Билеты by eyescream, страница 5

Формула Лейбница: (uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ v + C¹_nu^{(n – 1)}v⁽¹⁾ + … + uv⁽ⁿ⁾. Доказательство: индукция по п. База доказывается очевидным образом, шаг — в лоб.

Функция считается заданной параметрически, если обе переменные х и у заданы как ф-ии третьей переменной t (параметр): x = φ(t), y = ψ(t). Справедливы равенства: dy = ψ’(t) dt, dx = φ’(t) dt. Отсюда y’(x) = dy / dx = (ψ’(t) dt) / (φ’(t) dt).

Рассмотрим ф-ию f, определенную всюду в некоторой окрестности точки с. Будем говорить, что ф-ия возрастает в точке с, если найдется такая δ-окрестность точки с, что слева от точки с в ней значения функции меньше, чем в точке с, а справа — больше. Ф-ия имеет локальный экстремум в точке с, если в δ-окрестности этой точки значение f(c) — наибольшее или наименьшее.

Достаточное условие возрастания ф-ии в точке. Если ф-ия дифференцируема в точке с и ее производная в этой точке положительна, то ф-ия возрастает в этой точке. Доказательство: f’(c) = lim (f(x) – f(c)) / (x – c), на основании определения предела ф-ии по Коши для ε = f’(c) найдется δ такое, что | (f(x) – f(c)) / (x – c) – f’(c) | < f’(c) при 0 < | x – c | < δ. Раскрываем модули, получаем, что в проколотой δ-окрестности точки (f(x) – f(c)) / (x – c) > 0. Это равносильно утверждению теоремы.

Необходимое условие экстремума ф-ии в точке. Если ф-ия дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то f’(c) = 0. Доказательство: по условию в точке с существует конечная производная f’(c). Так как ф-ия имеет в точке с локальный экстремум, то она не может ни возрастать, ни убывать в ней. Соответственно, f’(c) = 0.

Теорема Ролля. Пусть ф-ия f(x) непрерывна на сегменте [a, b] и дифференцируема на этом интервале. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента найдется точка с такая, что значение производной в этой точке равно 0. Доказательство: так как ф-ия непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своего максимального и минимального значения (соответственно, М и т). Возможны два случая:

1. М = т. В этом случае f(x) = M = m = const. Поэтому производная равна 0 в любой внутренней точке сегмента.

2. М > m. Можно утверждать, что хотя бы одно из граничных значений достигается во внутренней точке с сегмента. Но тогда ф-ия f(x) имеет в этой точке с локальный экстремум. Поскольку ф-ия f(x) дифф-ма в точке с, то по ранее доказанному значение производной в ней равно 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если ординаты концов кривой равны, то, согласно теореме Ролля, на кривой существует точка, касательная к которой параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа. Если ф-ия непрерывна на сегменте [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то внутри сегмента найдется точка с такая, что справедлива формула f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Доказательство: рассмотрим на сегменте [a, b] вспомогательную ф-ию F(x) = f(x) – f(a) – [(f(b) – f(a)) / (b – a)] (­x – a). Для ф-ии F выполнены все требования теоремы Ролля. Значит, внутри [a, b] найдется точка с такая, что F’(c) = 0. Это доказывает теорему Лагранжа.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. На кривой найдется такая точка, что касательная к ней будет параллельна отрезку, соединяющему концы кривой.

Теорема. Если ф-ия дифференцируема всюду на интервале (a, b) и всюду на этом интервале производная равна 0, то на этом интервале ф-ия постоянна. Доказательство: фиксируем точку х₀ на этом интервале и рассматриваем произвольную точку х на этом интервале. Сегмент [x, x₀] целиком принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому на нем выполняются необходимые для применения теоремы Лагранжа условия. Применяем. Получаем f(x₀) = f(x), что и требовалось доказать.

