Диссертация (Разработка высокоточных алгоритмов коррекции навигационных систем летательных аппаратов), страница 10

Такое представление называют «расширенной линеаризацией» или«параметризацией состоянием системы» (State Dependent Coefficient, SDCпредставлением) [92].64Преобразованные с помощью метода SDC-представления уравнения (2.57)имеют вид [5]dx(t )  A(t , x)x(t )  G (t , x)w(t ),dtz (t )  H(t , x) x(t )  v(t ),(2.58)где A(t , x) – нелинейная матрица системы; G(t , x) – нелинейная входная матрица; H(t , x) – нелинейная измерительная матрица; A(), G(), H() − матрицыдействительных переменных.SDC-представление нелинейной системы (2.58) является наблюдаемым[5,84] в области x(t )  Ω x , если пара A(t, x) H(t, x) наблюдаема в линейномсмысле для (t, x)  Т   x , т.е.H( t , x ) H( t , x ) A ( t , x )   n.rank O(t , x )  rank  H(t , x )A(t, x ) n1 (2.59)Так как матрицы H(t, x) , A(t, x) содержат постоянные элементы, поэтомувыражение (2.59) не что иное, как критерий наблюдаемости Калмана [94] вточках ti  [t0 , t1 ] .

Приведенный критерий аналогичен критерию наблюдаемостиКалмана для линейных стационарных систем и можно назвать «поточечным»критерием Калмана.Соответственно, существует положительно определенная матрица Ν(t , x)(грамиан наблюдаемости) для всех (t, x)  Т   x , являющаяся решением уравнения Ляпунова:AT (t , x)Ν(t , x)  Ν(t , x) A(t, x)  HT (t, x) H(t, x)  0.(2.60)Следует отметить, что задачи исследования наблюдаемости систем вида(2.58), т.е. систем с параметрами, зависящими от состояния, общего конструктивного решения в настоящее время не имеют. При исследовании подобных систем можно ограничиться проверкой выполнения условий наблюдаемости «по65точечно» [5], т.е.

для линеаризованной системы в окрестности исследуемогосостояния.На практике, для удобства обработки информации часто используетсядискретнаяформасистемы.ВдискретнойформеSDC-представлениенелинейной системы (2.58) имеет видx k  Φ(tk 1 , xk 1 )x k 1  G (tk 1 , xk 1 )w k 1 ,z k  H(tk , xk ) xk  v k .(2.61)где Φ(tk 1 , xk 1 ) – матрица объекта; G(tk 1 , xk 1 ) – матрица входа; H(tk , xk ) – матрица измерений.Необходимо отметить, что матрицы Φ(tk 1 , xk 1 ) , G(tk 1 , xk 1 ) и H(tk , xk ) являются матрицами с параметрами, зависящими от состояния.Предполагается, что w k и v k являются гауссовскими «белыми» некоррелированными шумами, причем для любых j и k , v j и w k некоррелированымежду собой ( т.е E  v j wTk   0 ).Выражение измерения z k для вектора состояния, используя n проведенных измерений, имеет видz k  H (tk , x k ) x k  v k ,z k 1  H (tk 1 , x k 1 ) Φ(tk , x k ) x k  H(tk 1 , x k 1 )G (tk , x k ) w k  v k 1,z k  n1  H (tk  n1 , x k  n1 )Φ(tk  n2 , x k  n2 ) H (tk  n1 , x k  n1 )Φ(tk  n2 , x k  n2 )Φ(tk , xk ) xk (2.62)Φ(tk 1 , xk 1 )G (tk , xk ) w k  H(tk  n1 , x k  n1 )G (tk  n2 , x k  n2 )w k  n2  v k  n1.В матричной формеzk  O Nk xk  vk ,где zk z z k   k 1  ,z k n1 (2.63)66O NkH ( tk , x k )H(tk 1 , x k 1 ) Φ(tk , x k ), H( t k n1 , x k n1 ) Φ(tk n2 , x k n2 ) Φ(tk , x k ) vk v k  H(tk 1 , x k 1 )G (tk , x k )w k  v k 1   v;vk   k 1    ...

     H(tk n1 , x k n1 )Φ(tk n2 , xk n2 ) Φ(tk 1, xk 1 )G (tk , xk )w k  v k n1     H(t , xk  n 1 k  n 1 )G (tk  n  2 , x k  n  2 ) w k  n  2  v k  n 1векторы zk , v*k и матрица O Nk включают параметры, которые зависят отсостояния.Матрица O Nk в формуле (2.63) для нелинейных объектов является матрицей наблюдаемости [75]. В соответствии с критерием (2.59), система (2.61) является наблюдаемой, если rank ONk   n .Численный критерий степени наблюдаемости переменных состоянияодного класса нелинейных систем.Критерии степени наблюдаемости предполагают анализ объектов, описываемых линейными стационарными и нестационарными уравнениями.

