Пределы и непрерывность функций (ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Методические указания к выполнению типового расчета), страница 4

<*(х),при ж -> *. Если lim -77-7 = 0, то а (ж)чназывается бесконечнох->* р(х)малой более высокого порядка (малости), чем /3(х) при ж -> *. Со­ответственно (3(х) называется бесконечно малой более низкого по­рядка (малости), чем а(ж) при ж -> *.27Определение 17. Пусть функции а (ж), (5{х) бесконечно больOL\X)шие при х -» *. Если lim _, .

= 0, то а (ж) называется бесконечно*-•*р(х)большой более низкого порядка (роста), чем /3(х) при х —> *. Со­ответственно /3(ж) называется бесконечно большой более высокогопорядка (роста), чем а(х) при х —> *.Определение 18.

Пусть функции а (ж), /3(ж) бесконечно малыеOt\X)(бесконечно большие) при х —> *. Если lim -тт-т не существует, тоа(ж), /?(ж) называются несравнимыми между собой при х -> *.Пример 62. Рассмотрим а(х) = ж s i n - и /3(х) = ж, функцияха(х) = ж sinбесконечно малая при х -> 0, так как \а(х)\ =х= |ж|• | sin — | < |ж| < £при|ж-0| <\х\ < 6 = е\ функция(З(х) = хXCt(X)1бесконечно малая при х —> О, lim „) ( = lim sin — не существует,х->0/3(х)х-+0Xпоэтому а(х) = х sin — и р(х) = х несравнимы при х —> 0.хfix)Определение 19. Если lim —)—£ = 1, то /(ж) и р(ж) называютх->* д[х)эквивалентными при ж -> *.Здесь принято обозначениеf{x)~g(x)(x->*).Пример 63. Функция sin ж ~ ж(ж -* 0) (теорема 6).Теорема 13 (критерий эквивалентности функций). Функции/(ж) ~ д(х) (ж -> *) <=> /(ж) = р(ж) + о(д(х)) (ж -> *).Пример 64. Показать, что1)/ ~ / (ж -> *);2)/ ~ р (ж -> *) <^> g~f(x->*);3)f ~ д, д ~ h(x -+ *) = > / ~ /i (ж -> *).На основании теорем 11, 12 и примеров 39—41, 54, 55 можносоставить список функций, эквивалентных ж при ж -» 0:sin х ~ tg ж ~ arcsin ж ~ arctg ж ~~ е х - 1 ~ 1 п ( 1 + ж)~ж (ж-»0).28(3)Из примера 56 следует, что Va E R(1 + х) а - 1 - ах ( х - * 0 ) .(4)В частности, при a — £, n G N> / Г Т х - 1 ~ - (х->0).(5)пИз примера 55 следует, что Va > Оa x - l ~ xlna (х->0).(6)Замечание.

Соотношения эквивалентности (3)-(6) сохраняютсвою истинность при замене х на любую бесконечно малую функ­цию а(х) при х —> XQ. Например,. 1 1sin — ~ х— при х —» оо;,114,11 ~ — при х —> оо;ПХ^In x = 1п[1 + (х - 1)] ~ х - 1 при х —» 1Xи т. д.При вычислении пределов полезна следующая теорема.Теорема 14. Пусть / ~ / i , д ~ д\ при х —> *, тогда:а) если существует предел lim —т~т — Д т о существует и равх-+* дг(х)ный ему предел lim —— = А;х-»* д[х)б) если существует предел lim /i(x) • д\{х) = В, то существуетX—• *и равный ему предел lim f(x) - д(х) = В.Пример65. Предел lim —— = lim x • — = - .rx->otg2x *-+о 2х 2X—У*Пример 66. Предел lim xsin— = lim x— = 1.х->оохх-ЮохЗамечание. Заменять функции на эквивалентные им в суммах иразностях, вообще говоря, нельзя.29пл^ и -vМ П " X) + 1п(1 - X)Пример 67.

Найдем А = hm ——~—-. Если вое-X2х-+0пользоваться формулами 1п(1 + х) ~ х, 1п(1 - х) ~ - х и заменитьх—хфункции на эквивалентные, то получим А — lim —~~~ = 0> однако2 х—УО х1п(1 - х )-х2это не верно, поскольку А = lim —-—~—=lim—5 - = — 1«-•ох2х->о х 2•^g^p sin xПример 68. При вычислении предела limgзаменаtg х и sin х на эквивалентную им при х —> 0 функцию х приводит кошибке, т.

