь от размахов условных напряжений при гармоническом пульсационном цикле нагружения351302522015105000.51.01.52.02.53.03.5Размах условного напряжения сжатия, МПа4.04.5Рисунок 2.17. Расчетная (1) и экспериментальная (2) зависимости между размахами напряжений и деформаций при гармоническом пульсационном цикле нагружения2.3 Выводы по второй главе1. Выполнено исследование зависимости динамического модуля упругости резины и величины потерь энергии в резине от амплитуды цикла нагружения,частоты цикла и его формы.942. Экспериментально показано, что величина удельной рассеянной энергии врезине не зависит от частоты нагружения.3. Обнаружено, что при деформациях, не превышающих 20%, зависимостьнапряжений от деформаций близка к линейной, что позволяет использоватьдля описания упругого поведения резины потенциал Гука.4.

Выполнен теоретический анализ результатов экспериментов при помощимодели вязкоупругого поведения материала Бергстрема-Бойс.5. Предложен способ сокращения числа искомых параметров модели материала. Поиск значений оставшихся параметров осуществлялся из условия минимума функции отклонений теоретически подсчитанных размахов деформаций и рассеянной энергии от результатов экспериментов, усредненных почастоте. Для этого использовался метод Нелдера-Мида.6. Показано, что предложенная для расчета модель материала БергстремаБойс с одним набором значений параметров позволяет довольно точно описать полученные экспериментальные данные, как в случае гармонического,так и в случае трапецеидального нагружения.95ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕКОНТАКТА, СОПРОТИВЛЕНИЯ КАЧЕНИЮ ИСАМОРАЗОГРЕВА МАССИВНОЙ ШИНЫ ПРИ ОБКАТКЕ НАБАРАБАННОМ СТЕНДЕИспытания проведены на массивной шине типоразмера 630 × 170.

Ее первоначально коническая беговая поверхность с малым углом конусности былаобточена на станке, для придания цилиндрической формы. Полученные послеобработки форма и размеры резинового массива шины показаны на Рисунке 3.1и в Таблице 3.1.Рисунок 3.1. Профиль экспериментальной массивной шиныРазмеры резинового массива шиныТаблица 3.1.Наружный диаметр 0 , мм625,5Внутренний диаметр , мм545,5Ширина беговой дорожки 0 , ммШирина основания резинового массива , ммМасса массивной шины M, кг149162,650963.1Определение нагрузочной характеристики шины при обжатиина плоскую опорную поверхностьВ данном эксперименте шина, установленная между плоскими металлическими площадками испытательного стенда Zwick/Roell Z100, статически обжималась с обеих сторон заданным усилием так, как это показано на Рисунке 3.2.При этом фиксировалось сближение площадок.