Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (Воронов Е. М. Методы оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001)), страница 11

Физическая специфика равновесия рассматриваетсяв четвертом разделе обзора – приложениях игр [54].Вопросы существования и получения равновесных решений в виде параметров, программных управлений или стратегий обсуждаются в разделах 2 и 3 данного обзора.Вопросы комбинирования определений оптимальности в играх с равновесием и, следовательно, новые принципы оптимизации подробно рассмотрены в главе 6, а также в [54] при обсуждении проблемы стабильноэффективных компромиссов.

Лишь в качестве примеров могут быть упомянуты: комбинация Нэш-решения и процедуры доминирования по Харшаньи [228], которая позволяет выбрать наиболее эффективное равновесиеи при некоторых условиях приводит к специфической кооперативнойдифференциальной игре; понятие равновесия на основе стратегий наказания [95]; понятие равновесия [326] на основе стратегий переключения иГлава 2. Модифицированный метод скалярной Нэш-оптимизации53стратегий угроз в игре с повторением (если угрозы состоят из равновесныхстратегий, то кооперативное равновесие достигается); структурная специфика игры для обеспечения Парето-эффективности Нэш-равновесия,например, [286] (см.

также гл. 6 [54]) и т.д.Отдельное направление с большим числом работ создают условия неопределенности. Так, например, в [253, 418] применяется определениеНэш-равновесия в стохастической игре. В [396] приводится Нэш–Гурвиц–Слейтер-подход в условиях неопределенности. Вопросы аппроксимацииНэш-равновесия, прежде всего для удобства его поиска, рассматриваются,например, в [374].2.1.2.Существование равновесных решенийВ математической теории дифференциальных игр вопросы существования решений, в частности, существования равновесия проработаны достаточно глубоко. Данный вопрос рассматривается в большинстве работ,указанных в первом разделе обзора. Кроме того, вопросы существованияравновесия исследуются, например, в работах [32, 39, 50, 51, 54, 81, 84, 91,94, 95, 122, 137, 168, 190, 195, 199, 232 – 235, 247, 248, 257, 274, 299, 302,316, 336, 351, 352, 357, 376, 397, 403, 416, 423, 431].Комплексно проблема равновесия в рамках всех четырех направленийобзора рассмотрена в монографиях [32, 39, 81, 84, 137, 168, 190, 195, 199].Поэтому в заключение обзора в [54] дан комментарий по всей проблемеравновесия на основе анализа рефератов пяти монографий, приведенных вприложении работы.

1Фундаментальный результат существования равновесия в позиционныхуправлениях (стратегиях) получен в [122] на основе вспомогательныхфункциональных построений и свойств компактности. При этом неединственность равновесия компенсируется либо априорной договоренностью,либо использованием игровых условий с правом первого хода. Достаточное условие существования позиционного равновесия получено в [336,416] на замкнутом выпуклом множестве в рефлексивном банаховом пространстве при выпуклости и непрерывности показателей игроков-объектовв ММС.

В работе [423] учитываются некоторые вырожденные свойствастратегий.Типичными условиями существования равновесия в программныхуправлениях являются компактность и выпуклость множества управлений,непрерывность (полунепрерывность) и выпуклость (квазивыпуклость) показателей ММС в игре [316, 403]. В ряде работ рассматривается некоторое«ослабление» данных требований или их изменение с построением специальных функциональных конструкций [91, 274, 299, 351, 376, 431]. Так, в[351] существование Нэш-равновесия в игре двух лиц определено в бана1См.

сноску в п. 1.2.Стабильные эффективные решения и компромиссы. Часть I54ховом рефлексивном пространстве без компактности и полунепрерывности, но на основе неравенств Ки Фан. В [274] доказано существование равновесия вида Нэш–Курно при большом числе игроков-объектов в ММC наоснове вариационных неравенств. В [431] доказано существование равновесия в многошаговой игре с векторным показателем при некомпактностиобласти управлений. В [91] рассмотрено существование равновесия на основе освобождения от связей (в уравнениях Гамильтона–Якоби и условияхПонтрягина).

Получено достаточное условие, близкое к условию Кротова.Существенные конструктивные свойства имеет необходимое условиесуществования локального программного Нэш-равновесия двухуровневойитерационной схемы Пао [376], которое базируется на компактности области управлений и свойствах «сжатия» показателей ММС.Как и в предыдущем разделе обзора, специфика условий существования равновесия связана с вариацией понятия равновесия, с вариантами игри аппроксимацией конфликтной ситуации игры [54]. Так, в [231 – 235]рассматриваются расширенные условия существования слабого, сильного,полного, абсолютного и активного равновесия в программных управлениях, а в работе [357] – существование ε-равновесия с требованием εблизости к равновесию.

