Задачи для самоподготовки, страница 3

Определите видПРВ w( y ) .Задача 103. Преобразование аналогового сигнала в цифровой приводит кпоявлению шума квантования, имеющего равномерное распределение с1 / ,   / 2     / 2,Здесь  – ширина шагаплотностью вида w( )  0впротивномслучае.квантования, равная значению младшего удержанного двоичного разряда.Постройте график функции распределения, определите математическоеожидание и дисперсию шума квантования.Задача 104. Два независимо полученных отсчета цифровых сигналоводинаковой разрядности суммируются в устройстве двойной разрядности,при этом суммируются и значения шума (ошибки) квантования.

Найдитеплотность распределения суммарной ошибки как свёртку плотностейслагаемых. Постройте график.Задача 105. Мгновенное значение случайного процесса имеет распределениевероятностей с плотностью видаw( x)  C  exp(0.5 x ). Найдите константуC , математическое ожидание и дисперсию. Постройте графики плотностираспределения вероятностей и функции распределения вероятностей (другпод другом в одном масштабе).Задача 106. Мгновенноефункциейзначениераспределенияраспределениявероятностей,случайногоF ( x)  1  exp(2 x) .математическоепроцессаописываетсяНайдитеплотностьожидание,дисперсию.Постройте графики плотности распределения вероятностей и функциираспределения вероятностей (друг под другом в одном масштабе).Задача 107.

Определите функцию распределения вероятностей и моменты 1и 2 порядков случайной величины с плотностью 2( x  4), 4  x  4,5;w( x)   2( x  5), 4,5  x  5;0, в остальных случаях.Задача 108. Определите функцию распределения вероятностей, моменты 1 и2 порядков и связь между величинами a и c по заданной ПРВ случайнойвеличиныc  exp( ax) при x  0;w( x)   0 в противном случае,а)б)w( x)  c  exp(a x ).Задача 109. Определите характеристическую функцию случайной величиныс равномерным распределением вероятностей с плотностью 1 при x  0,5;w( x)  0 в противном случае.

,как обратное преобразование Фурье плотности.Задача 110. Определите функцию распределения вероятностей, моменты 1и 2 порядков и связь между величинами a , b и c для случайной величины с c при a  x  b;w( x)  0 в противном случае. . Постройте графики.ПРВЗадача 111. Определите ПРВ и моменты 1 и 2 порядков случайных величинс функциями распределения x 2 / 2, 0  x  1;2а) F ( x)  1  ( x  2) , 1  x  2;2 0, x  0 или x  2,x  0; 0, ( x  2) 2  4б) F ( x)  , 0  x  2;4x  2, 1,x  0; 0,1в) F ( x)   x 2 , 0  x  2;4x  2. 1,Задача 112.

Определите математическое ожидание, дисперсию и функциюраспределения вероятностей случайного напряжения, имеющего плотностьраспределения, показанную на рис. 15, а – е.w( x)w( x)bbаxabбxw( x)w( x)abxabвxгw( x)w( x)abxaдbxеРис. 158. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПРОЦЕССЫЗадача 113. Найдите вероятность превышения в некоторый момент временислучайным процессом с гауссовским распределением (математическоеожидание m =0 и СКО  =1) порога, равного 1,0; 1,5; 2,0; 3,0.Задача 114.

Найдите вероятность превышения в некоторый момент временислучайным процессом с гауссовским распределением (математическоеожидание m =2 и СКО  =1,5) порога, равного 3,0.Задача 115. Найдите вероятность НЕпревышения в некоторый моментвременислучайнымпроцессомсгауссовскимраспределением(математическое ожидание m =0 и СКО  =1) порога, равного 1,0; 1,5; –2,0;–3,0.Задача 116. Отсчёты случайного аналогового сигнала x(t ) с нормальнымраспределением, имеющего математическое ожидание m и СКО  ,подвергаются квантованию на 3 уровня при помощи квантователя схарактеристикой, показанной на рис.

