Пределы и непрерывность функций (ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Методические указания к выполнению типового расчета), страница 2

log a nно, что выполняется неравенство —-—< е, тогда lim —-—= 0.пп-юо пЗамечание. Из примеров 13 и 14 следует, что при любом a > 1последовательность {п} возрастает медленнее, чем последователь­ность {a n }, и быстрее, чем последовательность {loga n}.3. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.ЧИСЛО ЭЙЛЕРА еОпределение 6. Последовательность {хп} называется ограни­ченной, если существует число С такое, что |х п | < С, п = 1,2, —Теорема 6. Сходящаяся последовательность ограничена.Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.

Например, по­следовательность {(—1)п} ограничена, но не сходится.Теорема 7. Для сходимости последовательности {хп} необхо­димо, чтобыlim (xn+i - хп) = 0.(2)n—tooПример 15.Рассмотримпоследовательность{хп}:—1,1, — 1 , . . . (-1) п ,Так как |x n +i - хп\ = 2, то очевидно,что условие (2) не выполняется и последовательность расходится.Определение 7. Последовательность {хп} называется неубыва­ющей, если хп < хп+\ Vn e N.

Последовательность {хп} назы­вается невозрастающейу если хп > хп+\ Vn € N. Обобщеннонеубывающие и невозрастающие последовательности называютсямонотонными.Теорема 8. Монотонная ограниченная последовательность схо­дится.Рассмотрим последовательность {я п }, где хп = I 1 И— 1 .t формулу бинома Ньютона, получимп = (1 + - )vп'10= 1+П1п—2!о+ •''п2n ( n - l ) ( n - 2 ) .

. . [ n - ( f c - l ) ] _1_A;!nkn(n-l)(n-2)...[n-(n-l)] J__n!nn- а + 5( 1 -;)+я( 1 -5)( 1 -!) + - + в( 1 -:Х 1 -|)• • • С ~ ) + -+яО-;)('-;)-(1-:т1)Последняя сумма содержит п положительных членов. Увеличив пна единицу, увидим, что, во-первых, в сумме появится еще один (п+4- 1)-й член, который больше нуля, во-вторых, выражение в каждойскобке увеличится. Итак, хп < хп+\, т. е. последовательность {хп}возрастает.Заменяя теперь каждую скобку в сумме хп единицей, получимо*"< 2 +1112 ! + 3! + " - Ы -Заметим, что для к > 2 верноfc!= 2 • 3 • ... к > 2*"1. ПоэтомуЛ111o^o^l)^12'т.

е. хп < 3. Итак, последовательность {хп} возрастает и ограниче­на сверху, значит, она имеет предел, который, следуя Эйлеру, обо­значают через е. Число е играет исключительную роль в математикеи ее приложениях. Например, в математическом анализе использу­ются главным образом логарифмы по основанию е, которые называ­ются натуральными и обозначаются символом In, так что In = loge.Применение натуральных логарифмов значительно упрощает мно­гие соотношения математического анализа. Связь между натураль­ными логарифмами и обычными (десятичными) получим, логариф­мируя по основанию Ютождествож = е 1пж ,чтодаеткж = М-In ж,1где число U = lg е = —— = 0,434294...

называется модулем пе±In 10рехода.11Число е иррационально (е=2,7182818284590...) и трансцедентно, т. е. не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэф­фициентами.4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИОпределение 8. Пусть а е R. Окрестностью 0(a) точки а на­зывается любой интервал (Ь, с), содержащий точку а.Проколотой окрестностью 0(a) точки а называется любая ееокрестность, из которой исключается сама точка а.Определение 9.

