!1164 (Финансовая Математика, Ширшов Е.В., 2010), страница 10

Сравнение коммерческих контрактовВ коммерческой практике часто сталкиваются с ситуациями, ког­да один и тот же товар можно купить у разных поставщиков. Условиякредита должны приниматься во внимание при выборе контракта, такпреимущество варианта с низкой ценой может быть «перекрыто» не­выгодными для покупателя условиями кредитования. Существует дваспособа сравнения коммерческих контрактов.

Классический подход,или задача Клаузберга. Данный подход, предложенный еще в про­шлом веке и широко применяемый в настоящее время, заключается всравнении величин всех платежей, предусматриваемых контрактами.Вариант с наименьшей современной стоимостью считается предпоч­тительным для должника.При расчете современных стоимостей для сравнения контрактовосновным моментом является выбор уровня ставки процентов, по ко­торой производится дисконтирование, — ставки сравнения. При этомнеобходимо учитывать, что чем выше ставка, тем в большей мере учи­тывается такой фактор, как время: более отдаленные платежи оказыва­ют все меньшее влияние на современную стоимость затрат.При выборе ставки сравнения ориентируются на существующийуровень ссудного процента.Можно показать, что если современная стоимость платежей поодному из сравниваемых контрактов больше, чем по другому, то такоесоотношение сохраняется и для других уровней ставки сравнения, еслиони превышают наибольшую из ставок в сравниваемых контрактах илиесли ставки сравнения меньше наименьшей из этих ставок.Метод расчета предельных значений параметров соглашений.Допустим, существует два варианта покупки товара в кредит.

Первыйпоставщик продает по цене Р\, ставка за кредит — i\. У второго по­ставщика цена товара — Р , а ставка i не объявлена. Возникает воз­можность определить максимально допустимое значение i .Рассмотрим первый способ сравнения коммерческих контрактов.Продавец предлагает несколько вариантов уплаты за один и тотже товар. Мы должны выбрать наилучший вариант для себя.

Каждыйиз вариантов предусматривает следующие условия:1) авансовые платежи (задаются суммы и сроки выплат);2) льготный период, в котором выплачиваются только процентыза кредит, а кредит не выплачивается. Здесь оговариваются сроки и ме­тоды выплаты процентов: проценты могут выплачиваться один раз вконце льготного периода, могут выплачиваться ежегодно, образуя ан­нуитет;3) сроки и методы погашения задолженности по кредиту. Будемрассматривать случай, когда кредит погашается равными ежегоднымивыплатами.Пусть Q\ — первый авансовый платеж, который вносится при зак­лючении контракта; Q — второй авансовый платеж, который вносит­ся через t лет после заключения контракта; i — процент за кредит; L —срок льготного периода; D — остаток задолженности после выплатыавансовых платежей; R — величина ежегодных срочных уплат; п —срок погашения остатка задолженности D; q — ставка сравнения.Тогда современная стоимость всех платежей:2222A-Qi1n+ Q v' + D((l + г) -l)v' + L + R -PVIFA4' v' + L ,2здесь R = v = —-—.l+qЕсли же в льготном периоде проценты выплачиваются периодичес­ки и льготный период состоит из целого числа лет, то формула приметвид:А = Qi + Q v' + Di • PVIFA v'2qn+R•,+LPVIFA .

vq nПример 14.3. Предлагается один и тот же товар по цене 80 тыс.руб., но с различными вариантами погашения кредита:I вариант80 тыс. руб.4 тыс. руб.4 тыс. руб.Цена Р, тыс. руб.1-й аванс при заключении контракта2-й аванс через 6 месяцевЛьготный периодСтавка за кредитСрок аннуитетаСтавка сравненияI I вариант80 тыс. руб.4 тыс. руб.8 тыс.

