Пределы и непрерывность функций (ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Методические указания к выполнению типового расчета)

Московский государственный технический университетимени Н,Э. БауманаМетодические указанияВ.В. Дуров, А.В. Мастихин, А.С. СавинПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИЙИздательство УНЦ М1ТУ имени Н.Э. Баумана«Криоконсул»МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н.Э. БАУМАНАВ.В. Дуров, А.В. Мастихин, А.С.

СавинПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИЙМетодические указанияк выполнению типового расчетаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2004УДК 517.1ББК 22.151.5Д84Рецензенты А.В. Неклюдов, ЕМ. ПоповаД84Дуров В.В., Мастихин А.В., Савин А.С.Пределы и непрерывность функций: Метод, указания к выполнению ти­пового расчета. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

- 62 с : ил.ISBN 5-7038-2473-7Даны определения и формулировки теорем о пределах числовых по­следовательностей и функций. Подробно разобраны примеры вычисленияпределов различных функций. Приведены примеры сравнения функций призаданном стремлении аргумента, выделения главных частей функций и ис­пользования эквивалентных функций при вычислении пределов. Дана клас­сификация точек разрыва функций. Приведены задачи типового расчета.Для студентов всех факультетов МГТУ им.

Н.Э. Баумана.Табл. 4. Библиогр. 3 назв.УДК 517.1ББК 22.151.5ISBN 5-7038-2473-7© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20041. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИОпределение 1. Если каждому натуральному числу п поставле­но в соответствие некоторое действительное число хп , то говорят,что задана (числовая) последовательность х\, x<i,..., хп,... к о ­торую обозначают {хп}.

Отдельные числа Xk, к = 1,2,... называ­ют членами или элементами последовательности {хп}.Замечание. Как правило, последовательность задается форму­лой для вычисления значений ее членов по их номерам.Пример 1. Формула хп =задает числовую последовап -f 112 3птельность-,-,-,...,—,...Определение 2. Число а называется пределом последователь­ности {хп}у если для любого е > О найдется число N = N(e) та­кое, что при всех п> N выполняется неравенство \хп — а\ < е. Приэтом пишут lim хп = а, или lim хп = а,или хп —> а при п —> со.п—юоВ логических символах определению предела последовательно­сти можно придать вид ( lim хп — а) <=> (Ve > О 3N = N(e) :\п—юо/\: \/п > N => \хп - а\ < е)Определение 3. Последовательность {хп}> имеющая предел а,называется сходящейся (к числу а).

Последовательность, не являю­щаяся сходящейся, называется расходящейся.Замечание. Доказательство того, что число а является пределомпоследовательности {х п }, обычно начинают с формальной записинеравенства \хп - а\ < е, далее путем различных упрощений нахо­дят достаточное условие его выполнения в виде п > N(e)Ve > 0.3Точное решение неравенства \хп — а\ < е относительно п для дока­зательства того, что limбольшинстве случаев очень слож­но и совершенно не обязательно.~ тт2п - 1пПример 2. Доказать, что последовательность хп Зп + 1 схо­дится к числу а = - , определив для каждого е > 0 число N = N(e)отакое, что \хп - а\ < е при всех п> N(e).

Заполнить таблицу:е0,10,010,001\Ще)Р е ш е н и е. Из цепочки соотношений, |2п-1хп - а\ = l 3 n + l2|3l5< е3(3n + l)следует, что для любого е > 0 неравенство \хп — а\ < е выполняетсяпри всех п > -11 1 = N(e). Вычислив N(e) при значениях,О у о€Jравных 0,1, 0,01 и 0,001, заполняем таблицу:е0,10,010,001№555555Пример 3.

Показать, что последовательностьп2 + п sin nsимеет предел а = 1.Р е ш е н и е . Оцениваем модуль разностихп - а =| пг + п sin nxlIJeinnlпхп =1<е>п1Очевидно, последнее неравенство — < е в этой цепочке выполня­ется при п > - = N(e) Ve > 0, это и означает, что lim x n = 1.еп-юоМногие оценки основаны на формуле бинома Ньютона:V a , 6 € R , V n 6 N,п(а + Ь)п = Y, С*ап-кЪк = С°пап + С1пап~1Ь + ...