е. А = lim —^— = 0. Правильный результат получен впримере 44.Последовательно применяя соотношения (3)—(6), можно вычи­слять и более сложные пределы.In cos хПример 69. Вычислить предел А = lim --—гг.:х-И) ln(l + s m r )Р е ш е н и е . При х -» 0 получаем In cos x = - ln(l - sin 2 x) ~. 2Sin X22* ^ i / ^.9\. 91~ — — ,ln(l 4- sinx ) ~ s m x ~ х , поэтому2х2Л = lim —2- -i2х-*о х2',,ln[l + ln(l + x 3 )lПример 70. Вычислить предел А = lim — . , 9 ЁТ—-.s-юsin(x^ - х&)Р е ш е н и е . При х ->> 0 получаем In [l + ln(l + х 3 )] ~ 1п(1 ++ х 3 ) ~ х 3 , sin(x 3 - х 5 ) ~ ж3 - х 5 = х 3 + о(х 3 ) ~ х 3 . Отсюдазследует, что А = lim — = 1.х->>0 X*5lnx•=.Пример 71.

Вычислить предел А = limXИ»С"у JCР е ш е н и е . При х -> 1 получаем In х = 1п[1 + (х - 1 ) ] ~ х - 1,поэтомуЛ - Hm - b f L „ l im ^х-»1 X —VX30х-»1- ^ +у/Х^/х— 1)Ц = lim ^ * + 1> - 2.ж->1VXПример 72. Вычислить предел А = lim.х-+о хР е ш е н и е . При х -> 0 получаем e sinx - ех = e x (e s i n x ~ x - 1 ) ~~ e x (sinx - ж), поэтомуA = l i m e - f 5 " £ - l U l i m e * r i i m ^ - l ) = l . ( l - l ) = 0.х-УО\X/х-»0\х->0X/Пример 73. Вычислить предел А = lim— , а > 0.х->о In a; — In aРе ш е н и е . При х -> а получаем ех - е° = е а (е х ~° - 1) ~а~ е (х - а) и In ж - In о = Inаf = lnfl+ ( - - 1)1 ~ - - 1 = ^ ^ ,l'aaaотсюдаех-еаае°(ж - а)аА = lim— = lim^ = ае .х-*а In х — In а х-»а ж — а1 - sin fПример 74.

Вычислить предел А = lim -:-ту.х—^2 ^Ж^уР е ш е н и е . При ж -> 2 получаем1 _ sin 1x=1-snr —cos2 —sinz(—)3L =E_ =1Я 21 „1 + sin — 1 + sin —1 + sin —жжж/7Г ^7Гч2V/r ~О'7Г2 / 2 - Ж8vЧж '27Г 232v27Г"Таким образом, А = lim(д_2)2= ^.2хПример 75. Вычислить предел А = limх-+22_2х+2:.Sin 7ГЖРешение:2Х2 _ 2Х+2=2^+2/2Х 2 -х-2 _ -Л _ 2*+2/2( х - 2 )( ж + 1 ) _ l ) rsj~ 24(ж - 2)(ж + 1) In2 - (3 • 241п2)(ж - 2) = (481п2)(ж - 2),31sin7rx = sin[7r(2 + x - 2)] = sin[27r + 7r(x - 2)] == sin[7r(x — 2)] ~ 7r(x — 2),при х —> 2, отсюда получаемА=Ит(481п2)( Я -2)x-f27г(х - 2)=481п27ГПример 76. Вычислить А = lim (у/х7 + 2х6 - х 4 — х).х-юо4'Р е ш е н и е .

Вынося из-под корня старшую степень х, получимА= lim х({/1+ ( - - ^ J) - 1 ) .х-к» ч ух xПри х -У оо величина^ бесконечно мала, поэтомухх°iM-?>-4<!-?>-->~ОтсюдаА = lim - (х) = lim (- - —«) = - .x-^oo7vx x 3 /x-^oov7 7x 2/7Пример 77. ВычислитьА= lim (v / x 7 + 2 x 6 - x 4 - \/x 5 + 3 x 4 - x ) .х—юоР е ш егнниие е:Л = lim Ul/x7 + 2х6 - х 4 - х ) - ( \ / х 5 + Зх4 - х - х)1 == lim (<Ух7 + 2 х 6 - х 4 - х ) - Нт (\/х 5 + Зх4 - х - х).Так как первый из этих пределов найден в примере 76, второй под­считаем тем же методом:lim (\/х 5 + З х 4 - х - х ) =x->oov32'= lim xffli+llx->ooVyvx*)-i)=X4/lim | (- - \)=х-юо 5XX*f.5Окончательно находим ^ = т ; - - г = - ^ 7 7 535СИ X )Определение 20. Пусть lim . .

