lectures_2020_prob (1) (Лекуции по ТВ)

Лекции по теории вероятностей иматематической статистике. Часть 1.─ Предмет теории вероятностей и математическойстатистикиВероятность─ Пространство исходов, события, классическаявероятность, действия над событиями─ Условная вероятность и независимость─ Формула полной вероятности─ Основные формулы комбинаторики1.1 Предмет теории вероятностейи математической статистикиТеория вероятностей производит пересчет заданных вероятностей «простых» событийв вероятности «сложных» событий*.Математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятностисобытий или проверяет, правы ли мы в своих предположениях относительно этихвероятностей*.Пример 1.

В российской Премьер лиге футбольная команда на домашнем поле одерживает победу в 48% случаев, играет в ничью в 26% случаев и побеждает в выездном матче в26% случаев.Пример 2. В трех лабораториях ставят эксперименты по измерению скорости света, в результате которых получают различные результаты. Какова же истинная скорость света?Пример 3. Проводится испытания двух лекарств. 5 из 9 пациентов, принимающих препарат А имеют положительную динамику . 7 из 10 пациентов, принимающих препарат В имеют положительную динамику. Каков вывод?Где используется: медицинская диагностика, физика, распознавание речи,бюджетирование, социология, маркетинг … практически везде**.[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.[**] для интересующихся см., например, книгу Несовершенная случайность.

Л. Млодинов.21.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (1)Эксперимент, испытание, опыт – действие, результат которого невозможно точнопредсказать и которое можно повторить с первоначальным комплексом исходных данныхбесконечное число раз (хотя бы теоретически), и для которого невозможно точноепредсказание результата при его повторении*.Пространство элементарных исходов (Ω) – множествоэлементарных (неделимых) результатов (исходов) опыта.всехвозможныхПример 4.

Число ошибок в коде программного продукта MATLAB.  {0,1,2,...}Пример 5. Главный инженер наблюдает за работой трех теплогенерирующих компаний(ТГК). В каждый момент времени каждая ТГК может либо генерировать энергию, либонет.  {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}Пример 6. Игральная кость (dice) подбрасывается 1 раз.   {0,1,2,...}Пример 7. Подбрасывается 2 игральные кости одновременно.  {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}  {(i, j ), i  1,6, j  1,6}31.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (2)Задача 1. Время жизни элементарной частицы. Выписать Ω.Задача 2. Автомобильный консультант инспектирует парк автопарк дилера. По каждомуавтомобилю он записывает тип двигателя (дизель, бензин) и тип кузова (седан, хэтчбэк,универсал, джип). Выписать Ω.Задача 3.

Предположим из процесса производства случайным образом выбрали 3 деталии каждую проверили на наличие и отсутсвие дефектов. Выписать Ω.Задача 4. Из колоды в 52 карты случайным образом выбирают 13 карт и смотрят сколькоиз них королей. Выписать Ω.Задача 5. Вы останавливаете на улице случайного прохожего и спрашиваете день имесяц его рождения. Выписать Ω.Задача 6. Вы назначили встречу коллеге в метро в промежутке между 13:00 и 13:10.Выписать Ω.Задача 7. Вы подбрасываете правильную монету.

Вас интересует результат подбрасывания и время `полета` монеты. Выписать Ω.41.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (3)Каждому элементарному исходу опыта, пространство элементарных исходовкоторого Ω={a,b,c,d…,z}, присваивается число 0 до 1, называемое вероятностью этогоисхода. Эти вероятности обязательно должны обладать свойствами:1.

0 ≤ pa ≤ pb ≤ pc ≤ … ≤ pz ≤ 1;2. pa + pb + pc + … + pz = 1.Вероятность исхода a записывается как P(a) или pa.Если все элементарные исходы опыта, пространство элементарных исходовкоторого Ω={a,b,c,d…,z}, равновозможны, то вероятность каждого элементарного исходаравна1 ,||где |Ω| - мощность множества Ω (общее число элементов в множестве).Пример. Подбрасывается правильная монета. Ω={орел, решка}.P(орел)=1/2, P(решка)=1/2.Пример. Подбрасывается 2 игральные кости.   {(i, j ), i  1,6, j  1,6}P(i,j)= 1/36.51.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (4)Задача 8. Из колоды в 52 карты наудачу достается одна карта.

