Пределы и непрерывность функций (ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Методические указания к выполнению типового расчета), страница 5

В частности, если /(хо - 0) = /(хо + 0), т. е. в точ­ке хо функция /(х) имеет предел, то говорят, что хо есть точкаустранимого разрыва. Разрыв в этом случае можно устранить, до­определяя или переопределяя значение функции /(х) в точке хо:/(хо) = lim /(х). Эта процедура называется продолжением функх—•хоции по непрерывности.Всякая точка разрыва функции /(х), не являющаяся точкой раз­рыва 1-го рода, называется точкой разрыва 2-го рода.

Другими сло­вами, в точке разрыва 2-го рода по крайней мере один из односто­ронних пределов функции не существует или бесконечен. Наиболеетипичный случай разрыва 2-го рода—это именно бесконечный раз­рыв.Пример 81. Функция /(х) = arctg— имеет в точке х = 0 разрывхпервого рода, поскольку /(-0) = --, /(+0) = —.sin хПример 82. Функция f(x) =не определена в точке х = О,ходнако имеет в этой точке предел lim /(x) = 1. Следовательно,х—>0х = 0 — точка устранимого разрыва функции /(х). После доопре­деления /(0) = 1 функция /(х) станет непрерывной в этой точке.Пример 83.

Функция /(х) = -\ имеет в точке х = 0 разрыввторого рода, поскольку /(—0) = /(+0) = + со.Пример 84. Функция /(х) = е* имеет в точке х = 0 разрыввторого рода, поскольку /(+0) = + со. Заметим, что / ( - 0 ) = 0.35Пример 85. Функция /(х) = sin^ имеет в точке х = 0 раз­рыв второго рода, поскольку в этой точке не существует ни один изодносторонних пределов / ( - 0 ) или /(+0).Пример 86.

Точки разрыва функциия*)arctg—, х < 1;х1К х < 2;х- 1ln(x - 1)х >2х-2'следует искать как среди точек, выпавших из ее области определе­ния, так и среди точек х = 1 и ж = 2, в которых осуществляетсясклейка разных ее ветвей. Рассмотрим точки 0,1,2. В точке х = 0функция/(х) имеет разрыв первого рода, как известно из примера81.В точке х = 1 предел слева вычисляется от левой ветви, т. е./(1 - 0) =lim /(х) =х-*1-017ГX4lim arctg— = —, предел справа вычи-3-+1-0сляется от правой ветви, т. е.

/(1 + 0)= lim f(x)=rV'x->l-0JV 'lim-=1Ч1+0Х-1= +oo, следовательно, в точке х = 1 функция f(x) имеет разрыввторого рода.В точке х = 2 односторонние пределы /(2 - 0) = lim f(x) =ж->2-0=lim- J _X-+2-0 X — 1= 1H/(2+0)=limX-+2+0f{x)=limx-*2+01п ж(X -~ *)=x2следовательно, в точке х = 2 функция /(х) имеет устранимый раз­рыв и, более того, непрерывна в этой точке.3612. ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача 1. Доказать, что lim xn = а, определив для каждогоп—юое > 0 число N = N(e) такое, что \хп - а\ < е для всех п > N(e).Заполнить таблицу:€0,10,010,001N(e)Варианты задачи приведены в табл.

