Диссертация (Разработка метода расчета сопротивления качению и теплообразования в массивных шинах при стационарных режимах движения), страница 11

В качестве альтернативного подхода к решению задачи сцепления вработе [123] был рассмотрен метод Лагранжа со штрафом (augmented Lagrangemethod) [144], который позволяет выполнить условия контакта не прибегая кзаданию большого значения коэффициента штрафа.В работе [120] для учета сил трения в контакте использовался неявныйподход. Полная скорость представлялась в виде суммы скоростей сцепления и скольжения . По аналогии с теорией пластичности для скоростискольжения был сформулирован неассоциированный закон скольжения = −ℱ.f (1.118)66Вместо интеграла (1.116) в вариационное уравнение добавлялось слагаемое∫︁)︂(︂ℱ Ω .

+ f (1.119)ΩОпределение области сцепления/скольжения проводилось итерационным путемпо схеме «предиктор-корректор» (predictor-corrector schema). На шаге «предиктор» задача решалась методом штрафа. На шаге «корректор» переопределялось значение параметра путем добавления к нему слагаемого⎧⎨0,ℱ 60,(1.120)Δ =⎩ ℱ, ℱ > 0где – масштабный фактор времени. Аналогичный подход к учету сил тренияв контакте при качении использовался в работе [46].В более поздних работах [32, 53, 122, 124] была высказана критика относительно решения задачи сцепления в скоростях.

Вне зависимости от используемого подхода – метода штрафа или метода множителей Лагранжа – непосредственное ограничение скоростей при сцеплении (1.116) приводит к физическинекорректным результатам решения. Это объясняется тем, что не отслеживается совместный путь точек, вошедших в контакт. В качестве примера в работе [53] представлены расчетные графики распределения касательных сил иотносительных скоростей проскальзывания в контакте при качении упругогодиска по твердой опорной поверхности (Рисунок 1.25) в случае полного сцепления контактирующих тел.

При обсуждении качественных результатов решениязадачи качения размеры системы и способ задания материала не оговаривался.На Рисунке 1.25 решение показано для случая свободного качения и относительного скольжения = 5% 1 . Из графика скоростей видно, что почти во всейобласти контакта условия сцепления соблюдены. Однако, на входе и на выходеиз контакта возникают резкие скачки скоростей, а сами графики симметричные, что физически неверно. К тому же, из S-образных кривых сил сцеплениявидно, что для разных режимов качения результирующая касательная сила вконтакте равна нулю.−В промышленности под термином относительное проскальзывание (%) понимают величину = ,где – линейная скорость качения колеса, – окружная скорость движения точек, принадлежащих поверхности колеса1Узловые касательные силы, НОтносительная скорость проскальзывания67Окружное направление, ммОкружное направление, ммРисунок 1.25.

Касательные контактные силы и относительная скорость проскальзывания, посчитанные при ограничении скоростей в контакте методом штрафаМатематическое обоснование ошибки, возникающей при расчете, было получено после приведения работы контактных сил к виду∫︁∫︁f · Ω =Ω∫︁ · · Г Г −Г · Ω ,(1.121)Ωгде – относительное проскальзывание контактирующих точек в контакте; –скорость движения точек, принадлежащих деформированной поверхности колеса; Г – внешняя нормаль к контуру, ограничивающему область контакта; – импульс силы, вычисляемый как∫︁=f .(1.122)В зоне сцепления второе слагаемое в правой части выражения (1.121) совпадает со штрафным слагаемым (1.116) при = − .

Первое слагаемое описывает поток импульса через границу зоны контакта Г , и его наличие приводитк физически достоверным результатам анализа. Результаты расчета с учетомэтого граничного слагаемого приведены на Рисунке 1.26. Из эпюры скоростейвидно, что контактирующие точки входят в область контакта плавно (без скачков скоростей). Даже в случае свободного качения график касательных силимеет несимметричный вид, что говорит о наличии силы сопротивления качению.В результате такого анализа были предложены иные способы учета проскальзывания.

