Диссертация (Метод разрботки законов управления нагружателем рулевого колеса при отсутствии жёсткой связи в системе управления поворотом колёсных машин), страница 12

Для выполнения данного условия численный методинтегрированиядолженобеспечиватьдостаточноебыстродействиевычисления с учетом проверки устойчивости полученного при очереднойитерации решения. Решение дифференциального уравнения в некоторойточке xi называется устойчивым, если найденное в этой точке значениефункции yi незначительно изменяется при уменьшении шага интегрирования.Проверка устойчивости заключается в решении следующего неравенства:yh _1 − yh _ 0yh _1≤ ε ; h _1 < h _ 0 .(2.25)При использовании метода Рунге-Кутта этап проверки устойчивостидля принятия решения об изменении шага интегрирования (в сторонуувеличения или уменьшения) включает достаточно большое количествоопераций.

В данном случае после нахождения приближенного значенияфункции yi = y(хi-1+h) при шаге решения h для оценки устойчивостинеобходимо найти приближенные значения функции в точках ym-1 = y(хi-1+k)и ym = y(хi-1+2k), где k = h/2, и решить неравенство (2.25) с использованиемполученных значенийym и yi . Исходя из представленной информацииследует вывод, что проверка устойчивости приближенных решений прииспользовании метода Рунге-Кутта значительно снижает быстродействиечисленного интегрирования.Данного недостатка лишены метод Милна и неявный методинтегрирования с применением производных высших порядков. При работе сметодом Милна необходимо предварительно вычислить четыре первыхотчетафункцииисоответствующихпроизводных(такназываемый72«начальный отрезок»), после чего полученные данные подставляются вформулы для приближенного вычисления значения пятого и последующегоотчетов искомой функции.

Вычисление начальных значений может бытьосуществленосприменениемлюбогодругогочисленногометода.Абсолютная погрешность приближенного значения очередного отсчетаопределяется в соответствии со следующей формулой:yi(1) − yi( 2)εi =,29(2.26)где y i(1) и yi( 2) - соответственно первое и второе приближения текущегоотчета, вычисленные по формулам метода Милна. Если εi ≤ ε, где ε – заданнаяпредельнаяпогрешностьчисленногорешения,тозначениеyi( 2)принимается в качестве текущего отчета искомой функции.

В противномслучае следует уменьшить выбранный шаг решения h для достижениязаданной точности. При необходимости уменьшить заданный шаг решения hдля вычисления первого после «начального отрезка» отчета искомойфункции значения «начального отрезка» также должны быть пересчитаны сизмененным шагом интегрирования. Дополнительно следует отметить, чтометод Милна не обладает устойчивостью и его использование рекомендованопри решении задач, когда предполагаемое число шагов не велико.На основе вышеизложенной информации неявный метод численногоинтегрированияпредставляетсясприменениемнаиболеепроизводныхоптимальнымсточкивысшихзренияпорядковреализацииимитационной модели динамики криволинейного движения колесноймашины в режиме «реального времени».Дополнительным фактом в пользу применения неявного методачисленногоинтегрированияявляетсяустойчивостьрешенийприинтегрировании жестких систем дифференциальных уравнений.

Данныесистемы описывают процессы, скорость протекания которых можетизменяться в очень широком диапазоне в процессе моделирования. Система73(2.1)можетбытьрассмотренакакжесткаясистемнелинейныхдифференциальных уравнений при определенных условиях моделирования ипараметрахисследуемойколесноймашины.Выполнениеусловияустойчивости при интегрировании подобных систем с использованием явныхметодов реализации может быть достигнуто только при значительномуменьшении шага реализации (на несколько порядков). Данный фактнегативно сказывается на быстродействии численного моделирования, чтоявляется особенно важным при работе в режиме «реального времени».Использование формул на основе производных высших порядков (дотретьего порядка) позволяет получить более точный результат безувеличения числа шагов [28].Численное моделирование можно представить в виде следующейпоследовательности операций.Пусть в момент времени ti известны векторы перемещения xi искорости х̇i в проекциях на обобщенные координаты.

Прогнозируетсяположение и скорость колесной машины в момент времени ti+1=ti+h, где h шаг прогноза. При этом для момента времени ti вычисляются векторывременных производных разных порядков по обобщенным координатам. Какследует из формулы разложения функции в ряд Тейлора в окрестностинекоторой точки, чем выше порядок определенных старших производных,тем точнее прогноз. В настоящее время, в основном, применяются численныеметоды, требующие вычисления только вторых производных. При этом длядостижения заданной точности моделирования шаг выбирается достаточномалым, что приводит к росту объема вычислений и, следовательно, временипроведения вычислительного эксперимента.

В исследовании примененчисленный метод, основанный на использовании для прогнозирования нетолько вторых, но и третьих производных по времени для обобщенныхкоординат.Метод также позволяет оценить точность прогноза. Если она меньшезаданной, то прогнозирование повторяется от момента ti, но с меньшим74шагом.Вслучаеудовлетворительнойточностипрогнозированиепродолжается для времени ti+2=ti+1+h.Процесс численного интегрирование дифференциального уравненияоснован на разложении в ряд Тейлора функций x(t), х̇(t) в окрестности точкиti и включает в себя три этапа [46].1.Предварительный прогноз перемещения и скорости с точностьюпорядка h4 и h3 соответственно:xi+1 = xi + h ⋅ x& i +h2h3⋅ &x&i +⋅ &x&&i23!x& i+1 = x& i + h ⋅ &x&i +,(2.26)h2⋅ &x&&i .2(2.27)По итогам вычисления определяются значения второй и третьейпроизводных функции в точке i+1.

