Задачи для самоподготовки

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ИСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИПО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СВЯЗИ(о замеченных опечатках и других недостатках пишите vasyukov@edu.nstu.ruили сообщайте лично на консультации)1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СИГНАЛАМИЗадача 1.Постройте график функции0, t  0;1, t  0. (t )  Задача 2.Постройте график функции  (t ) .Задача 3.Постройте график функции  (t   0 ) , где  0 – положительнаяпостоянная.Задача 4.Постройте график функции  ( 0  t ) , где  0 – положительнаяпостоянная.Задача 5.Постройте график функции A (t ) , где A – положительнаяпостоянная.Задача 6.Постройте график функции A (t )  B (t   0 ) , где A, B и  0 –положительные константы.Задача 7.Постройте график функции A (t )  A (t   0 ) , где A и  0 –положительные константы.Задача 8.Постройте график функции A (t   и / 2)  A (t   и / 2) , A и и – положительные константы.Задача 9.Постройте график функции (t   и / 2) (t   и / 2) ,  иположительная константа.1, если t  0;Задача 10.

Постройте график функции sgn(t )   0, если t  0; 1, если t  0.Задача 11. Выразите функцию Хевисайда  (t ) через функцию sgn() .Задача 12. Выразите функцию sgn() через функцию Хевисайда  (t ) .–tЗадача 13. Постройте график функции s (t )   (t )dt , где функция  (t )–функция Хевисайда.Задача 14. Постройте графики сигналовx1 (t )  2cos(2  100t   / 6) ,x2 (t )  3cos(2  200t   / 4) .Путем графического суммирования постройте график функцииy (t )  x1 (t )  x2 (t ) .Задача 15. Постройте график сигналаx(t )  2 cos(2 100t   / 6) (t ) .Задача 16. Постройте график сигналаx(t )  2 cos(2 100t ) (t  0.05) (t  0.05) .Задача 17.

Постройте векторные диаграммы сигналовx1 (t )  3cos(2 100t   / 6) ,x2 (t )  4cos(2 100t  2 / 3) для момента t  0 . Найдите амплитудусуммы этих сигналов по векторной диаграмме.Задача 18. Постройте график функции 0,    t  0,x1 (t )   At , 0  t   и , 0,   t  ,игде A, и – положительные константы. Постройте график производной этойфункции в тех же координатных осях.Задача 19. Постройте график функции 0,    t   0 ,x2 (t )   At ,   0  t   0 , 0,   t  ,0где A, 0 – положительные константы.

Постройте график производной этойфункции в тех же координатных осях.Задача 20. Найдите функцииty1 (t ) tx1 (t )dt и y2 (t ) x2 (t )dt ,если x1 (t ), x2 (t ) определены в предыдущих задачах. Постройте графики.Задача 21. Постройте график сигнала A exp  t /   , t  0;x(t )  0, t  0его производной x '(t ) и интегралаty (t ) x(t )dtдруг под другом в одном масштабе. A, – положительные константы.Задача 22.

Постройте график сигнала x(t )  A exp   t /   , его производнойx '(t ) и интегралаty (t ) x(t )dtдруг под другом в одном масштабе. A, – положительные константы.Предельное поведение функцийЗадача 23. Постройте график функции x (t ) Задача 24. Постройтеlim x (t ) , если x (t ) a график11 e tфункции,11  e  tкоторая,   0.является.Задача 25.

Постройте график функции (  – некоторая постоянная)пределом0, если t   / 2;s (t )   t /   0.5, если   / 2  t   / 2;1, если t   / 2.Задача 26. Постройте график функции, которая является пределом для s (t )при   0 .Задача 27. Постройте график функции x(t )  exp  t /   при   const и еёпредела при    друг под другом в одном масштабе.Преобразования масштаба и сдвигаЗадача 28.

Постройте графики сигналов, описываемых выражениемat , 0  t   и ,x(t ) = 0, в противном случае,при a  1;  2; 0,5 .Задача 29. Постройте графики сигналовx(t ) , x(t   0 ) , x( 0  t ) , x(2t ) , x(0,5t ) , x(t ) , x( t   0 ) ,если x  t  определено, как в предыдущем задании при a  0,5 .Задача 30. Постройте график сигналаx(t )  0,5  1,5cos(2  100t   / 2) , а также графики функцийx(t ) , x(2t ) , x(0,5t ) , x(t ) , x( t ) .Задача 31.

Постройте график сигналаx(t )  5 (t )  10 (t   0 )  5 (t  2 0 ) .dx(t )Постройте графики сигналов x(t ) dttиS (t )   x(t )dt .0Энергия, норма, скалярное произведение, эффективная длительностьЗадача 32. Найдите энергии сигналова) r (t )   (t  0.5)   (t  0.5) ,б) r (t ) , в) 2r (t ) , г) r (2t ) , д) 2r (t / 2)е) A  e at , ж) A  ea t, з) A  e t /  и  r (t ) .Определите для каждого из сигналов длительность или эффективнуюдлительность (как длину временнóго интервала, на котором сосредоточено95% энергии).Задача 33. Найдите скалярные произведения пар сигналов, упомянутых впредыдущей задаче: а) и б); в) и г); б) и д); а) и г); е) и ж).Задача 34.

