Диссертация (Методы и оптико-электронные приборы для контроля качества защитных голограмм), страница 8

Тогда [50] реализация такого профиляимеет видZξ=( x) Z ( x) + ξ ( x) .(2.20)Будем считать, что искажение ξ ( x ) микрорельефа представляет собойоднородное случайное поле, подчиняющееся нормальному закону wξ (ξ ) снулевым математическим ожиданием ξ ( x ) = 0 и дисперсией σ ξ2 = ξ 2 ( x ) , аименно,wξ (ξ )=1σξ ξ2 exp  − 2  2σ 2πξ (2.21)51Составляющую A2 ( β ) комплексной амплитуды дифрагирующей волныможно считать детерминированной, т.к. она определяется оптическойразностью хода для точек профиля, отстоящих вдоль оси x на величину,кратную периодуTраспределения детерминированного микрорельефа,описываемого формулой (2.16).ДлявычислениясоставляющейA1 ( β )комплекснойамплитуды,описываемой формулой (2.10), необходимо найти выражение оптическойразности хода ∆ξ1x в пределах одного периода с учётом случайных искаженийξ ( x ) микрорельефа.

По аналогии с формулой (2.17) оптическая разность хода вэтом случае может быть определена выражением∆ξ1x ( x,ξ ) =x12 +  Z ( x1 ) + ξ ( x1 )  ⋅ sin (α + ϕ ') + sin ( β + ϕ ')  ,2 Z ( x1 ) + ξ ( x1 )  .x1ϕ ' = arctg (2.22)(2.23)Как и для идеализированного профиля, будем считать, что координата x1луча на профиле связана с координатой x в пределах периода ДР уравнением(2.18), а именноx1 − Z ( x1 ) ⋅ tgα =x.Таким образом, при наличии случайных искажений микрорельефаоптическая разность хода в пределах периода описывается случайнойфункцией, нелинейно зависящей от искажений.Примем допущение о том, что среднеквадратичное отклонение (СКО)случайных искажений ξ ( x ) много меньше амплитуды Z 0 микрорельефа, т.е.σ ξ << Z 0 .

При таком допущении выражение (2.22) можно разложить в рядМаклорена по переменной ξ :∂∆ξ1x ( x, ξ )∂ 2 ∆ξ1x ( x, ξ )∆ξ1x ( x, ξ ) =∆ξ1x ( x,0 ) +⋅ξ +⋅ ξ 2 + ...2∂ξ2 ⋅ ∂ξξ =0ξ =0(2.24)52Ограничившисьпервымидвумячленамиряда(2.24),получимприближённую формулу для вычисления пространственного распределенияоптической разности хода при наличии искажений периодического рельефа ввиде ξ ( x) = ∆ ( x) + ∆ ( x) ,∆1x1x1ξ(2.25)где∆1x ( x ) =∆ξ1x ( x,0 ) =x12 + Z 2 ( x1 ) ⋅ sin (α + ϕ ) + sin ( β + ϕ )  ,∆1ξ ( x ) = f ( x ) ⋅ ξ ( x ) ,f ( x) =(2.26)(2.27)∂∆ξ1x ( x, ξ ).∂ξξ =0(2.28)Для оценки погрешности принятого приближённого описания оптическойразностиходабыливыполненырасчётыкомплекснойамплитудыиинтенсивности дифракционного распределения с использованием для фазовогонабега точной формулы (2.22) и приближённой формулы (2.25).

Оценкапогрешностипроизводиласьдлясинусоидальногомикрорельефа,описываемого формулой (2.1), который, в соответствии с формулой (2.20),искажался аддитивной величиной, реализация которой представляла собойгармоническую функцию видаξ ( x ) = ξ 0 sin  2πгдеk ( x − x0 ) ,T(2.29)ξ 0 − амплитуда случайных искажений, T k − период, x0 − смещение.В соответствии с формулой (2.28), функция f ( x ) , описывающая частнуюпроизводную оптической разности хода для синусоидального рельефа отоптической разности хода, имеет вид532π ⋅ x  2⋅ A ⋅ sin T  cos  β + atan 4 1xπ ⋅ x22+f ( x) := 4⋅ A ⋅ sin  + x ⋅T44  2π⋅xπ⋅x2  4⋅ A ⋅ sin   4⋅ A ⋅ sin  T  T  + 1x⋅+1 x⋅22xx22 π ⋅ xπ ⋅ x  2⋅ A ⋅ sin 2⋅ A ⋅ sin 2T T  π ⋅ x  2⋅ A ⋅ sin  ⋅ sin  β + atan  +x4 T   π⋅x24⋅ A ⋅ sin T 4π ⋅ x+12x⋅4⋅ A ⋅ sin 2xT −+34π⋅x224⋅ A ⋅ sin 2 +x 2  π ⋅ x 4   T  4⋅ A ⋅ sin   3 T  + 1 x⋅ 2x (2.30)При оценке погрешности принятого приближения выбирались различныезначения параметров ξ 0 , k и x0 при заданной амплитуде Z 0 синусоидальногорельефаиуглеβ , соответствующего первому главному максимумудифракционной картины при заданном угле α подсветки ДР.