+ С£6П,fc=0где так называемые биномиальные коэффициенты С* подсчитываются по формулепk\(n-k)VВ частности, при a = 1, Ь > - 1 , удержав в правой части формулыбинома Ньютона лишь два слагаемых, получим неравенство Бер­нулли(1 + Ь)п > 1 + пЬ.(1)Определение 4. Если lim хп = 0, то последовательность {жп}п-юоназывается бесконечно малой.2.

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙТеорема 1. Последовательность {х п } имеет предел а тогда итолько тогда, когда хп = а -f a n , где {a n } — бесконечно малаяпоследовательность.Пример 4. Показать, что последовательность хп = qn, где\q\ < 1, является бесконечно малой.Р е ш е н и е . При q = О это очевидно. Пусть 0 < \q\ < 1. Вос­пользовавшись неравенством Бернулли (1), получим цепочку соот­ношений1^ в [ 1+ (ш- 1 )Г^ 1+ Чш- 1 )>Чш- 1 )'из которой следует, что1а*-о| = Ы"<lf.

<еприп>/^= N(e).•(ш-0nЭто и означает, что lim q = 0.п—юоТеорема 2. Если последовательности {хп} и {з/п} сходятся и,начиная с некоторого номера по, выполняется неравенство хп < уПуто lim xn < lim yn.п—юоп-юоЗамечание. Из неравенства хп < уп не следует, что lim xn <п—юо< lim 2/n» а следует лишь нестрогое неравенство lim xn< lim yn.п—Юоп—юоп—юоПример 5. Пусть хп = 0, уп = —. Очевидно, что х п < уп припвсех п, но lim xn = lim yn = 0.п—>ооп—юоТеорема 3 (о пределе «зажатой последовательности»). Есличлены последовательностей {x n }, {yn}i {zn}> начиная с некоторогономера по, удовлетворяют неравенствам хп < уп < zn и при этомlim хп = lim zn = а, то последовательность {уп\ сходится кn-юоп-юочислу а.Пример 6.

Показать, что последовательность хп = у/п 4-1—>/пбесконечно малая.Р е ш е н и е . Из соотношений1110 < Хп =.— < - - 7 = < —7=Vn 4-1 4 у/п2i/nл/пвидно, что последовательность зажата бесконечно малыми после­довательностями {0} и {-^}, таким образом, lim xn = 0.Определение 5. Последовательности {хп 4 t/ n }, {xn — уп},{хпУп}, {—} называются соответственно суммой, разностью, проУпизведением и частным последовательностей {хп} и {уп}' В случаечастного предполагается, что {уп} Ф 0 при и = 1,2, —Теорема 4. Если lim xn = a, Hm yn = Ь, то lim (xn ± уп) =п—юоn-юоп-юо= а ± Ъ\ lim (xn2/n) = ab\ lim (—) = —,6^0.6n-юоn-юо y n6Теорема 5. Если f(x) элементарная функция, а элементы после­довательности и ее предел лежат в области определения функции/(ж), то lim f(xn) = / ( lim хп).п-юоп-»ооПример 7.

Найти предел последовательностихп =^—-+г^—^ + '' • +Р е ш е н и е . Поскольку в сумме, определяющей жп, каждоеппоследующее слагаемое меньше предыдущего, .< хп <2\/п + п<. Таким образом, последовательность {хп} зажата поV п 2 -Ь 1ппследовательностями уп = .и г п = — = = , пределы ко2Vп + пv п2 + 1торых равны единице.