руб.6 месяцев10%8 лет15%—10%5 лет15%Во втором варианте выплаты процентов — в конце льготного пе­риода.Находим современную стоимость всех платежей:по I варианту:а1л л(80-8)_.__f.1(1 + 0Д5)1/2= 4 + 3,73002 + 59,37154 = 67,10156 тыс. руб.;по I I варианту:А =4 + 82— - - + (80-12)-(1 + 0 , 1 )(1 + 0,15)г21/2I( 8°-1 2 )РУШ1 / 2-1) ^ +U5т~L-= 4 + 7,46004 + 2,88609 + 49,73588 « 64,08201 = 64,08201 тыс.

руб.II вариант уплаты предпочтительнее.Смысл суммы А в том, что, будучи инвестированной под ставку q,она обеспечит выплату всех платежей, предусмотренных контрактом.Пример 14.4. Предлагается один и тот же товар с двумя варианта­ми уплаты:Цена Р, тыс. руб.Аванс Ол тыс.

руб.Срок поставки t, летСрок кредита, летЛьготный период L , летСтавка за кредит /, %Ставка сравнения q, %I вариант10,521 '8210,515II вариант11111031015Проценты за кредит выплачиваются в конце каждого года.Найдем современную стоимость всех платежей по I варианту. Рент­ные платежи выплачиваются в течение 6 лет. Тогда:Л, = 2 + (10,5 - 2)0,105 • PVIFA,..++Ц + 0,15)21'2PVIFA+ Jinir15%6РША\щ7=1 5 % , 63( 1 + 0,15). > 2 + 8,5 • 0,105 -1,6257089 • -L +- 3,7844827 • J L-= 2 + 1,2617 + 4,9278 = 8,1895 тыс.

руб.Найдем современную величину всех платежей по I I варианту. Сроканнуитета и — 7 лет. Тогда:А = 1 + (11 -1) • 0,1 • PVIFA2з* ' (1 + 0Д5)1l5%2153г111+ , "PVIFAwD/ rPVIFAl5%15%л— =1,157= 2 + 8,5 • 0,105 • 1,6257089 •+ , ^• 3,78448271,15 ' 4,2921794" 1Д5ппл43= 2 + 1,2617 + 4,9278 = 8,1895 тыс. руб.Преимущество I I варианта при принятой для сравнения процентнойставке 15% очевидно.14.4. Предельные значения параметровкоммерческих контрактовПусть имеются два контракта на приобретение одного и того же то­вара. Если один из поставщиков предлагает цену, которая меньше, чему другого (Р\ < Р ), и процентная ставка i < i , то выбор очевиден.Рассмотрим другой случай. Первый контракт (базовый) имеет стои­мость товара Р\, ставку за кредит i\, срок кредита щ.

Второй кон­тракт — стоимость товара Р , срок кредита п , ставка за кредит i необъявлена.Обозначим буквой q ставку сравнения контрактов. Наша зада­ча — найти предельное значение ставки i (обозначим ее предельное зна2x22222чение гр, чтобы при любом значении ставки i < j * второй контрактбыл бы предпочтительнее.Составим уравнение эквивалентности. Для этого сначала найдембудущую стоимость обоих контрактов, а потом продисконтируем этивеличины на момент заключения сделки:2(1 +дГ(1+'Отсюда получаем:—Pl (l + q)"^=> <2 = ilT (1 + h)"' • (1 + Я)" '"' ~ 1 =\Р122l + lll+q•1При »2 > г условия второго варианта хуже для покупателя, чемусловия первого варианта. Если i = h >варианты равноценны. Приh h условия второго варианта лучше условий первого.Совершенно аналогично мы найдем предельное значение цены Р \если оговорена ставка i и срок кредита п :2т о2<222Рг =РхПример 14.5.