16. Найдите вероятности значений q1,q2  0, q3 квантованных отсчетов при m  0 ,   1 , a  1.5 ; при m  0,5 ,  0,5 , a  2.5 .qaq3axq1Рис. 16Задача 117. Найдите ПРВ мгновенного значения случайного процесса наxвыходе безынерционного нелинейного звена с характеристикой y  1  e ,если на входе действует случайный процесс с ПРВ мгновенного значения e  x при 0  x  ;w( x)  0 в противном случае.Задача 118. Реализации случайного процесса представляют собой функцииt   ,  при некотором фиксированном значении времени cos(t   ) ,и случайной начальной фазе  , имеющей распределение, равномерное винтервале(0,2 ) .Найдитеплотностьраспределениявероятностеймгновенного значения этого процесса.Задача 119. Найдите ПРВ тока, протекающего через безынерционный1i (u )  u 22 , если кнелинейный элемент с вольтамперной характеристикойнему приложено шумовое напряжение с ПРВ 0,5 при  1  u  1;w(и )  0 в противном случае.Задача 120.

Найдите ПРВ мгновенного значения случайного процесса навыходе безынерционного нелинейного звена с характеристикой y  2ln x ,если на входе действует случайный процесс с ПРВ мгновенного значения 1 при 0  x  1;w( x)  0 в противном случае.Задача 121. Изслучайнойyвеличины(см.предыдущуюзадачу)извлекается квадратный корень. Найдите ПРВ результирующей случайнойвеличины.Задача 122. Из двух независимых случайных величин s и q , имеющихравномерное на интервале (0, 1) распределение, формируются две новыеслучайныевеличиныu : 2 ln s cos(2 q)uиvвсоответствиисвыражениямии v : 2 ln s sin(2 q) . Используя результаты решенияпредыдущих задач, определите, какой вид имеют ПРВ случайных величин uи v.Задача 123. Найдите выражение автокорреляционной функции процесса,описанного в предыдущей задаче.

Стационарен ли процесс?Задача 124. Найдитеспектральнуюплотностьмощности(СПМ)вышеописанного процесса.Задача 125. Преобразование аналогового сигнала в цифровой приводит кпоявлению шума квантования, имеющего равномерное распределение с1 / ,   / 2     / 2,Здесь  – ширина шагаплотностью вида w( )   0 в противном случае.квантования, равная значению младшего удержанного двоичного разряда.Постройте график функции распределения, определите математическоеожидание и дисперсию шума квантования.Задача 126. Два независимо полученных отсчета цифровых сигналоводинаковой разрядности суммируются в устройстве двойной разрядности,при этом суммируются и значения шума (ошибки) квантования. Найдитеплотность распределения суммарной ошибки как свёртку плотностейслагаемых.

Постройте график.Задача 127. Функция автокорреляции стационарного случайного процессаимеет вид Rx ( )  Dea , где a и D – некоторые постоянные. Найдитеспектральную плотность мощности случайного процесса. Постройтеграфики. Как изменится график СПМ, если a увеличится вдвое принеизменном D ?Задача 128.

Определите интервал корреляции стационарного случайногопроцесса с АКФRx ( )  Dea , как интервал, на котором АКФуменьшается до 0,1 своего максимального значения.Задача 129. Найдите АКФ процесса на выходе интегрирующей RC -цепи спостоянной времени  ц , если на вход действует стационарный случайныйпроцесс с АКФ вида Rx ( )  Dea .Задача 130.

Белый шум со спектральной плотностью мощности N 0 / 2воздействует на интегрирующую RC -цепь с постоянной времени  ц .Определите АКФ процесса на выходе цепи.Задача 131. Спектральная плотность мощности стационарного случайногопроцесса имеет вид W ( f ) 222 2  4 f. Найдите эффективную ширинуспектра, как ширину спектра квазибелого шума с такой же среднеймощностью.Задача 132. Для процесса, заданного в предыдущей задаче, найдите АКФ иинтервал корреляции.Задача 133.

