Задачи для самоподготовки, страница 2

Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую)для представления комплексным рядом Фурье сигналаA sin(t )sin(3t   / 2) .Задача 58. Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую)для представления комплексным рядом Фурье сигналаA cos(t )cos(3t   / 2) .Задача 59. Найдите спектральную плотность прямоугольного импульсаAr (t /  ) , где A  0,   0 – постоянные. Постройте графики временнойфункции и спектральной плотности. Постройте в тех же масштабах графикивременной функции и спектральной плотности импульса Ar (2t /  ) .Задача 60.

Определите спектральную плотность колокольного импульсаs (t )  Aet22a2. (Воспользуйтесь приемом, называемым приведением кполному квадрату.)Задача 61. Постройте график импульса, описываемого выражением  2tи A   1 ,   t  02 иОпределите спектральную плотность,s (t )  2t A 1и   , 0  t  2 .и постройтееёграфик.Найдитеспектрпериодическойпоследовательности таких импульсов с периодом повторения, равнымT.Задача 62.

Постройте график импульса, описываемого выражением2tи,0,At2иОпределите спектральную плотность.s (t )  2tи  t  .A 2 ,и и 2Задача 63. Найдите сигнал, который имеет спектральную плотностьSS( f )   00при F0  f  F0 ,Постройте график.в противном случае. 1 j 2 ktT, k  ,  Задача 64. Найдите спектр относительно базиса t Tследующих сигналов из L2  T / 2;T / 2  : A,  и  t  и ;  и  T ;а) x(t )  22 0 в противном случае, At ,  и  t  и ;б) x(t )  22 0 в противном случае, A | t |,  и  t  и ;в) x(t )  22 0 в противном случае,TT At ,   t  ;г) x(t )  22 0 в противном случае.Задача 65. Постройте ортонормальный базис на основе совокупностифункцийL2  1;1приx0 (t )  1 ,x2 (t )  t 2 ,x1(t )  t ,x3 (t )  t 3 .Охарактеризуйте пространство сигналов, натянутое на этот базис.

Сменитенумерацию сигналов на обратную и постройте ортонормальный базис.Сравните результаты.Задача 66. Прямоугольные функции Радемахера при t  [0;1] описываютсявыражением m (t )   1 2m t , гдеm  0,1,2,...– номер функции, аквадратные скобки обозначают целую часть числа, заключенного в них.Постройте графики второй и третьей функций. Проверьте ортонормальностьсистемы функций Радемахера.Задача 67.

Функции Уолша можно определить рекуррентным выражениемWal  2n  p, t   Wal  n, 2t   (1) n  p Wal  n,2t  1 , где 1,t   0,1 ,Wal  0, t   .0 в противном случае.Постройтеn  0,1,2,... ,графикипервыхp  0,1;трёхфункций Уолша Wal  k , t  , k  0,1, 2 .Задача 68. Найдитепервые3коэффициентаразложенияимпульса,показанного на рис. 5, в базисах Радемахера и Уолша. Постройте графикисоответствующих аппроксимаций импульса.x(t )0t1Рис. 5Задача 69. Найдитепервые3коэффициентапоказанного на рис.6 , в базисе Уолша.x(t )A01tРис.

6Постройте график аппроксимации импульса.разложенияимпульса,4. КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВЗадача 70. Найдитеавтокорреляционнуюфункциюпрямоугольногоимпульса r (t )   (t  0.5)   (t  0.5) .Задача 71. Найдите автокорреляционную функцию импульсного сигналаu (t )  Ar (t ) , где A  0 .Задача 72. Найдите автокорреляционную функцию импульсного сигналаu (t )  Ar (t ) , где A  0 .Задача 73.

Найдите автокорреляционную функцию импульсного сигналаu (t )  Ar (t  0.5) , где A  0 .Задача 74. Найдите автокорреляционную функцию и энергетическийспектр прямоугольного импульса Ar (t /  ) , где A  0,   0 – постоянные.x(t )aè0tРис. 7Задача 75. Найдите взаимно корреляционную функцию пилообразногоимпульса (рис.7) и прямоугольного видеоимпульса такой же длительности иамплитуды A .Задача 76. Найдите взаимно корреляционную функцию пилообразногоимпульса (рис.

7) и прямоугольного видеоимпульса такой же амплитуды иудвоенной длительности.Задача 77. Найдитевзаимнокорреляционнуюфункциюсигналов Ae t , t  0, Be   t , t  0,x(t )  и y (t )  . 0 в противном случае 0 в противном случаеЗадача 78. Найдите автокорреляционную функцию пары прямоугольныхимпульсов, изображенной на рис.

8.x (t )a  / 2 0  / 2tРис. 8Задача 79. Найдитеспектральнуюплотностьпарыпрямоугольныхимпульсов, изображенной на рис. 8, используя свойства преобразованияФурье. Определите энергетический спектр сигнала.Задача 80. Найдите автокорреляционную функцию и энергетическийспектр пачки из 3 прямоугольных импульсов, изображенной на рис. 9.Рис. 9Задача 81. Найдитеавтокорреляционнуюфункциюпилообразногоимпульса, показанного на рис.7.Задача 82. Найдите автокорреляционную функцию сигналов A cos(0t ),   / 0  t   / 0 ;x(t )   0 в остальных случаях,Задача 83.