Однакочасто встречаются случаи, когда анализу подлежат уравнения, имеющие явновыраженный нелинейный характер. В этом случае для определения степенейнаблюдаемости компонент вектора состояния нелинейных систем можно модифицировать известные критерии.С учетом уравнения (2.63), получимOTNk zk  OTNk O Nk xk  OTNk vk .(2.64)Следовательно, уравнение (2.63) иметь видOTNk O Nk xk  OTNk zk  OTNk vk .(2.65)Когда SDC-представление нелинейной системы (2.61) является наблюда-67емым, ранг матрицы наблюдаемости O Nk равен порядку системы n , поэтомуранг матрицы OTNk ONk размерности n  n также равен порядку системы n , и соответственно матрица OTNk ONk является обратимой.

Тогда получим11xk  OTNk O Nk  OTNk zk  OTNk O Nk  OTNk vk .(2.66)Введем обозначениеYk  O†Nk zk ,(2.67)1где O†Nk  OTNk ONk  OTNk является псевдообратной матрицей O Nk [81].Следует отметить, что матрица O†Nk также является матрицей с параметрами, зависящими от состояния.В практических приложениях часто необходимо определять степенинаблюдаемости конкретных переменных состояния в процессе функционирования динамического объекта. Поэтому предполагаем, что вычислить степеньнаблюдаемости компонент вектора состояния системы необходимо учитываятолько одно сформированное измерение (2.62), состоящее из измерений на nподтактах.В скалярной форме уравнение (2.67) имеет видYki  O1,i k zk  O2,i k zk 1 где Yki ‒ i -й элемент вектора Yk , Oij ,k  j  1, Oni ,k zk n1 ,(2.68), n  ‒ i -я строка матрицы O†Nk .Для остальных компонент вектора состояния уравнения измерений формируются в соответствии с уравнением (2.68).Для произвольной компоненты вектора состояния запишем вектор приведенного измерительного шума k  O†k vk в скалярном видеki  O1,i k vk  O2,i k vk1  Oni ,k vkn1.(2.69)Соответственно, дисперсия измерительного шума, приведенного к i -йкомпоненте, имеет вид222iRNk M  ki     O1,i k    O2,i k   2  Oni ,k   Rk0 ,(2.70)68где Rk0  E vk2  ‒ дисперсия исходного измерительного шума vk .Для того чтобы разработать критерий степени наблюдаемости переменных состояния нелинейных систем воспользуется структурой критерия для линейных систем.

Численный критерий степени наблюдаемости для нелинейныхсистем имеет вид [75]iDoNk2E  xki   Rk0 ,2iiE Yk  RNk(2.71)где2E  xki   ‒ дисперсия произвольной i -ой компоненты вектора состояния;2E Yki   ‒ дисперсия приведенной измеряемой i -й компоненты вектораизмерений.С учетом выражения (2.70), окончательно получимiDoNk2E  xki  .n22iiE Yk     O j ,k  j 1(2.72)Необходимо отметить, что при исследовании подобных нелинейных систем нужно вычислять степени наблюдаемости «по точечно», т.е. необходимоучитывать влияние параметров, которые зависят от состояния, на векторы Yk , *k и матрицу O†Nk .Применение разработанного критерия может быть продемонстрированона примере определения качества наблюдения погрешностей инерциальныхнавигационных систем.69Выводы по Главе 2Во второй главе:1. Рассмотрены способы определения качественных характеристик математических моделей динамических систем;2.

Представлены критерии степени наблюдаемости компонент вектора состояния линейных систем, а также критерии степени идентифицируемости параметров моделей динамических систем;3. Разработан численный критерий степени идентифицируемости параметров нестационарной модели динамических объектов, который имеет ясныйфизический смысл, отличается простотой, универсальностью, и позволяет вычислять качество идентификации параметров в виде скаляра.4. Предложены оригинальные численные критерии для определения качественных характеристик наблюдаемости переменных состояния нестационарных и нелинейных систем.

В основу разработанных критериев положен численный критерий степени наблюдаемости переменных состояния линейных систем. При синтезе критерия для нелинейных систем использованы SDCпредставление нелинейной модели и структура известного критерия степенинаблюдаемости переменных состояния линейных систем.70ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ КОРРЕКЦИИ НАВИГАЦИОННОЙИНФОРМАЦИИАлгоритмическая коррекция навигационных систем обычно осуществляется с помощью компенсационных сигналов, которые получены на основе анализа и испытаний навигационных систем. Примером такой коррекции являетсяспособ компенсации динамического дрейфа гиростабилизированной платформы на основе сигналов с датчиков углов прецессии [61], алгоритмы компенсации теплового дрейфа поплавковых гироскопов, предварительная фильтрациясигналов ГНСС, РЛС и др.Однако более точную компенсацию погрешностей навигационных системпроводят с использованием алгоритмов коррекции высокого уровня – алгоритмов оценивания, прогнозирования и комплексирования [6,8,27,28,30].

Такая алгоритмическая коррекция предусматривает использование второго измерительного датчика информации, внешнего по отношению к корректируемой системе.С помощью этого внешнего датчика формируется измерительный сигнал дляалгоритмов, представляющий собой смесь ошибок измерительной системы ивнешнего датчика.3.1. Линейный нестационарный фильтр КалманаНаиболее распространенные методы компенсации погрешностей навигационных систем предполагают использование различных алгоритмов оценивания [7,48,49,66].