На Рис. 2.7, вкачестве примера, приведены графики пространственного распределенияоптической разности хода ∆ξ1x ( x ) , рассчитанной по точной формуле (2.22) ξ ( x ) , вычисленной по приближённой(красная кривая), и разности хода ∆1xформуле (2.25) (синяя кривая). Вычисления проводились при следующихисходных данных: α = 0 , Z 0 = 0,1 мкм , T = 1мкм , β = 31 , ξ 0 = Z 0 , k = 10 иx0 = 0 .На основе сравнения графиков на Рис. 2.9 можно констатировать, чтопространственное распределение оптической разности хода, рассчитанной поточной и приближённой формулам, практически совпадают даже приамплитуде искажений, равной амплитуде синусоидального микрорельефа.Рис. 2.9. Зависимостипространственногораспределенияразности хода по точной и приближённой формуламоптической54Результаты расчётов интенсивности дифракционного распределениятакжеподтверждаютправомочностьиспользованияприближённойформулы (2.25).

При значениях параметров, равных Z 0 = 0,1 мкм , T = 1мкм ,β = 31 , ξ0 = Z 0 , k = 10 и x0 = 0 , относительная погрешность вычисленияоптической разности хода ничтожно мала и не превышает 4 ⋅ 10−12% .На основании полученных результатов оценки погрешностей можносделатьвывододопустимостипринятогоприближённогоописанияпространственного распределения оптической разности хода при наличиислучайных искажений синусоидального профиля.Выведемтеперьвыражениедлявычисленияинтенсивностидифракционного распределения при наличии искажений рельефа ξ ( x ) ,описываемых случайной функцией, которые, как принято выше, представляютсобой однородное случайное поле, подчиняющееся нормальному закону wξ (ξ )с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ ξ2 .Используя формулу (2.10), выражение для вычисления составляющейA1 ( β ) , которая в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля определяет впределах одного периода суммарный вклад в распределение интенсивностивторичных волн с единичной амплитудой, имеет вид=A1 ( β )∫ exp{ik ∆ ( x ) + ∆ ξ ( x )} dx .T1x1(2.31)0Примем ещё одно допущение, о том, что случайное поле флуктуациймикрорельефа не влияет на значение пределов интегрирования.

Это допущениепри наличии виньетирования отражённой волны позволяет определять пределыинтегрирования на периоде в соответствии с условиями, сформулированными в[37].Так как амплитуда волны A1 ( β ) является случайной величиной, тоинтенсивность для каждого из направлений β дифракции определяется55усреднением по ансамблю реализаций, а именноI1 ( β ) = A1 ( β ) ⋅ A1∗ ( β ) ==(2.32)∫ exp{ik ∆ ( x ) + ∆ ξ ( x )} dx ⋅ ∫ exp{−ik ∆ ( x ) + ∆ ξ ( x )} dxTT1x111101x2122.0Используя свойство линейности операции математического ожидания,выражение (2.32) можно представить в виде=I1 ( β )T T∫ ∫ exp{ik ∆ ( x ) − ∆ ( x )}1x11x2{}exp ik  ∆1ξ ( x1 ) − ∆1ξ ( x2 )  dx1dx2 .(2.33)0 0Вычислим математическое ожидание, входящее в выражение (2.33), аименно,M=( x1 , x2 ){{}exp ik  ∆1ξ ( x1 ) − ∆1ξ =( x2 ) }∆ '1ξ exp ik  ∆1ξ − =∞=∫ exp{ik  ∆ ξ − ∆ ' ξ } ⋅ w ( ∆ ξ − ∆ ' ξ )d ( ∆ ξ − ∆ ' ξ ).11∆1111−∞(2.34)В выражении (2.34) использованы обозначения∆1ξ ( x1 ) =∆1ξ , ∆1ξ ( x2 ) =∆ '1ξ .В силу принятого ранее допущения, плотность вероятности случайногополя ξ ( x ) искажений микрорельефа описывается формулой (2.21).