1.Таблица 1№ вариан- Последовательность и еепределЗп-23а=2^~V27п-13 х =пп +- г1- , о, = 71-2п2__15 Жп =й2 + 4п 2 '~~22 п5~_27 Жп"Зп+1' а ~ 3_ 4п2 + 1_ 49 Хп~ З п 2 + 2' а ~ 3—5п11а = —5п + 1'1-2п213о = -2п2 + 3 'п_ 1.15Зп-l' а~ 31Xn=№ваПоследовательность и еерианпредел246810121416_ 7п + 4_ 7~2n + V a~ 2_ 9-п3_ -1Жт1~ 1 + 2п 3 ' а " 24п-1Xn•Тл=2пП'а= 2п-1Хп. =1» Л =п1-2п'24п-3хп = -z—-тг, а = 22п+ 12п+ 12Хп.п« Д = —Зп-5'3Зп2, а = -32-п23Зп , а = 3п3-1=37Окончание табл. 1№ ваПоследовательность и ее|рианпределта171921232527294+ п*П = Г ^ 'а=1"з3-п21~ 1 + 2п 2 ' а " 2Зп-135п + 15_ 1 - 2п21* п ~ 2 + 4п 2 ' а ~ 2_ 2-2п1* п ~ 3 + 4п' а~2l + 3nQжп = —б — п, а = —оЗп2 + 2_ 3жп — 4 п 2 - 1 ' _ а ~ 4Х п№ ва­Последовательность и еериан­пределта182022242628305п+15а = -56—п2п-122 - З п ' а = "з4п-32n+l' а = 25п + 11Юп-3' а = —23-4п22-п '2п + 3хп — п + Ь '2-Зп2__34 + 5п2> а ~ 5Задача 2.

Вычислить пределы функций: а), б), в), г), д), е).Варианты задачи приведены в табл. 2.38Задача 3. а) Показать, что данные функции fug являются бес­конечно малыми или бесконечно большими при указанном стрем­лении аргумента; б) для каждой функции / и д записать главнуючасть (эквивалентную ей функцию) вида С(х — хо)а при х —» хоили Сха при х -> оо, указать их порядки малости (роста); в) срав­нить f ид.Варианты задачи приведены в табл.

3Таблица 3№ ва­риан­таФункции2х - 8,1у/х23х 2 + -{/x + sinx,5/(ж) = ^6№№№8з22 lw ЗЖ+ 2ж + 1, X -+ +00Зж2ж-4 +0• In cosyj,ж In: In х,47ж-> 31п29{x№xI9&arctgж -> +ooх->1ж -> 1=v^sin—,x= 2ж3 - 5ж2 + 1,9ж -* 1ж+2#(* = ln ж + 1'2#(* = 4 ( ж - 1 ) ,339& =\/ж + 1 — \/ж — 1, ж -> +оо19(x.ж —• + 0 01 - cosч/ж^т:10№= y/x2 + Xy/x}211f(x) = x + x - 2,12№••13№-y/x+y/xy14№= y/x+y/x,549& =у/х3 + ж + 1,1п(ж + 3)9(x =ж • +оо:—Г7===»х - -2arcsiny ж + 2- 1) . 19(x = arctgfo—- s i n - , ж->+оожж9(x+оое& - 1ж->+оо9(*. = \Jx+ уУх~+у7х,Окончание табл. 3№ ва­риан­та1516171819202122232425Функции27/(х)30ЖЖ"3у'ж + 3т2919{х) = In cos -9(х)1 Г '2ж5 + х + 1у/Х9{х) = 1п(1 + ^ ж Ч ^ ) ,/(*) =--y/YTVx- 1,12/(*): = sin-/+у/х — Ж,7=7 ' 9{х) = \/хуж + у я + 11п(ж+ 3)= х2 + х - 2,9(х)arcsin\/# 4- 2з + arcsinx,Дх) _ ^ж°9(х) =>/1 - Зж - V I 4- ж,Дх) = у/х+ ^ж,9(х) = у ж 4- v^x+ ^ж,In жДх)9(х)1 — сов^ж - 1'жагс^жДх)=у/х— ^Ж,9(х)"\/4ж~Тз'1„,39(х)Дх)в*-ГДх)9(х)426281/(*) =: — + —•Х:2 -1,2+жДх) - ( 2 - ж '= е4ж - е х ,/(х)ж3 + х sin жж + \/х/(х)ж -» оож -> +оож - • 4-0Ж -» +00ж -> - 2ж->0ж —>• +оож -> 14-0ж -» 4-оож -+ 1ж -> +оо9&) = 1п(1 +\Лг 4- sin ж), ж -»0ж -> 1 + 09(х)1ж ->2-09(х) ~ 9 - 3*'ж->09(х) = tg4ж - sin Зж,_ ж2 + ж + 1ж ->• оо9(х)х+2 'Задача 4.