В монографиях [81, 195] рассматриваются условиясуществования максиминной интерпретации равновесия и аналога точекНэша. Специфика игры учитывается, например, в [333, 397], где рассматриваются условия существования равновесия в экспоненциальной игре инеобходимые и достаточные условия в игре с малым параметром возмущения, причем при исчезновении возмущения игра вырождается в наборстандартных задач управления. В линейно-квадратических играх, например [95, 352, 416], соответственно рассматриваются необходимые и достаточные условия существования позиционного равновесия и ε-равновесия встратегиях «наказания», существования позиционного управления сосвойствами Н2/Н∞ на основе Нэш-равновесия, а также достаточное условиесуществования позиционного равновесия на замкнутых выпуклых множествах управлений и выпуклых и непрерывных показателях с применениемв ЛКДИ.Примером исследования вопросов существования в стохастическихдифференциальных играх является работа [253].2.1.3.Методы получения равновесных решенийПринцип оптимальности на основе скалярного равновесия в сочетаниис известными подходами теории управления создает технологию получения устойчивых к нарушению некоторыми объектами (стабильных) решений в ММС.Поэтому основное содержание данного раздела обзора в [54] составляют необходимые, достаточные и необходимые и достаточные условия равновесных управлений на основе вариационных подходов, в том числе вГлава 2.

Модифицированный метод скалярной Нэш-оптимизации55форме линейно-квадратической дифференциальной игры (ЛКДИ), принципа максимума, метода Беллмана и численных методов нелинейного программирования в нелинейной дифференциальной игре объектов ММС. Какдополнение к основному материалу, рассмотрены некоторые специфические варианты, а также стохастическое равновесие и равновесие в условиях неопределенности.Достаточно много работ посвящено равновесным решениям в удобныхдля исследования моделях ЛКДИ [267, 302, 331, 352, 367]. Так, в [267, 331,352] ЛКДИ сводится к решению матричного уравнения Риккати для определения равновесного программного управления, в [302] дано полное описание множества равновесий в программных управлениях, рассмотренытакже условия, когда равновесие не существует.Классические вариационные методы со сведением к краевой задаче используются в [195, 300, 329, 334, 349].

Так, в монографии [195] сформирован двухэтапный алгоритм получения аналога Нэш-равновесного управления на основе достаточных условий абсолютного максимума Кротова, если существуют и могут быть определены специальные функции. В [300]рассмотрены условия на гамильтониан, которые обеспечивают получениепрограммных управлений по Нэшу с точным их определением в виде фазовых диаграмм (последнее понятие дано, например, в работе [2]). В [329]дано необходимое условие программного равновесия на основе функцииГамильтона с методом двусторонней прогонки при решении краевой задачи – «пинг-понг» алгоритмом.

В [334] сформированы достаточные условияполучения Нэш-программных управлений на основе условия экстремумагамильтониана i-го игрока (i = 1 – N) при условии линейности гамильтониана по состоянию и разделимости по управлению и состоянию. В [349] получено достаточное условие равновесных стратегий на основе функцииГамильтона, причем данное условие удобно для верификации управлений,полученных из необходимых условий.Принцип максимума для определения равновесных программныхуправлений применен, например, в работах [81, 116, 139, 286].

В монографии [81] получены необходимые условия равновесности управлений наоснове принципа максимума в непрерывном и дискретном варианте прималом времени и при максиминной интерпретации равновесия в бескоалиционной дифференциальной игре. В [116] получено необходимое условиена основе принципа максимума для ЛДИ с решением задачи синтеза(определения стратегии). В [139] для ЛКДИ получены Нэш- и Пареторешения на основе принципа максимума.

В [286] сформированы достаточные условия (при условии дифференцируемой цены игры и принадлежности решения к некоторой нормализованной игре в форме Понтрягина) дляоптимальных стратегий, как функций полученных решений уравнения Гамильтона–Якоби, предложен метод характеристик на основе принципамаксимума для решения уравнения Гамильтона–Якоби относительно градиента цены, рассмотрен пример решения на основе модели ЛКДИ.56Стабильные эффективные решения и компромиссы. Часть IРаботы [286, 353, 362, 433] являются примерами использования методадинамического программирования.Так, в [286] приведены необходимые условия определения стратегийравновесных по Нэшу в форме уравнения Гамильтона–Якоби относительно цены на основании уравнения Беллмана при условии дифференцируемости цены.В работе [353] метод динамического программирования применяетсядля частного случая антагонистического конфликта в двухкоалиционнойММС.

Рассматривается способ решения уравнений Айзекса–Беллманаприменением «вязких» решений относительно цены, удовлетворяющейусловию Липшица при недостаточной дифференцируемости цены. Тоесть функция цены является «вязким» совместным супер- и субрешениемсистемы Гамильтона–Якоби–Беллмана и Айзекса. В [433] метод Беллмана применяется для игры двух лиц при существовании требуемыхсвойств цены. В [362] на основе динамического программирования получены Нэш-решения и седловая точка в линейной стохастической дифференциальной игре.Исследование равновесий на основе вариационных подходов, принципамаксимума и метода Беллмана базируются на условиях «технологичности», подобных условиям стандартных задач управления, но с существенными дополнительными свойствами векторного расширения условий и ихмногосвязности.