Теорема. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция не убывала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной всюду на этом интервале. Доказательство:

1. Достаточность. Пусть х₁ и х₂ — любые две точки интервала, причем первая лежит левее второй. Ф-ия дифференцируема всюду на сегменте [x₁, x₂], поэтому можно применить теорему Лагранжа. Получим то, что надо.

2. Необходимость. Так как ф-ия не убывает на всем интервале, то она не может убывать ни в какой точке интервала. Тогда производная ни в одной точке не может быть отрицательной, что и требовалось доказать.

Теорема. Для того, чтобы ф-ия возрастала на интервале (a, b) достаточно, чтобы производная f’(x) была положительной всюду на этом интервале. Доказательство: все то же самое, как и для достаточности в предыдущей теореме.

Лемма. Пусть функция имеет конечную производную всюду на интервале (c, c + δ) и имеет правую производную f’(c + 0). Тогда, если производная имеет в точке с правый предел, то этот предел совпадает с правой производной. Доказательство: из существования правой производной вытекает существование равного нулю правого предела lim{f(x) – f(c)} при стремлении к с справа. Фиксируем любое х из интервала. Можно применить на сегменте [c, х] теорему Лагранжа. Переходим к пределу при стремлении к с справа. Правая (а значит, и левая) часть обязана стремиться к правому пределу производной в точке с. Но левая часть равна правой производной в точке с, что и требовалось доказать.

Теорема. Если функция имеет конечную производную всюду на интервале (a, b), то эта производная не может иметь на этом интервале ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода. Доказательство: если в некоторой точке с существуют конечные левый и правый пределы производной, то она непрерывна в этой точке (в силу доказанной леммы). Если же хотя бы одного из пределов не существует, то ф-ия терпит в этой точке разрыв второго рода.

Формула Коши. Если каждая из двух ф-ий f и g непрерывна на сегменте [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b) и, кроме того, производная g’ отлична от нуля всюду в этом интервале, то внутри сегмента найдется точка ξ такая, что справедлива формула (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a)) = f’(ξ) / g’(ξ). Доказательство: докажем сначала, что g(a) отлично от g(b). Если это не так, то по теореме Ролля внутри сегмента найдется такая точка, что в ней g’ обращается в нуль, что противоречит условию. Рассмотрим теперь вспомогательную ф-ию F(x) = f(x) – f(a) – [(f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a))](g(x) – g(a)). Эта ф-ия непрерывна на рассматриваемом сегменте и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, очевидно, что F(a) = F(b) = 0. Тогда для F(x) применима теорема Ролля. Значит, внутри сегмента найдется точка ξ такая, что F’(x) = 0. Подставим и получим формулу Коши.

Будем рассматривать ф-ии f и g на проколотой δ-окрестности точки а. На этом множестве ф-ии должны быть определы и дифференцируемы, кроме того, g’ не должна обращаться в 0.

Правило Лопиталя. Если пределы f и g равны 0 при стремлении к точке а и существует предел отношения производных этих ф-ий, то существует и предел отношения самих ф-ий, причем эти пределы равны. Доказательство: рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к а и состоящую из отличных от а элементов. Определим значения ф-ий в точке а равными 0. При этом ф-ии окажутся непрерывными всюду на δ-окрестности точки а. Рассмотрим произвольный сегмент, ограниченный точками а и х_n. Обе ф-ии будут непрерывны на этом сегменте и дифференцируемы на соответствующем интервале, и производная g’ не обращается там в 0. Применяем к этому сегменту формулу Коши. С учетом значения в точке а получим f(x_n) / g(x_n) = f’(ξ_n) / g’(ξ_n). Пусть теперь n стремится к бесконечности, тогда x_n стремится к а. Поскольку ξ_n заключено между а и x_n, то и ξ_n стремится к а. В силу существования предела отношения производных (по условию) и определению предела ф-ии по Гейне правая часть выражения имеет предел при n, стремящемся к бесконечности, причем он равен отношению значений производных в точке а. Тогда тот же самый предел имеет и f(x_n) / g(x_n). В силу определения по Гейне теорема верна.