Полученные на данном этапе значенияфункции, а также ее первой, второй и третьей производных представляютсобой первые приближения.2.Уточнение предварительного прогноза с точностью до h5. Наоснове результатов, полученных на первом этапе, вычисляются скорость иперемещение объекта:x i+1 = xi + h ⋅(x& i + x& i+1 )2−h2h3⋅ (&x&i+1 − &x&i ) +⋅ (&x&&i+1 + &x&&i )10120x& i+1 = x& i + h ⋅(&x&i + &x&i+1 )2+h2⋅ (&x&&i - &x&&i+1 )12,(2.28).(2.29)Полученные по формулам (2.28) и (2.29) значения используются дляпересчета и уточнения значений второй и третьей производных в точке i+1.Вычисленные на данном этапе значения функции, а также ее первой, второйи третьей производных представляют собой вторые приближения.3.формуламПроверка устойчивости найденных значений xi+1, х̇i+1.

По(2.28)и(2.29)сиспользованиемвторыхприближенийопределяются перемещение и скорость в точке i+1, представляющие собойтретьи приближения. Затем вычисляются абсолютные значения разностивторых и третьих приближений соответственно. Полученные величины75разности не должны превысить установленную перед началом вычисленийточность. В случае выполнения данного условия третьи приближенияиспользуются для следующего шага моделирования.

В противном случаеследует повторить расчет с п. 1 для момента ti+1, приняв для повторнойитерации шаг h/2.Значения производных высших порядков для формул (2.27) и (2.29)при вычислении текущих значений проекций скорости центра масс на оси x иy ПСК осуществляется при помощи выражений, полученных путемдифференцирования по времени соответствующих уравнений системы (2.1) сучетом допущения о кусочно-постоянном характере реакций опорнойповерхности и силы сопротивления воздуха:& Z ⋅ VY + ω Z ⋅ V&YV&X = ω,(2.30)& Z ⋅ V X − ω Z ⋅ V&XV&Y = −ω,(2.31)&& Z ⋅VY + ω& Z ⋅V&Y + ω& Z ⋅V&Y + ωZ ⋅V&&YV&&X = ω,(2.32)&& Z ⋅ V X − ω& Z ⋅ V&X − ω& Z ⋅ V&X − ω Z ⋅ V&&XV&&Y = −ω.(2.33)Аналогичным образом формируются выражения для нахождениязначений производных высших порядков при вычислении текущих значенийкоординат центра масс по формулам (2.26) и (2.28):X&& ЦМ = V&X ⋅ cos θ − V X ⋅ θ& ⋅ sin θ − V&Y ⋅ sin θ − VY ⋅ θ& ⋅ cosθ,(2.34)Y&&ЦМ = V&X ⋅ sin θ + V X ⋅ θ& ⋅ cos θ + V&Y ⋅ cos θ − VY ⋅ θ& ⋅ sinθ.(2.35)Производные 3-его порядка для вычисления текущих значенийкоординат центра масс вычисляются на основе выражений, полученныхпутем дифференцирования по времени (2.34) и (2.35).2.3.

Определение параметров моделирования и области адекватнойработы модели «реального времени»С целью выполнения требования по моделированию в режиме«реального времени» следует ввести ограничение снизу на допустимыйдиапазон изменения шага численного метода реализации. В ходе реализациимодели криволинейного движения колесной машины на языке C++76установлено, что длительность выполнения одного цикла моделирования(шага интегрирования) составляет 2,5 мс. Следует заметить, что данноевремя в значительной степени зависит от используемой аппаратнойплатформыиопределеноприработенаПКстребованиями,представленными в главе 3. В этой связи минимальный шаг численногоинтегрирования должен составлять не менее 2,5 мс.

Ввиду того, чторазрабатываемаямодель«реальноговремени»должнаосуществлятьвзаимодействие с физической системой управления, следует учестьнеобходимое время для обмена данными при выполнении моделирования.В ходе проведения настоящего исследования длительность временногошага моделирования T_st (в соответствии с информацией, представленной в1.2) составляла 100 мс, что соответствовало периоду синхронизациитекущего модельного времени с реальным временем. После окончанияочередногопериодасинхронизациивыполняетсяотправкатекущихдинамических параметров от имитационной модели во внешнюю среду.Время, выделенное на выполнение данного процесса, составляет 20% отвеличины временного шага моделирования, т.

е. 20 мс. Исходя изпредставленной информации, для расчета 100 мс модельного временидолжныбытьСоответственно,затраченовеличинанеболее80минимальногомс«реальногошагавремени».численногометодаинтегрирования должна составлять не более 3,2 мс (в настоящемисследовании величина шага численного интегрирования составляет 3,5 мс).Помимо определения минимального шага интегрирования необходимоустановить минимальную точность в относительном выражении, с которойвозможно осуществлять моделирование в рамках заданной нижней границыдиапазона изменения шага реализации [13]. Данный вопрос тесно связан сопределениемдиапазоновкриволинейногодвиженияизменениядинамическихколесной машины(линейныхпараметровиугловыхскоростей и ускорений), в рамках которого рассматриваемая имитационнаяматематическая модель остается адекватной реальному объекту.77Решение указанной задачи осуществляется в ходе исследованияреакции имитационной модели «реального времени» на «ступенчатое»воздействие при различных параметрах движения (различных скоростяхдвижения) и сравнения полученных результатов с данными «эталонной»модели.