Действительно, в силу теорем 4 и 5lim у п = limп-юо,= lim —.п-юо у/п2 _|_ пВтZn= 1{ т -п-»оо7п-юо= 1;/ i l l^ = = lim - , 2 = = 1.п-юо ^/ п 2 + -Jп-юоД, 1По теореме 3 lim rcn = 1.п—юо2пПример 8. Доказать, что lim —- = 0.п-юоп!2пР е ш е н и е . Пусть # п = —, тогдап!2 2 22 _/2\л"2 9/2\п0<Ж2" = Т - 2 - 3 - ^ Ч з )=2(з) ^ °при п -> оо, в силу примера 4 и теоремы 4.

Таким образом, после­довательность зажата бесконечно малыми последовательностями,тогда по теореме 3 lim xn = 0.п-юоапПример 9. Доказать, что Va e R lim — = 0.п-юо п\Решение:о < |^| = И И'п! 11М _Н_ N < И* Г |a| Y~k <2 "" fc fc + l ' " n_fc! Vfc + 1 /< (* L± l^ ( Ja L y.k\ \k + l)при n —> oo, если значение к выбрано (и пзафиксировано) из усло\а\авия< 1. Последовательность {I—-1}является бесконечно«+ 1'п! 1малой, так как зажата бесконечно малыми последовательностями.Тогда является бесконечно малой и последовательность {—г}.п\Пример 10.

Доказать, что lim —-п = 0.п—too пР е ш е н и е. Из оценкип!1 2 3п0 < —п =пп п пп1...-<-,ппверной для любого п € N, следует, что последовательность\ —- > зажата бесконечно малыми последовательностями, т. е.lim — = 0.n—too ппПример 11. Доказать,что lim у/а = 1 Va > 0.п->ооР е ш е н и е . При a = 1 это очевидно, пусть а > 1, тогда и>/а > 1. С помощью неравенства Бернулли (1) получаема= [ l + ^ - 1 ^ ] П > l + n ( ^ / a - l ) > n ( ^ / a - l ) > 0,откуда следует, что 0 < л/a - 1 < — или 1 < л/а < 1 И—.

Такимппобразом, последовательность { \Уа} зажата последовательностями{1} и {1 Н—}, имеющими общий предел, равный единице. Тогдапlim \Уа = 1.П-ЮОПусть 0 < a < 1, тогда - > 1 и, по доказанному,аг-,.1n->oo {/av17—lim -^=n->oo ^ohm \ja — lim —7= = -п-юоПример 12. Доказать, что lim (/n = 1.п-юо8= 1-Р е ш е н и е . Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, вкоторой удержано только третье слагаемое, получимn=[l+(^-l)]n= fc=0^Cn(^-1)'e ==l+n ( ^ - l ) + ^ f ^ ( ^ - l ) 2 + -+(^-l)n>п(п - 1) (>_^_2(^_1у,пА( \fn - 11\/< 1 -\-\<2или 1 < tfn <п—1-. Таким образом, последовательность { tfn) зажатаV ft — 1последовательностями {1} и < 1-К /[.имеющими общий пре­дел, равный единице.

Тогда, lim фг = 1.п-юо71Пример 13. Доказать, что Va > 1lim — = 0.n->oo anР е ш е н и е . Поскольку а — 1 > 0, можно применить приемиз примера 12. В результате для п > 2 получим ап = [1 ++ (a - l)J n >— - ( a — 1) , откуда следует, что 0 < — <2п< 177о7тт —> 0 при п —> оо, что означает lim — = 0.(a - l ) 2 ( n - 1)n-юо a nloCTa 71Пример 14. Доказать, что Va > 1 lim= 0.n-»oonР е ш е н и е . Зафиксируем произвольное число е > 0. Неравен­ствоI lQ g Q nI = log a n <c\ пIпэквивалентно неравенству п < (a c ) n . Поскольку ае > 1, в силупримера 13, lim -—г—= 0. Отсюда следует, что существует чип->оо (ае)плтftело JM такое, что неравенство -—— < 1» и л и эквивалентное ему(аЕ)п9п < (а е ) п , будут выполняться при всех п> N. Для тех же п очевидlog a n,.