Билеты by eyescream

Внимание! Эти билеты были написаны мной в “сессионном” бреду и могут содержать ошибки. Не ботайте по ним и не используйте их в качестве шпор. Вообще не читайте их. Это опасно.

EyeScream

Рациональным называется число, представимое в виде отношения двух целых чисел. Рациональные числа обладают следующими свойствами:

1. Любые два числа a и b связаны ровно одним среди знаков “<”, “>”, “=”. Если a < b, то b > a.

2. Существует правило, ставящее в соответствие любым числам a и b число c, называемое их суммой и обозначаемое с = a + b.

3. Существует правило, ставящее в соответствие любым числам a и b число c, называемое их произведением и обозначаемое с = ab.

4. Правило упорядочения: если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности знака “>”), если a = b и b = c следует, что a = c (свойство транзитивности знака “=”).

5. Свойство коммутативности сложения: а + b = b + a.

6. Свойство ассоциативности сложения: (a + b) + c = a + (b + c).

7. Существует число 0 такое, что a + 0 = a для любого числа a (особая роль нуля).

8. Для каждого числа a существует число a′ такое, что a + a′ = 0.

9. Свойство коммутативности умножения: ab = ba.

10. Свойство ассоциативности умножения: (ab) c = a (bc).

11. Существует число 1 такое, что 1 a = a для любого числа a (особая роль единицы).

12. Для каждого числа a, отличного от 0, существует обратное ему число а′ такое, что аа′ = 1.

13. Свойство дистрибутивности операции умножения относительно суммы: (a + b) c = ac + bc.

14. Из a > b вытекает a + c > b + c для любых a, b, c.

15. Из a > b и c > 0 следует ac > bc.

16. Каково бы ни было число a, можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что сумма превзойдет а (аксиома Архимеда).

Каждому рациональному числу соответствует определенная точка на числовой оси, но не каждой точке можно сопоставить рациональное число. Если выбрать точку M такой, чтобы длина отрезка OM равнялась диагонали квадрата со стороной OE (длина масштабного отрезка), то по теореме Пифагора эта длина x отрезка OM является корнем уравнения x² = 2 и это — нерациональное число.

Докажем, что посредством измерения отрезка OM каждой точки оси можно поставить в соответствие бесконечную десятичную дробь. Возможны два случая:

1. Отрезок OE укладывается в отрезке OM целое число a₀ раз с некоторым остатком NM, меньшим OE. Тогда целое число a₀ представляет отрезок OM с точностью до числа 1 по недостатку.

2. Отрезок OE укладывается в отрезке OM целое число a₀ раз без остатка. В этом случае a₀ представляет длину отрезка OM. Формально точке M соответствует число a₀,00000…

Далее для первого случая продолжаем подобные рассуждения, вместо OE укладывая отрезки длины 1/10 OE в отрезок NM и получая тем самым число a₁. В итоге мы получаем бесконечную десятичную дробь вида a₀, a₁a₂a₃… Таким образом мы поставили в соответствие точке M некоторое конкретное число.

Числа представимые бесконечными десятичными дробями, как положительными так и отрицательными, называются вещественными. Для вещественных чисел выполняются те же 16 вышеуказанных свойств, что и для рациональных.

Назовем модулем вещественного числа а эту же бесконечную десятичную дробь, взятую со знаком “+”.

Два числа a и b называются равными, если их представления в виде бесконечных десятичных дробей имеют одинаковые знаки и либо справедливы равенства a_i = b_i, либо они представляют одно и то же рациональное число, являясь его разными записями.

При сравнении чисел a и b возможны 3 случая:

• оба числа неотрицательны, в этом случае в силу их неравенства хотя бы одно из равенств a_i = b_i нарушится. Обозначим через k наименьший из таких номеров i. Тогда между числами a и b стоит такой же знак, что и между числами a_k и b_k;

• оба числа отрицательны, тогда рассмотрим их модули (по 1 случаю) и возьмем противоположный знак;

• одно из чисел отрицательно, а второе — неотрицательно, тогда первое всегда меньше второго.

Лемма. Если a — произвольное неотрицательное число, а b′ и b″ — два различных представления одного и того же рационального числа, то знак между a и b′ такой же, как и между a и b″. Доказательство: разбить на 4 утверждения, рассмотреть 2 из них (остальные два — симметричные).

Множество вещественных чисел ограничено сверху, если существует такое вещественное число M, что каждый элемент x этого множества не больше M. При этом число M называется верхней гранью мн-ва {x}.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху мн-ва называется точной верхней гранью этого множества.

Теорема. Если множество {x} непустое и ограничено сверху, то у него существует точная верхняя грань. Доказательство: рассмотреть два случая — когда среди элементов множества есть хотя бы одно неотрицательное вещественное число, и когда все элементы отрицательны. В первом случае отбрасываются все отрицательные числа и рассматриваются оставшиеся неотрицательные. Далее среди элементов мн-ва выбирается наибольшая целая часть a₀ (такой элемент найдется, т. к. мн-во ограничено сверху). Среди всех элементов с такой целой частью выбирается элемент с наибольшим первым десятичным знаком после запятой (a₁). Продолжая аналогичные рассуждения мы получим число a, которое удовлетворяет определению точной верхней грани. Первый случай доказан, во втором случае все аналогично за исключением того, что брать надо наименьшие из десятичных знаков.