Выписать Ω. Найти вероятность каждого элементарного исхода.Задача 9. Из колоды в 52 карты наудачу достается одна карта и затем она кладется обратно в колоду. После этого опять наугад достается одна карта. Выписать Ω. Найти вероятность каждого элементарного исхода.Задача 10. Проводится опыт в котором возможно 3 элементарных исхода: a, b, c. Пустьисход a в два раза вероятнее исхода b, а исход b в три раза вероятнее исхода c. Определить вероятности элементарных исходов.Задача 11.

Проводится опыт в котором возможно 5 элементарных исходов: a, b, c, e, f.Пусть исход a в три раза вероятнее исхода b, а исходы b, c, e, f все равновероятны. Определить вероятности элементарных исходов.Задача 12. Часто вместо вероятности успеха p говорят об отношении шансов, что есть отношение вероятности успеха к вероятности неудачи, т.е. p/(1-p).(а) если отношение шансов равно 1, чему равно p?(б) если отношение шансов равно 2, чему равно p?(б) если p=0.25 чему равно отношение шансов?61.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (5)Событие – произвольный набор элементарных исходов опыта.Т.е.

событие - это исход опыта, но только необязательно неделимый.Обозначения – A, B, C2, H1 и т.д.Пример 8. Игральная кость подбрасывается один раз. A={выпадение четного числаочков} – событие, которое заключается в том, что выпадет либо 2, либо 4, либо 6.B={выпадение не менее двух очков} – событие, которое заключается в том, что выпадетлибо 2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.Пример 9. Производится эксперимент по тестированию программного продукта наналичие ошибок в коде.

Очевидно, Ω={0,1,2,3,…}. Интересует событие А, что в кодебудет обнаружено больше 10 ошибок и событие В, что в коде будет не больше 3ошибок. Тогда, A={11,12,13, …}, B={0,1,2,3}.Пример 10. Из колоды в 52 карты наугад выбирает 1 карта. Событиями могут быть,например, А={выбранная карта – туз}, В={выбранная карта – король пик}, С={выбраннаякарта – синего цвета}.71.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (6)Говорят, что событие произошло (наступило, появилось, имеетместо), если наступил элементарный исход, принадлежащий этомусобытию. В противном случае событие не произошло.Пример 11.

Идет финальный футбольный матч между командами РУДН и МГУ.Рассмотрим события А={победил РУДН}, В={победил кто-нибудь}, C={не победил никто}.В результате победила команда РУДН. Тогда событие А произошло, событие Впроизошло, событие С не произошло.Если событие происходит при каждом проведенииэксперимента, то это событие называется достоверным(обозначается, как Ω).Если событие не может произойти ни при одномпроведении эксперимента, то событие называетсяневозможным (обозначается, как ø).Пример 12. Подбрасываются 2 игральные кости.

Рассмотрим событие А={сумма очковна верхних гранях не меньше 2}, В={сумма очков на верхних гранях равна 30}.Получается, что А – достоверное событие, В – невозможное событие.81.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (7)Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного изсобытий называется объединением событий (обозначаетсяAUB, A+B читается «А или В»)*** ΩСобытие, состоящее в наступлении обоих событий А и Вназываетсяпроизведением(пересечением) событий(обозначается AB, читается «А и В»)***Событие, состоящее в том, что событие А не происходит,называетсяпротивоположнымсобытиемдляА(обозначается Ā, читается «не А»)***События называются несовместимыми, если их совместноенаступление невозможно (обозначается AB = ø)***[***]Курс теории вероятностей.

Гнеденко Б.В. 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005.— 448 с.91.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (8)Задача 13. Опыт – бросание двух монет. Являются ли совместимыми событияA={появление герба на первой монете}, B={появление решки на второй монете}.Задача 14. Опыт – вынимание наугад 2-х карт из колоды в 52 карты.