Найдите автокорреляционную функцию сигналов A sin(0t ),   / 0  t   / 0 ;y (t )   0 в остальных случаях.Задача 84. Найдите взаимно корреляционную функцию сигналов A cos(0t ),   / 0  t   / 0 ;x(t )   0 в остальных случаях, A sin(0t ),   / 0  t   / 0 ;и y (t )   0 в остальных случаях.Задача 85. Найдите взаимно корреляционную функцию сигналов A sin(0t ),   / 0  t   / 0 ;y (t )   0 в остальных случаях. A cos(0t ),   / 0  t   / 0 ;x(t )   0 в остальных случаях,и5.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ВЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХЗадача 86. На ЛИС-цепь с импульсной характеристикойAe  t , t  0подаётся импульс Be   t , t  0 . Найдите отклик цепи.Задача 87. ЛИС-цепь имеет импульсную характеристику, показанную нарис. 10.h(t)AtиРис. 10Определите (методом свёртки) отклик цепиа) на прямоугольный импульс длительности 2 и и амплитуды В;б) на пилообразный импульсx (t )a0иt;Рис. 11в) на пилообразный импульсx (t )a02 иРис.

12г) на экспоненциальный импульс Be  t , t  0 .tBe   t , t  0Задача 88. На ЛИС-цепь с импульсной характеристикойподаётся прямоугольный импульс амплитуды A и длительности  и .Найдите отклик цепи.6. СПЕКТРЫ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ.СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙЗадача 89. Найдите спектральную плотность сигнала x(t )   (t ) . Постройтеграфик.Задача 90. Найдите спектральную плотность сигнала x(t )  e  t (t ) ,   0 .Постройте графики модуля и аргумента спектральной плотности.Задача 91. Найдите спектральную плотность сигнала x(t )  e t,   0.Постройте графики модуля и аргумента спектральной плотности.Задача 92.

Найдитеспектральнуюплотностьсигналаx(t )  e  t cos(2 f 0t ) (t ) ,   0 . Постройте графики модуля и аргументаспектральной плотности.Задача 93. Комплекснаячастотнаяхарактеристикастационарной цепи может быть формально записанаH( f )линейнойкак отношениевыходного и входного сигналов, если входным сигналом являетсякомплексное гармоническое колебание e j 2 ft . Найдите КЧХ и операторныепередаточные функции цепей, показанных на рис. 13.LRLRабРис.

13Задача 94. Найдите импульсные характеристики цепей, показанных на рис.13, через преобразование Фурье.Задача 95. Определите амплитуду и начальную фазу колебания на выходеинтегрирующей RC -цепи с параметрами R = 1 кОм, C =0,1 мкФ, если на еговход воздействует гармоническое колебание с амплитудой 1 вольт, частотой1,5 кГц и начальной фазой  / 4 .Задача 96. Определите амплитуду и начальную фазу колебания на выходецепи, схема которой показана на рис.13б, с параметрами R =100 Ом,L =1 мГн, если на его вход воздействует гармоническое колебание самплитудой 0,1 вольт, частотой 20 кГц и начальной фазой –  / 4 .Задача 97. Определитепериодическойколичествопоследовательностиспектральныхпрямоугольныхсоставляющихимпульсовсамплитудой A  5 В, периодом T  0.001 с и длительностью  и  0.0001 с,укладывающихся в полосу пропускания идеального фильтра нижних частотс граничной частотой 10 кГц.

(Подразумевается комплексный ряд Фурье.)Задача 98. Найдите КЧХ последовательного контура, показанного нарис. 14, а затем его импульсную характеристику.LRCРис. 14Задача 99. Составьте дифференциальное уравнение RC -фильтра нижнихчастот (интегрирующей цепочки).

Выведите КЧХ и передаточную функциюцепи. Найдите импульсную характеристику.7. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫЗадача 100. По каналу связи с помехами передается одна из двух кодовыхкомбинаций 11111 или 00000 с вероятностями соответственно 0,6 и 0,4. Изза помех в канале каждый символ (1 или 0) может быть принят за другой свероятностью0,7независимоотсоседнихсимволов.Определитевероятность того, что будет принята комбинация 10101.Задача 101. По каналу связи с помехами передается одна из двух кодовыхкомбинаций 11111 или 00000 с вероятностями соответственно 0,6 и 0,4.

Изза помех в канале каждый символ (1 или 0) может быть принят за другой свероятностью 0,7 независимо от соседних символов. В приемном устройствепринята комбинация 01011. Определите вероятность того, что былапередана комбинация 11111.Задача 102. Отсчет x случайного процесса x(t ) в некоторый моментвременипредставляетраспределениясобойвероятностейслучайную(ПРВ)w( x) .величинуСлучайнаясплотностьювеличинаyпредставляет собой сумму x и неслучайной постоянной a .