В работе [122] учет сил трения скольжения выполнялся итера-Узловые касательные силы, НОтносительная скорость проскальзывания68Окружное направление, ммОкружное направление, ммРисунок 1.26. Касательные контактные силы и относительная скорость проскальзывания, посчитанные при использовании слагаемого, характеризующего поток импульса через границу зоны контактационно путем ограничения в области скольжения касательных напряжений.

Напервой итерации в области контакта всюду выполнялось условие сцепления. Пополученным касательным силам на последующей итерации проверялось условие скольженияℱ =‖ f ‖ −f > 0 ,(1.123)где f – критическое напряжение, которое может быть произвольной функцией контактного давления, температуры и других факторов.

Если оно выполнялось, контактирующие точки относились к области скольжения и в вариационное уравнение вводился интеграл)︂∫︁ (︂ f + f· Ω = 0 ,‖‖(1.124)Ωгде – относительное проскальзывание контактирующих точек. Далее сноварешалась контактная задача и вновь пересматривалась область скольжения.Описанный явный способ решения задачи приводил к плохой (неустойчивой)сходимости.

Поэтому в работах [53, 124] было предложено выполнять условияконтакта, накладывая ограничения не на скорости, а на относительные проскальзывания контактирующих точек. Для этого при решении задачи МКЭ помимо аппроксимации перемещений вводилась отдельная аппроксимация поляотносительных проскальзываний . Из вектора выделялись необратимая и «упругая» составляющие. Последняя величина использовалась при записи69определяющего соотношения для касательного напряжения в области контактаf = − ( − ) ,(1.125)где – штрафной параметр, имеющий смысл коэффициента упругости. Далееприменялся метод «предиктор-корректор» для переопределения величины .Авторами работы [2] также предложено выполнять условия сцепления вперемещениях методом штрафа.

В работе [2] вычисление взаимного пути следования точек поверхности автомобильной шины и плоской твердой дороги проводилось путем непосредственного интегрирования относительных скоростейсмещений. При численной реализации задачи этот подсчет требовал введениягипотезы о расположении областей сцепления и скольжения. Предполагалось,что в момент входа в контакт и дальнейшего продвижения вглубь контактаточки поверхности шины и дороги остаются сцепленными, пока деформациисдвига в пограничном слое резины не достигнут критического значения. Затем наступает проскальзывание.

Описанный метод решения применим, когдаформа опорной поверхности близка к плоскости.1.4 Выводы по первой главе1. Актуальность разработки метода расчета силы сопротивления качению массивной шины следует из наличия многочисленных литературных источников при отсутствии общепризнанного подхода.2.

Для определения рассеяния энергии внутри резинового массива шины целесообразно использовать модель материала Бергстрема-Бойс, посколькуона является физически обоснованной, пригодной для описания термодинамически неравновесных процессов деформирования материала и хорошоописывает экспериментальные результаты в широком диапазоне частот нагружения.3. Упругое поведение наполненной резины при умеренных деформациях весьма хорошо описывается при помощи эмпирического потенциала Йоха и физической расширенной модели трубки (extended tube model). В последнеевремя эти потенциалы нашли широкое применении при расчете резиновыхизделий, деформации которых достигают сотен процентов. При деформациях, не превышающих 20%, как это имеет место при качении массивных70шин, их можно заменить одноконстантным неогуковым потенциалом, который при малых деформациях сводится к упругому потенциалу Гука.4. В рассмотренных работах, посвященных решению вязкоупругой стационарной задачи качения, предлагается использовать несимметричную матрицужесткостей, ширина ленты которой сильно возрастает при увеличении числа элементов в окружном направлении.

Это приводит к большой дополнительной затрате ресурсов компьютера, времени решения и сильно ограничивает выбор шага интегрирования эволюционных уравнений вязкоупругости.5. Исследуя напряженно-деформированное состояние массивной шины при качении не обязательно рассматривать всю шину целиком. Достаточно ограничиться рассмотрением сектора, непосредственно контактирующего с дорожным полотном, а остальную часть полагать абсолютно жесткой.6.