Второе правило Лопиталя. Все то же самое, но для неопределенности вида ∞ / ∞. Доказательство: пусть существует конечный предел отношения производных b. Рассматриваем последовательность, односторонне сходящуюся к а. Применяем формулу Коши для двух произвольных элементов этой последовательности. Фиксируем ε и из условия сходимости последовательности получаем: f’(ξ_mn) / g’(ξ_mn) = b + α_mn, где m — фиксировано, п > m, | α_mn | < ε / 2. Из условий теоремы существует при n, стремящемся к бесконечности, предел lim [1 – g(x_m) / g(x_n)] / [1 – f(x_m) / f(x_n)] = 1. Это значит, что для положительного числа [ε / 2] / [| b | + ε / 2] и фиксированного т найдется номер n₀ такой, что для всех n > n₀: [1 – g(x_m) / g(x_n)] / [1 – f(x_m) / f(x_n)] = 1 + β_mn, где | β_mn | < [ε / 2] / [| b | + ε / 2]. Тогда f(x_n) / g(x_n) = b + (b + α_mn) β_mn + α_mn. Переносим b в левую часть и все загоняем под модули (получаем нер-во), куда подставляем α_mn и β_mn. Получим, что хотели. Далее, если предел был бесконечностью, тогда рассматриваем предел обратного отношения (он равен 0). Вот.

Можно также свести к рассмотренным неопределенностям неопределенности вида 1^∞, 0^∞, ∞⁰. Все эти неопределенности имеют общий вид f ^g, где при х, стремящемся к а f стремится к 1, 0 или ∞, а g стремится к 0 или ∞. Логарифмируем у и получаем неопределенность вида ∞∙0. Загоним то, что стремится к бесконечности, в знаменатель (поделив 1 на эту ф-ию). Получим неопределенность вида 0 / 0, которую можно расписать по правилу Лопиталя.

Теорема Тейлора. Пусть ф-ия имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка п + 1. Пусть, далее, х — любое значение аргумента из указанной окрестности, р — произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива следующая формула: f(x) = f(a) + [f’(a) / 1!] (x – a) + [f’’(a) / 2!] (x – a)² + … + R_{n + 1}(x). Здесь R_{n + 1} = [(x – a) / (x – ξ)]^p[(x – ξ)^{n + 1} / (n! p)]f^{(n + 1)}(ξ) — остаточный член в общей форме. Доказательство:

• обозначим символом φ(х, а) многочлен относительно х порядка п, фигурирующий в правой части формулы Тейлора. Далее, обозначим символом R_{n + 1}(x) = f(x) – φ(х, а). Теорема будет доказана, если мы установим, что R_{n + 1}(x) определяется формулой Тейлора;

• фиксируем любое значение х из окрестности, указанной в формулировке теоремы (пусть х > a). Обозначим через t переменную, имеющую областью своего изменения сегмент [a, x], и рассмотрим вспомогательную функцию ψ(t) вида ψ(х) = f(x) – φ(x, t) – (x – t)^pQ(x), где Q(x) = R_{n + 1}(x) / (x – a)^p;

• ф-ия ψ на сегменте [a, x] непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках сегмента. Кроме того, ψ(а) = ψ(х) = 0. Значит, можно применить теорему Ролля и внутри сегмента [a, x] найдется точка ξ такая, что ψ’(ξ) = 0.

• найдем производную ψ’(t): ψ’(t) = –f’(t) + f’(t) / 1! + f⁽²⁾ + … Все члены, кроме последних двух, уничтожаются: ψ’(t) = –[f ^{(n + 1)}(t) / (n!)] (x – t)ⁿ + p(x – t)^{p – 1}Q(x). Подставляем t = ξ и получаем выражение для Q(x).

Замечание. Многочлен φ обладает следующим свойством: φ⁽ⁿ⁾(a, a) = f ⁽ⁿ⁾(a).

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора для точки а = 0.