Условия двух контрактов следующие:Р = 10 ООО руб.; i , = 8%; и, = 5 лет;Р = 12 ООО руб.; i = 7 %; и = 4 года.Определить предельные параметры второго контракта, принявставку сравнения q = 10%.Р е ш е н и е . Найдем сначала предельное значение цены Р :{2222Р ; = 10000(1+00 0 8 )51'- 1 , Г = 10190,04 руб.,(1 + 0,07)\ •так как Р > Р , то второй контракт хуже.Найдем теперь предельное значение ставки i :4224У22;* = 1,1-100001120001,081,1\51 = 0,0272 =2,72%,так как i = 7 % > , то второй контракт хуже2В случае если щ = п = п, то для расчетов предельных значенийпараметров сделки можно обойтись без ставки сравнения.

Из уравне­ния2ъа+Ь*=p a+i r22находим предельное значение ставкии предельное значениеРцены=Р2Х1+ LV1 + ZjfПример 14.6. Условия двух контрактов следующие:Р, = 5000 руб.; ij = 9%; щ = 5;Р = 5500 руб.; 1 — ?5 «2 = 5.22Р е ш е н и е . Предельное значение ставки второго контракта:..2,/5000• 1,09 - 1 = 0,0694 (6,94 % ) .V 5500HjjjПри i < i второй контракт предпочтительнее.Рассмотрим случай, когда кредит погашается равными срочнымиуплатами в конце года. Предельные процентные ставки по кредиту на­ходятся в два этапа.

На первом этапе оцениваются коэффициенты при­ведения рент PVIFAi-n, эквивалентные условиям базового контракта; навтором этапе на основе полученных коэффициентов приведения рассчи­тывают искомые предельные проценты ставки.Имеются два контракта:I — Л . к, щ;ll —P ,i ,n ;q — ставка сравнения.Исходное равенство современных стоимостей платежей имеет вид:22222P^PVIFA^PVIFAj^отсюда следует:_P .PVlFA .^2PVIFA^q'PVIFA .h="•" ' ~~~~ *P PVIFArqniКоэффициент приведения находят по формуле:РША..•'-q+gr*2отсюда можно выразить предельное значение ставки /*.Величина Р * определяется проще:2,Р -PVIFA.хП *Г1__2пPVIFA „tп<?'"1'2' 2PVIFA: .

• PVlFAa_'Пример 14.7. Условие базового варианта контракта: Р\—'13 ООО руб.;i\ = 10%; ni = 8 лет, погашение задолженности равными Платежами вконце года. Второй контракт Р = 16 ООО руб.; п = 10 лет. При какойминимальной ставке этот вариант будет конкурентоспособен?Р е ш е н и е . Зададим ставку сравнения 15%.Тогда:22Р • PVIFA..=——. pviFA^2PVIFAь.пГУ1ГЛгPVIFAР{16000-5,0187686-5,3349262' к= 6,364541543.15000-4,4873215жИтак, имеем PVIFA..пжтп= 6,364541543.

По таблицам коэффициен-тов приведения годовой ренты находим, что 9,00 < С < 9,50. Приме­ним формулу линейной интерполяции. По тем же таблицам находим:гу (9,50) = 6,2787980;у (9,00) = 6,4176577.Тогда:С-9у-6,4176577=ТГ-0,1388597 -УРа в н е н и еИР»*»»-Предельная ставка. . _ п , о 6364541343-6,4176577'-0,1388597~51_У+05glJ9 Д 9 / о-Несколько изменим условие примера:Р\ = 15 тыс. руб.; i\ = 10%; п\ = 8 лет;Р = ? г" = 9%; и = Ю лет.Необходимо оценить предельное значение цены, т.

е. найти Р :2222. ^ P V * ^ • PVIFA ,5=^ 6,41765• 4,48732PVIFA . -PVIFA .,im s^=5,33492.5,01877{515. В Ы Ч И С Л Е Н И Я ПО Ц Е Н Н Ы М БУМАГАМК основным ценным бумагам относятся облигации и акции. Обли­гация — это инструмент займа. Владелец облигации — кредитор, долж­ник эмитент облигации.'^Свойства облигации:11. Облигация не дает права на участие в управлении имуществомэмитента, она лишь является удостоверением займа.2.