Найдите расстояния между сигналами в этих же парах вевклидовой метрике.Задача 35. Найдите скалярные произведения сигналова) A cos(t ) и B cos( t   / 2) при  /   t   /  ;б) A cos(t ) и B cos(t   / 4) при  /   t   /  ;б) A cos(t ) и B cos(t   / 4) при  /   t  3 /  ;в) e t , t  0 и e  t , t  0 . A, B,  , ,  – положительные константы.Задача 36. Найдите скалярное произведение пары функций из набора  sin   t  k    , k  ,  k  t  t  k при одинаковых индексах; при разных индексах.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИГНАЛОВЗадача 37.

а)Запишитевыражение,соответствующеесигналуx(t ) ,приведённому на рис. 1,Рис. 1б) Постройте графики сигналов x(t  2) , x(t  1) , x(2t ) , x(t / 2) .Задача 38. Постройте графики сигналовx(2t ) ,x(t / 3)(сигналx(t )приведён на рис. 2). Запишите соответствующие выражения.Рис. 2Задача 39. Постройте график функции At /  , t   0,  ;x(t )   2 A  At /  , t   ,2  ;0 в остальных случаях.Задача 40.

Постройтеграфикифункцийx(t )  r (t ) ;x(t )  r (t ) ;x(t )  2r (t   ) ; x(t )  2r (t  2 ) , где r (t )   (t   / 2)   (t   / 2) .Задача 41. Представьте сигнал, показанный на рис. 3, взвешенной суммойсдвинутых функций включения (Хэвисайда).u (t )712t5Рис. 3Задача 42. Представьте сигнал, показанный на рис. 4, взвешенной суммойсдвинутых функций включения и их интегралов.u (t )5152tРис. 4Задача 43. Постройте график производной сигнала, представленного нарис. 4.Задача 44. Постройтеграфикисигнала2x(t )  A exp    t /   иегопроизводной x '(t ) друг под другом в одном масштабе ( – некотораяконстанта).Задача 45. Постройте график сигнала s (t )  2 exp( t / 2 ) и его производнойx '(t ) друг под другом в одном масштабеЗадача 46.

Постройте графики сигнала x(t )  A sin 2 (2 t / T ), t   0, T  и егопроизводной x '(t ) друг под другом в одном масштабе ( T – некотораяконстанта).Задача 47. Постройте графики сигналов, описываемых выражениемat , 0  t   и ,x(t ) = 0, в противном случае,при a  1;  2; 0,5 .Задача 48. Постройте графики сигналовx(t ) , x(t   0 ) , x( 0  t ) , x(2t ) , x(0,5t ) , x(t ) , x( t   0 ) ,если x  t  определено, как в предыдущем задании при a  0,5 .Задача 49. Постройте график сигналаx(t )  0,5  1,5cos(2  100t   / 2) , а также графики функцийx(t ) , x(2t ) , x(0,5t ) , x(t ) , x( t ) .Задача 50. Постройте график сигналаx(t )  5 (t )  10 (t   0 )  5 (t  2 0 ) .dx(t )Постройте графики сигналов x(t ) dttиS (t )   x(t )dt .0Задача 51. Постройте графики сигнала r (t )  rs (t )  A cos( t   ) при5а)  иб)  в)  5и10и, A  1,   0 ;, A  2,    / 2 ;, A  2,    / 2 ,если rs (t )   (t )   (t   и ) .Задача 52.

Постройтеграфикисигналаr (t )  Ae  t cos( t   )при  2  1000 ,   0 , t   0.005, 0.005  для значений  , равных 500, 100, –100, -500. Параметр A выберите произвольно.3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСАХЗадача 53. Чётныйзаданныйнапрямоугольныйинтервале(–1;1)импульсиединичнойимеющийамплитуды,длительность1с,аппроксимируется конечной суммой ряда Фурье по ортонормальномубазису. Постройте спектральную диаграмму. Определите норму ошибкиаппроксимации, если количество слагаемых n  5;11;17; 35 .Задача 54. Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую)для представления комплексным рядом Фурье сигналаA cos(t )  B cos(2t   / 2) .

Сделайте то же для представлениясигнала тригонометрическим рядом Фурье.Задача 55. Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую)для представления комплексным рядом Фурье сигналаA sin(2t )  B cos(3t   / 2) . Сделайте то же для представлениясигнала тригонометрическим рядом Фурье.Задача 56. Постройте спектральные диаграммы (амплитудную и фазовую)для представления комплексным рядом Фурье сигналаA sin(2t )  B sin(3t   / 2) .Задача 57.