Пусть е > 0, е-окрестностью Ое(а) точки а на­зывается интервал (а - е, а + е). Проколотой е-окрестностью Ое(а)точки а называется ее г-окрестность, из которой исключена саматочка а. Окрестность е и проколотую окрестность е точки а можнозадать в видеОе(а) = {х е R : \х - а\ < е} = (а - е) а + е),Ое(а) = {х € R : 0 < \х - а\ < е} = (а - е, a) U (а, а + е).Определение 10 (Коши). Число А называется пределом функцииf(x)b точке а (или при х -> а), если функция f(x) определена внекоторой проколотой окрестности точки а иVe > 0 36 = 6(e) : 0 < |х - а\ < 6 => \f(x) - А\ < е.Здесь принятые обозначения lim f(x) = А или f(x) -> А прих->аX - > О.Заметим, что в самой точке а функция f(x) может быть не опреде­лена.Пример 16.

Показать, что lim $x sin - = 0.х-+0XР е ш е н и е . Функция f(x) = $/x sin £ определена всюду, крометочки х — 0. Фиксируем произвольное число е > 0, тогда неравен­ствоl ^ ^ s i n - - 0| = | # F | | s i n - | < |#х| < еа:х12выполняется при всех х таких, что0 < | х - 0 | = |х| <<5(е) = е3.Определение 11. Число А называется пределом функции /(ж)при х —> оо, если для любого е > О найдется число 6 = 6(e) > Отакое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > 6, вы­полняется условие|/(х)— Л| < е,«=!> (Ve > 0 36 = 5(e) > 0 : |х| ><5 =*> |/(х) - А| < е ) .Аналогично определяются пределы функции /(х) при х —> +оои и —оо:(Ve > 0 35 = 6(e) > 0 : х > * => |/(х) - А\ < е),( lim /(х) = А] *=>\х—>—оо/(Ve > 0 36 = 6(e) > 0 : х <-6 ^ |/(х) - Л| < е ) .Пример 17, Предел lim — = 0, поскольку Ve > 0х гоо х|0| =X=id < £ П Р И 1 Х 1 > 7 = ( ^ 'Определение 12.

Число А_ называется пределом слева функции/(х)вточкеа, еслиVe > 0 3£ = 5(e) > 0 : а-6 < х < а =» |/(х) - Л| < е.Здесь принято обозначение А- = lim /(ж) = /(а - 0).х->а-0Число ,4+ называется пределом справа функции /(х)в точке а ,еслиVe > 0 36 = 6(e) > 0: а<х<а+ 6 => |/(х) - А| < е.13Здесь принято обозначение А+ = lim /(х) = f(a + 0).x-m+0Числа А_,Л+ называются односторонними пределами функ­ции /(х) в точке а.Пример 18. Определим функцию sign (читается сигнум):-1, х < 0;f(x) = sign(x) =0, х = 0;1, х > 0.Тогда lim f(x) = / ( - 0 ) = - 1 , a lim Дх) = /(+0) = 1.X—¥—ОX—У+0В заключение сделаем общее замечание о конечном пределе.Мы изучили понятие конечного предела функции /(х) при х ->• а(точка а конечна или нет).

При этом были рассмотрены шесть воз­можных различных типов стремлений аргумента х к точке а (двадвусторонних и четыре односторонних — см. определение 10—12).В подходе Коши каждому из этих типов отвечает свой тип окрест­ности:Тип стремления:х -> а (точка а конечна)х -> а + 0 (точка а конечна)х -+ а — 0 (точка а конечна)х -> оо (точка а бесконечна)х -> +оо (точка а бесконечна)х -> -оо (точка а бесконечна)Тип окрестности:(а - <5, а) U (а, а + (5)(а, а+ 6)(а — (5, а)(-oo,-<5)U(<*,+oo)W+oo)(-оо,-5)Условимся любой из шести типов стремлений записывать какх -» *, а соответствующий ему тип проколотой окрестности какОД*).