, /..К = С,0 < С < +оо, тогда:х->* ЦЗ(Х)\а) если функции а(х), /?(х) бесконечно малые при х -» *, тофункция а{х) называется бесконечно малой порядка к (малости)относительно /3(х) при х -> *;б) если функции а(х), 0(х) бесконечно большие при х —> *, тофункция а(х) называется бесконечно большой порядка к (роста)относительно (5{х) при х -> *.Пусть lim ^ Ь = С, 0 < С < +оо, тогда т ^ ^ = С +*->* [/3(x)]fc[Р{х)\к+*у(х)ч где функция 7(ж) бесконечно малая или бесконечно большаяпри х —> * = » а(х) = С(Р(х))к + о((/3(х))Л), х -> *; функцияС(/3(х))к называется главной частью бесконечно малой или беско­нечно большой функции а(х).В качестве «масштабной» функции бывает удобно брать про­стейшую (х - а),,• • •.х—аПример 78.

Найти порядок малости относительно х и главнуючасть бесконечно малой при х -> 0 функции /(х) = 2 \/~х* + Зл/х^.Р е ш е н и е . Порядок малости А: определяется из условияf(x)lim ^ Vк " = С, 0 < С < +оо,2х->0 Х;°.*<з_. /(х).. 2 ^ 2 + Зл/х^lim —4т= limгЛ2,* = §;Кх->-0Хх->0Х2foo,fc>-.2аОтсюда следует, что порядок малости к = —, т. е.

/(х) ~ 2хз приох ->• 0 или в силу критерия эквивалентности функций (теорема 13)3322/(х) = 2хз + о(хз). Таким образом, главная часть бесконечно ма2лой при х ->• 0 функции /(х) есть 2хз. Более краткое решениеможно получить из соотношений /(х) = 2хз + Зхг = 2хз(1 +3 i\Л2,3бч+ -хб) ~ 2хз при х -> 0, поскольку hm(l + - x e j = 1.Пример 79. Найти порядок роста относительно х и главнуючасть бесконечно большой при х —> -Ьоо функции /(х) = 2 \/х* ++ Зл/хАРешение.ооо*/ко/(х) = 2хз + 3x2 = 3x2 (1 + - х " в ) ~ 3x2 при х -» +оо,опоскольку lim (l + i x _ e ) = l.

Таким образом, главная часть беся-юо ч°'конечно большой при х -> +оо функции /(х) есть 3x2, порядок ее3роста относительно х равен - .Пример 80. Записать главные части бесконечно малых функцийпри указанном стремлении аргумента:а) fix)=sm(х^3o i -11—)> ж —>• 3. Поскольку (3х3 - x- ) -> 0 при31,^х-^-9(а:-3)'^3;х2б) #(ж) = sin(l — cosx) ~ —, х -> 0 (см. пример 41);х Н- 1IГв) h(x) = vx + 1 sin In, х -> +00, /i(x) = v W H — x' ^ х - 3=xужx sinlnfl + - ) ~у/х\п{\ + - ) ~ — = -7=, x -» +oo.4X7vx'Xy/X11.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИРАЗРЫВА ФУНКЦИИОпределение 21. Функция /(х) называется непрерывной в точ­ке хо, если в этой точке выполняется соотношениеlim /(x) =,/(х 0 ).X—Но34Это определение предъявляет к функции следующие требова­ния:а) функция f(x) должна быть определена в точке хо;б) функция f(x) должна иметь предел в точке хо;в) этот предел должен совпадать со значением функции f(x) вэтой точке.Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то говорят,что функция /(х) разрывна в точке хо, а сама точка хо называетсяточкой разрыва функции /(х).Если при этом односторонние пределы /(хо — 0) и /(хо + 0)существуют и конечны, то точка хо называется точкой разрыва1-го рода.