Чтобывычислить выражение (2.34), требуется определить выражение для плотностивероятности w∆ ( ∆1ξ − ∆ '1ξ ) разности фаз дифрагирующей волны.С учётом выражения (2.27) и (2.28) реализации случайного поля ∆1ξ − ∆ '1ξв виде распределения разности фаз дифрагирующей волны могут бытьпредставлены выражением=∆1ξ − ∆ '1ξ f ( x1 ) ξ ( x1 ) − f ( x2 ) ξ ( x2 ) .(2.35)Следовательно, это поле является линейной комбинацией гауссовыхполей ξ ( x ) и подчиняется нормальному закону с нулевым математическиможиданием и дисперсией σ ∆2 , а именно56w∆ =( ∆1ξ − ∆ '1ξ )1σ∆ ( ∆ − ∆ ' )2 1ξ1ξ.exp  −22σ ∆2π(2.36)Вычислим дисперсию этого поля ∆1ξ ( x1 ) − ∆1ξ ( x2 )  =2σ ∆2==  f ( x1 ) ξ ( x1 ) − f ( x2 ) ξ ( x2 ) 2== f 2 ( x1 ) ξ 2 ( x1 ) − 2 f ( x1 ) f ( x2 ) ξ ( x1 ) ξ ( x2 ) + f 2 ( x2 ) ξ 2 ( x2 ) == f 2 ( x1 )σ ξ2 − 2 f ( x1 ) f ( x2 ) R ( x1 − x2 ) + f 2 ( x2=)σ ξ2{}x2 ) σ ∆2 ( x1 , x2 ) ,= σ ξ2  f 2 ( x1 ) + f 2 ( x2 )  − 2 f ( x1 ) f ( x2 ) ρξ ( x1 −=(2.37)гдеρξ ( x1 − x2 ) −нормированнаякорреляционнаяфункцияслучайногополя ξ ( x ) .Как следует из выражения (2.37), случайное поле разности фазовыхфлуктуаций дифрагирующей волны является неоднородным гауссовым полем снулевым математическим ожиданием и дисперсией σ ∆2 ( x1 , x2 ) .Подставив (2.36) в (2.34), получим выражениеM ( x1 , x2 )=1σ∆ ( ∆ − ∆ ' )21ξ1ξ 2π ∆1ξ − ∆ '1ξ   ⋅ exp  −exp i2∫2σ ∆2π −∞ λ∞ d ( ∆1ξ − ∆ '1ξ ) .(2.38)Если в (2.38) ввести обозначения ∆1ξ − ∆ '1ξ = − x , ν =1λи учесть, что призамене переменной пределы интегрирования равны xн = ∞ , а xв = −∞ , товыражение (2.38) можно представить в виде соотношенияM ( x1 , =x2 )1σ∆∞ x2exp∫  − 2σ ∆22π −∞ exp {−i 2πν x} dx ,которое представляет собой преобразование Фурье от функции Гаусса.Воспользовавшись известными соотношением(2.39)57{}ℑ exp ( −π x 2 ) =exp ( −πν 2 )и теоремой масштабов{}  ν 2 1ℑ exp  −π ( ax )  =exp  −π    ,a  a  где a =1σ ∆ 2π2, получим∞2M ( x1 , x2 ) =a ∫ exp  −π ( ax )  exp {−i 2πν x} dx =−∞  ν 2  2π 2σ ∆2 ( x1 , x2 ) 2 2 2exp  −π    =exp ( −2π ν σ ∆ ) =exp −=.2λ  a  (2.40)Подставив выражение (2.40) в (2.33), получим формулу для вычисленияинтенсивности для заданного направления β дифракции 2π 2σ ∆2 ( x1 , x2 ) I1 ( β ) ∫ ∫ exp ik  ∆1x ( x1 ) − ∆1x ( x2 )  exp −=dx1dx2 .2λ0 0T T{}(2.41)Из анализа выражения (2.41) следует, что случайные искажения профилярельефа ФДР приводят к снижению дифракционной эффективности.

Дляколичественной оценки влияния случайных искажений микрорельефа ДРтребуется при заданном виде профиля микрорельефа знать дисперсию σ ξ2 икорреляционнуюфункциюρξ ( x1 − x2 )случайногополя,искажающегопрофиль. Указанные характеристики можно определить на основе обработкирезультатов прямых измерений ДР ЗГ.Следует иметь ввиду, что при контроле ЗГ осуществляется подсветкаэлементарных ДР, имеющих достаточно малые размеры. В связи с этим,возможен эффект усреднения фазовых искажений рельефа в направлении,перпендикулярном штрихам.

При обработке результатов измерений следуетучесть данный эффект. Для этого зарегистрированные, например, с помощьюАСМ, реализации микрорельефа элементарных ДР следует сначала усреднитьпонаправлению,перпендикулярномуштрихам,азатемпроизводить58вычисление оценок значений дисперсии σ ξ2 и корреляционной функции вдольштрихов рельефа.2.3.2. Оценка влияния случайных искажений микрорельефа нараспределение интенсивности в дифракционной картинеДляпредварительнойоценкивлиянияслучайныхискажениймикрорельефа на распределение интенсивности дифракционного поля быливыполненырасчётыинтенсивностидляпервогоглавногомаксимумадифракционной картины.Предположим, что нормированная корреляционная функция случайныхискажений микрорельефа имеет видρ ( x1 − x2 )= exp  −x1 − x2   ( x1 − x2 )   (1 − b ) + b cos  2π ,k P  γT (2.42)где b, k P и γ − параметры аппроксимации.Как будет показано ниже, использованная функция близка по виду ктипичнымкорреляционнымфункциям,вычисленнымдляреализациймикрорельефов ДР реальных ЗГ.В качестве примера на Рис.