Тогда определение конечного предела по Коши может бытьдано сразу для всех шести типов в форме(\imf{x)\х->*= A) <=>/<=Ф he > 0 35 = 8(e) > 0 : х в 06(*) =» |/(ж) - А| < е).145. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНОБОЛЬШИЕ ФУНКЦИИОпределение 13. Функция а(х) называется бесконечно малойпри х -> *, если lim а(х) = О, т. е. Уе > О 35 = 6(e) > 0 : Ух Ех->*е Оа(*) =» |а(х)| < е.Определение 14. Функция /3(х) называется бесконечно большойпри х -> *, еслиУе > О 35 = 6(e) > 0 : Vx e 6«(*) =» |/3(х)| > е.О бесконечно большой при х -> * функции /3(х) говорят, чтоона имеет при х -> * бесконечный предел, и пишут lim /3(х) = оо.х—**Пример 19. Предел lim ^ = оо, поскольку Уе > 0 | — | > е приО < |х| < \ = 6(e).Если Уе > 0 3(5 = <5(е) > 0 : х е Os{*) => f(x) > е, то пишутlim /(x) = +оо.х—>*Если Уе > 0 3(5 = (5(e) > 0 : х G 6*(*) =» /(ж) < - е , тоlim /(х) = —оо.X—• *Теорема 9.

Если функция /(х) — бесконечно малая в точке аи в некоторой окрестности этой точки /(х) Ф 0, то функция ( .является бесконечно большой в этой точке.Справедлива и обратная теорема.Теорема 10. Если lim /(х) = А и lim р(х) = В , то lim{/(x) ±х—ю,±д(х)} = А±В,х—юх—>аlim{/(x) • <?(*)} = А • В, l i m { 4 4 } = 4 х—юх—>а Q\X)если±5в последнем пределе р(х) ^ 0 и 5 ^ 0.Замечание.

В некоторых случаях прямое применение теоре­мы 10 к вычислению пределов невозможно. Например, lim /(x) =х—>оf(x)о= lim д(х) = 0, но нельзя утверждать, что lim{—7-7} = - ,х-*ах-Ю р(х)015опоскольку выражение - не имеет смысла. Здесь появляется такназываемая неопределенность вида [-]. Аналогично возникаютнеопределенности [Ц], [0 • со], [оо - со], [l°°], [0°], [со0]. Рас­крыть какую-нибудь неопределенность означает вычислить отве­чающий ей предел; [0°°] = 0 не является неопределенностью.6.

ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВИ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХВЫРАЖЕНИЙВычисление пределов функций есть важная и практически по­лезная задача. Рассмотрим некоторые способы ее решения.Пусть Рп(х) и Qm(x) — многочлены степени пит соответ­ственно такие, что Рп(а) = Qm(a) = 0. Если требуется вычислитьпредел отношения этих многочленов lim -г—т"т> т о ответ не мо*->а Qm{X)жет быть получен путем осуществления арифметической операцииделения, поскольку в данном случае она невыполнима (деление нануль не определено).Тогда следует разделить оба многочлена на (х — а).

По теоре­ме Безу такое деление осуществляется без остатка, т. е. Рп{х) == (ж - a)Pn-i{x),Qn(x)= (х - a)Qn-i{x). Если Рп-г(а) ф 0или Qn-i(a) Ф 0, то неопределенностьраскрыта, если нет, тоделение на (ж - а) следует продолжить.х 3 - 2х2 + х - 2Пример 20. Вычислить А = lim -~5—«гк*->2 х 3 + х2 - 8х + 4Решение. Непосредственной подстановкой х = 2 в числительи знаменательубеждаемся, что имеем дело с неопределнностью ви­L J0да [-].

Делим числитель и2знаменатель на (х - 22), получаем(ж-2)(ж + 1) =rr + l= u= 5х™2(х-2)(х2 + Ъх-2)х™2 х2 + Ъх - 2 8'16ж4 4 2ж3 — ж2 — 4ж — 2Пример:—5 —г~о—^rF 21. Вычислить А = limx-*-iж343ж243ж41Р е ш е н и е . Непосредственная проверка показывает, что этослучаи неопределенности типа'01Делим числитель и знаменад.з I д,2 _ 2х — 2тель на (ж 4 1), в результате получаем Л = lim^—ох—•—1X;—•~г ^ЖiJ-Снова убеждаемся, что и это неопределенность вида — . По­вторяем процедуру деления на (ж 4 1), в результате находим.А =limж2-2х->-1 х+1rU— = L- - J = 00.0Пример 22.