Найти точки разрыва функции f(x) и определить иххарактер. Построить фрагменты графика функции в окрестости ка­ждой точки разрыва.Варианты задачи приведены в табл. 455Таблица 4№вариантаФункции2-,х<1;/(*) = \ ЛТЬ ,х>12-х*5'/(*) =arctg(,х< °;-), х > Ох—z/(*) = c o s ( y ) , |х| < 1 ;. |гг-1|, |*| > 1х-1Г/(*) =З ^ 3 ^ , ж < 2;-, х > 2, 1п(хх-2- 1)2х-12 ^ ^ , ж < 1;lnx, х>1х-1/(*) ='1п(-х-2), х < -2;/ ( * )=/(*) =•е " , х > —2х+2хarctg(, х < 0;-), х > 0ж—Iе* , х < 0;/(*) =1-/(*) =56у/х, х >0-1VT- х^ - , х < 0;х 4-1е15^, х > ОX2Продолжение табл. 4Функцииварианта-, х < 0;10/(*) = {Xsin^^xv^x - х, х> 011( e^+S x < 0;/(х) = < arcctg2x, x> 0x-112/(*) =I arcctg(-), x < 1;x> 1f sin3x13x-/(*) =-, x < 7г;COS —,X > 7Г3arCtg1415/(*) = <^7?2^X-°;lnx, x >0^x-1sin7rxi-, M < i;/(x) = < arcsinx16№17/(*)=I 1 + ^i, | x | > l| 2 ^ I , |x|<2;I ^, M>2f arctg(^-Y), x < 0 ;{/Ie-, x > 0igarctgx?X < О',18, x> 057Продолжение табл.

4Функцииварианта1п(1 - х)19X/(*) =1ех - 220/(*) =, х < 1;, х> 1arctg(-), х < 1;х1X > 1[ (х-2)1пхе^Ь, х < 0 ;21/(*) =22/(*) =2\/х 4-1 - х, х >01-х1п(1 - х), х < 1;X"^х23242'2-/(*) =^хТТМ<1;, M>isin f - sin 526Хе - ее-+", х < 0;/(*) =, х> 0(х-l)2arctg 2x, х<0;2х/(*) =х2-1, х > ОI (х2-2)1пхе"*,25Ж/(*) =|Х + 7Г, х < 0;COSX, X > О58Окончание табл. 4№варианта27Функцииarcsin х, W<1;х/(*) = <11(2-*)2, M>i2^^,28х < 2;fix) = { ln(x - 1)-, x > 2Vx-2arctg(——), x > 0;29/(*) = {, x >07Г -30(Xarctge», x < 2;tg(-),x>2СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Бугров Я. С, Никольский СМ. Дифференциальное и интегральное ис­числение. М.: Наука, 1988.2. Морозова В.Д. Введение в анализ. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1998.3. Дуров В.В., Карташов ГД. Пределы и непрерывность функций: Ме­тодические указания к практическим занятиям по курсу «Математи­ческий анализ». М.: МВТУ, 1982.ОГЛАВЛЕНИЕ1. Предел числовой последовательности32. Свойства сходящихся последовательностей53. Достаточное условие сходимости последовательности. ЧислоЭйлера е104.

Предел функции125. Бесконечно малые и бесконечно большие функции156. Предел отношения многочленов и некоторых иррациональныхвыражений167. Раскрытие неопределенностей с иррациональными выражени­ями188. Применение первого замечательного предела229. Применение второго замечательного предела2510. Сравнение функций при заданном стремлении аргумента2711. Непрерывность и точки разрыва функции3412. Варианты типового расчета37Список литературы6061Виталий Васильевич ДуровАнтон Вячеславович МастихинАлександр Сергеевич СавинПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙМетодические указанияРедактор О.М. КоролеваКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка В.И.

Товстоногfrom myshunya to _Sokrat87_Подписано в печать 17.03.2004. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 4,0. Усл. печ. л. 3,72, Уч.-изд. л. 3,65.Тираж 300 экз. Изд. № 18. Заказ 63Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская, 5..