Утверждение. Любое вещественное число можно с наперед заданной точностью приблизить рациональными числами. Доказательство: рассмотрим неотрицательное вещественное число а. Обрывая его дробное представление на n-м знаке после запятой, мы получим рациональное число, не большее а. Увеличив его последний ненулевой десятичный знак на единицу (с переносом, если это нужно), получим второе рациональное число, не меньшее а. Таким образом, для любого номера n есть два ограничивающие его рациональных числа такие, что они отличаются на 10^{– n}.

Тогда справедлива лемма 1, где все то же самое, только 10^{– n} заменяется на эпсилон.

Лемма 2. Для любых двух вещественных чисел найдется такое рациональное число, что оно заключено между ними. Доказательство: рассматривается неотрицательный случай. Найдем «скачок» в числах (то есть тот десятичный знак k, начиная с которого нарушается равенство). Далее оставим в покое все следующие нули (если они есть), и первый ненулевой знак уменьшим на единицу, а дальше допишем девятки. Это число и будет искомым.

Лемма 3. Если можно два вещественных числа «подставить» в лемму 1 с одинаковыми числами их ограничивающими, причем разность между последними будет произвольно малой, то это два числа равны. Доказательство: от противного, далее по лемме 2.

Суммой двух вещественных чисел а и b называется такое вещественное число х, что для любых рациональных чисел, ограничивающих а и b, их суммы ограничивают х. Произведением двух положительных вещественных чисел а и b называется такое вещественное число х, что для любых рациональных чисел, ограничивающих а и b, их произведения ограничивают х.

Уточненное определение вещественного числа: вещественными называются числа, представимые в виде бесконечных десятичных дробей, при условии, что для них определены вышеуказанным образом операции сравнения, сложения и умножения.

Теорема о существовании суммы двух вещественных чисел. Для любых двух вещественных чисел существует их сумма. Доказательство: фиксируем ограничители сверху и рассматриваем всевозможные ограничения снизу. Множество сумм нижних ограничителей ограничено сверху (суммой верхних ограничителей). Значит, у этого мн-ва есть точная верхняя грань. Эта верхняя грань и является искомым значением суммы, т. к. удовлетворяет определению.

Теорема о единственности суммы двух вещественных чисел. Существует только одна сумма вещественных чисел. Доказательство: пусть существует две суммы, рассматриваем сумму из неравенств ограничителей. Возьмем такие ограничители, что разность между ними равна ε / 2. Получим, что между ограничителями на сумму разность равна ε, то есть любому произвольному числу. Из леммы 3 две суммы получились равными. Забавно, не так ли?

Свойства вещественных чисел. Свойства 1-4 доказаны выше, свойства 5-8 вытекают из определения суммы. Доказательство свойства 14: составляем тандем из ограничителей и чисел (полагая а < b). Обозначим разность верхнего ограничителя а и нижнего ограничителя b как ε и ограничим с так, чтобы разность между ограничителями равнялась ε. Далее выписываем тандем из сумм и получаем необходимый результат. Свойства 9-13 и 15 доказываются непосредственно из определения произведения.

Множества А и В называются эквивалентными, если между элементами в них существует взаимно однозначное (биективное) соответствие. В частности, конечные множества эквивалентны, если количество элементов в них одинаково.

Теорема. Можно показать, что мн-ва R и N эквивалентны. Доказательство: вводится понятие высоты дроби как суммы модуля числителя и значения знаменателя. Далее подряд нумеруются дроби высоты 1, затем высоты 2 и т. д.

Множество называется счетным, если оно эквивалентно мн-ву натуральных чисел.

Теорема. Всякое непустое подмножество счетного мн-ва является или счетным мн-вом, или имеет конечное число элементов. Доказательство: нумерация А, затем нумерация подмножества, сопоставление одного другому.

Теорема. Множество всех точек сегмента [0, 1] несчетно. Доказательство: рассматриваем интервал, выписываем числа, производим диагональную процедуру Кантора.

Множество, эквивалентное множеству [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Последовательностью называется множество занумерованных чисел, которые по некоторому закону ставятся в соответствие натуральным числам. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует вещественное число М, не меньшее любого из элементов последовательности. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного вещественного числа А найдется номер, начиная с которого все элементы последовательности по модулю будут больше, чем А. Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного вещественного числа ε найдется такой номер, начиная с которого элементы последовательности по модулю будут меньше ε.

Теорема. Сумма (и разность) двух бесконечно малых последовательностей (БМП) есть БМП. Доказательство: фиксируем ε, и для обеих последовательностей такой номер п, чтобы элементы, начиная с него, были по модулю меньше ε / 2. Складываем соответствующие неравенства и радуемся.

Теорема. Произведение БМП А на ограниченную последовательность В есть БМП. Доказательство: Пусть В ограничена числом М сверху. Фиксируем положительное число ε и рассматриваем определение БМП для числа ε / М. Умножаем одно на другое и получаем результат.

Теорема. Всякая БМП ограничена. Доказательство: Рассмотрим число ε и все элементы последовательности до «барьерного». Выберем из них наибольший.