ЛИС-цепь (идеальный полосовой фильтр) имеет коэффициентпередачи 1 в полосе частот   f 0  f / 2 , и 0 на остальных частотах (здесьf 0 и f – положительные константы). Найдите АКФ процесса на выходефильтра, если на вход действует стационарный белый шум с СПМ N 0 / 2 .Задача 134. Случайный сигнал имеет математическое ожидание 2 В идисперсию, равную 9 В2. Шум в канале связи гауссовский с нулевымсредним и дисперсией 0,09 В2. Сигнал и шум независимы. Определитематематическое ожидание и дисперсию аддитивной смеси сигнала с шумом.Каким было бы математическое ожидание выходного сигнала примультипликативном взаимодействии?9. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИЗадача 135.

Напряжение, приложенное к параметрическому линейномуэлементу с переменной проводимостью s (t )  S0  S1 cos 0t , изменяется погармоническому закону u (t )  U cos t . Определите амплитуды гармониктока, протекающего через элемент, постройте спектральную диаграмму.Задача 136. В качестве параметрического линейного элемента можноиспользовать нелинейный элемент (в частности, полупроводниковый диод),если сигнал, подлежащий преобразованию, имеет малую амплитуду.

Приэтом в малой окрестности рабочей точки ВАХ аппроксимируется линейнойфункцией; тогда управление крутизной осуществляется приложением кдиоду медленно меняющегося напряжения, смещающего рабочую точку похарактеристике. Определите закон изменения крутизны в окрестностирабочейточки,еслиВАХописываетсяквадратичнымполиномомi  a0  a1u  a2u 2 , а управляющее напряжение изменяется по законуu (t )  U 0  U m cos t .Задача 137. Определите закон изменения крутизны в окрестности рабочей23точки, если ВАХ диода описывается полиномом i  a0  a1u  a2u  a3u , ауправляющее напряжение – выражением u (t )  U 0  U m cos t . Определитеспектр тока, протекающего через диод, если к диоду, кроме управляющегонапряжения, приложено напряжение u1 (t )  U1 cos 0t , U1  U m .Задача 138.

Вольтамперная характеристика (ВАХ) нелинейного элементазадана в виде таблицыu,В 00,10,499i , мА 0,4880,20,5190,30,5560,40,5870,50,6220,60,7230,70,788Постройте график ВАХ. Определите коэффициентыаппроксимирующего полинома второй степени методом наименьшихквадратов.Задача 139. Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана ввиде таблицыu,Вi , мА00,1070,10,1560,20,1820,30,2690,40,3230,50,5780,60,9820,71,210,81,6960,92,534Постройте график ВАХ. Определите параметры A и аппроксимирующей функции вида i (u )  A exp( u ) .Задача 140. Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана ввиде таблицыu , В –0,4i , мА –0,095–0,3–0,078–0,2–0,079–0,1–0,050–0,0090,10,1150,20,2620,30,70,41,5180,53,196Постройте график ВАХ. Определите параметры I 0 и аппроксимирующей функции вида i (u )  I 0[exp( u )  1] .10.НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ИБИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХЗадача 141.

Полупроводниковый диод описывается идеализированной ВАХвида 0, u  0i (u )  , Su , u  0гдеS–положительнаяконстанта.Найдитепостоянную составляющую тока, протекающего через диод при воздействиина него гармонического напряжения u (t )  U1 cos 0t . Ответ: SU1 /  .Задача 142. Полупроводниковый диод описывается идеализированной ВАХ 0, u  0вида i (u )  , где S – положительная константа. Найдите амплитудыSu,u01 и 2 гармоник тока, протекающего через диод при воздействии на негогармонического напряжения u (t )  U1 cos 0t .

Ответ: SU1 / 2 , 2SU1 / (3 ) . S u, u  0, где S1 ,Задача 143. Нелинейный элемент имеет ВАХ вида i (u )   1 S2u , u  0S2 – положительные константы. Найдите постоянную составляющую тока,протекающего через элемент при воздействии на него гармоническогонапряжения u (t )  U1 cos 0t .Задача 144. НелинейныйэлементимеетВАХвидаi (u )  a0  a1u  a2u 2  a3u 3 . Найдите постоянную составляющую тока,протекающего через элемент при воздействии на него гармоническогонапряжения u (t )  U1 cos 0t .Задача 145.